DIX-SEPTIEME LEÇON

SURPACES DÉVELOPPABLES. —GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE (suite).

Section faite par un plan. — ArÉte de rebroussera en t. — Etude d'une nappe de la surface développable. — Rayon de courbure delà transformée d'une courbe. — Développement approiiraatif d'une portion de surface développable. — Géométrie cinématique. — Déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariable. — Nombre des conditions qui assurent ce^ déplacements. — Déplacement infiniment petit d'une figure plane dans l'espace. — Déplacement d'une

SippLïMEST. — Courbei gauches et surfaces développableç. — Tliéori la ligne d'intersection de deux surfaces qui se coupent sous le mén

Section faite par an plan. — La section faite dans une surface développable par un plan a un point de rebroussement au point oà le plan sécant /-encontre la courbe gauche gui définit

la surface développable.

Prenons commclplans de projections leplan sccanl(S) (yî^. i4<5) et le plan oscillateur (O) de la courbe gauche au point a où (S) rencontre la courbe, Ces deux plans se coupent suivant la droite xy. La projection de la courbe gauche sur son plan osculateur (O) est la courbe C, en supposant que celte projection soit faite au moyen de droites parallèles au plan sécant (S) et perpendiculaires à xy. La projection C de la courbe gauche sur le plan (S), étant faite

au moyen de droites parallèles à la tangente au point a, a un point de rebroiissement eo «; la tangente en ce point est xy.

On a les protections d'un point de !a courbe gauche en abaissant d'un point m' de C iine perpendiculaire in'p s\ir xy et en menant par le point p une parallèle à la tangente «ï; cette parallèle rencontre la courbe C au point m, qui correspond à m'. La tangente à la courbe gaiielie, au point de l'espace dont les projections sont m et m', se projette suivant les tangentes en ces points aux projections C et C Pour avoir le point où cette tangente rencontre le plan (S), élevons une perpendiculaire à xy aii point où la tangente mq coupe cette droite ; cette perpendiculaire rencontre la tangente en m' au point ^'; le point ^' est la trace sur le pian (S) de la tangente à la courbe gauche au point {m', m). Le point a étant un point ordinaire sur la courbe donnée, les points tels que q sont toujours d'un même côté du point a sur la droite xy, et, par suite, la perpendiculaire qq' est tout entière sur l'une des régions de (S) située d'un même côté par rapport à la perpendiciilaire élevée du point a sur xy.

Quant aux points tels que q\ ils sont de part et d'autre de xy, puisque la courbe C présente un point de rebroussement.

On voit déjà que ta courbe trace de la surface développable est située de part et d'autre de xy et d'un même côté par rapport à la perpendiculaire menée du point a à celte droite.

La tangente au point ^' à la trace de la surface développable s'obtient en prenant la trace sur le plan (S) du plan oscuiateur de la courbe donnée en (m', m). En appliquant toujours cette même construction, pour avoir la tangente au point a à la trace de la surface développable, on obtient en ce point la ligne xy qui est l'intersection du plan sécant et du plan oscillateur en a. La courbe partant de q' arrive donc tan gen lie lie ment à xy au point a, et, comme elle est de part et d'autre du point a, elle présente en ce point un point de rebroussement (').

Dans le cas particulier où le plan sécant est mené par une génératrice de la surface développable, la section faite par ce plan ne présente pas de rebroussement et a pour tangente la génératrice de

n chef des ponts et cliatissiîe.

à l'École Polytechnique.

SUBFACBS DliVEl.OPPABLRS. 23;)

la surface qui est l'intersection du plan sécant et du plan osciilaleur de la cmirbe.

Arête de rebroua sèment. — La courbe gaiiehe qui définîila surface développabie est donc, d'après ce que nous venons de démontrer, le lieu des points de rebrou sseiuent des sections planes de la surface développabie ; c'est pour cette raison que l'on donne à cette courbe le nom d'a/'ête de rebroussement. La projection de l'arête de rebroussement forme le contour apparent de la surface développabie.

On peut considérer la surface développabie comme formée de deux nappes tangentes entre elles le long de l'arête de rebroussement; l'une des nappes est engendrée par les portions des tangentes à l'arête derebroussementpartantdes points de cette courbe et se divig^eant toutes dans le même sens.

Étude d'une nappe de la surface développabie. — Prenons des points sur la courbe donnée, arête de rebroussement de la surface développabie. Menons les plans tangents en ces points à la surface développabie; ces plans successifs forment une surface polyédrale. Les propriétés de ce polyèdre, qui ne dépendent ni du nombre ni de la grandeur de ses faces, peuvent s'étendre à la surface développabie vers laquelle on tend en augmentant infiniment le nombre des points pris sur la courbe donnée.

On peut appliquer ce polyèdre sur un plan, en faisant tourner successivement ses faces autour des arêtes. Lorsqu'on augmente infiniment le nombre des points pris sur la courbe donnée, ce polyèdre tend vers la surface développabie, et le développement du polyèdre se rapproche infiniment d'un développement qui est celui de la surface développabie. C'est cette propriété de la surface développabie de pouvoir se développer sur un plan qui lui a fait donner le nom de surface déeeloppable .

Prenons sur le polyèdre un polygone quelconque ; après le développement du polyèdre, le périmètre de ce polygone n'a pas changé. Cette propriété conduit, pour la surface développabie, h celle-ci : Lorsqu'on développe une surface développabie, un arc d'une courbe tracée sur cette surface et l'arc correspondant de la transformée de cette courbe ont la même longueur.

Si, sur le polyèdre, à partir d'un point, on mène deux droites.

côtés de polygones tracés sur le polyèdre, l'angle compris entre ces droites reste le même après le développement du polyèdre. Cette propriété conduit à celle-ci : L'angle que deux courbes tracées sur une surface développable comprennent entre elles et l'angle que font entre elles les transformées de ces deux courbes après le développement de (a surface développable sont égaux entre eux.

On peut tracer sur une surface développable une courbe qui rencontre à angle droit les génératrices de cette surface; celte courbe, qu'on appelle déçeloppante de l'arête de rebroussement de la surface développable, se transforme, d'après ee qui précède, en nne trajectoire orthogonale des tangentes de la transformée de l'arête de rebroussement après le développement de la surface développable, et par conséquent devient une développante de cette transformée de l'arête de rebroussement.

Rayon de courbara de la transformée d'une courbe. — Clierclions la relation qui existe entre le rayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface développable et le rayon de courbure de la transformée de cette courbe après le développement de la surface.

Prenons {fig. 147) pour plan de projection, que nous supposons de front, le plan tangent à la surface développable le long de la génératrice ga qui contient le point a de la courbe C tracée sur la surface. Projetons le point m en m', ainsi que les différents points de la courbe C; nous obtenons la projection am' ou P. Développons la surface développable sur le plan tangent le long de ag. Le point m, supposé infiniment voisin du point a, décrit un arc mm, infiniment petit et vient, dans ce plan tangent, sur la

perpendiculaire à ag menée du point m', à une distanee du point m infiniment petite du troisième ordre, La courbe am se transforme ainsi suivant la courbe am, ou T.

On a maintenant trois courbes : la courbe donnée C, la projection de cette courbe P sur le plan tangent, et la transformée T de la courbe d. Les courbes T et P sont osculatrices au point a, puisque les points m' et trii de ces deux courbes, infiniment voisins du point a, sont distants l'un de l'autre d'une longueur qui est infiniment petite du troisième ordre.

Cberchons alors la relation qui existe entre le rayon de courbure f de la courbe C en a et le rayon de courbure R de la courbe P au même point a. Pour cela, abaissons du point m' la perpendiculaire m't sur la tangente at à ces deux courbes ; mt est alors aussi perpendiculaire à cette tangente, puisque mm! a été mené perpendiculairement au plan de projection, qui est tangent à la surface développable le long de ag et qui est supposé de front. La droite m' t est dans ce plan tangent à la surface développable; la droite mî est dans le plan osculateur de la courbe C; l'angle 6 de ces droites est donc l'angle que le plan oscillateur de la courbe G en o fait avec le plan tangent à la surface développable en ce point. Le

rayon de courbure p de G est égal à — y, le rayon de courbure R

de Sa courbe P est égal à - - , ■; on a alors

Dans le trii

mgle rectangle

mm-t

,ona

■ésulte de l

t^mt

cos«;

d'où

Ainsi, le rayon de courbure R de la ti-anuformée d'une courbe est égal au rayon de courbure de cette courbe divisé

par le cosinus de l'angle que le plan osculatew de la courbe fait avec le plan tangent de la surface développable.

Pour construire ce rayon de courbure R, menons l'axe de courbure aa' de la courbe donnée; cette droite rencontre en un certain point a' le plan tangent suivant ag à la surface développable : le segment aa! est égal au rayon de courbure R de la transformée de la courbe sur ce plan langent. En effet, cette droite fait avec le plan osculaleiir l'angle 6; la projection de cette droite sur le plan osculateur est le rayon de courbure aa de la courbe C. On a alors

Lorsque le plan osculateur de la courbe tracée sur la surface développable est perpendiculaire au plan tangent, l'axe de courbure de la courbe rencontre ce plan tangent à l'infini, et, par suite, le rayon de courbure de la transformée est infini. Cette transformée présente un point d'inflexion.

Lorsque le plan osculateur de la courbe se confond avec le plan tangent à la surface développable, c'est-à-dire lorsque 6 est nul, R est égal à p : c'est ce qui a lieu pour les points de l'arête de rebroussement de la surface développable. Ainsi, lorsque l'on développe une surface développable, la transformée de l'arête de rebroussement est une courbe dont les rayons de courbure sont respectivement égaux aux rayons de courbure de l'arête de rebroussement.

Dans le cas particulier où l'arête de rebroussement est une hélice, on voit que la transformée de cette courbe, après le développement de la surface développable formée par ses tangentes, est une circonférence de cercle.

Développement approximatif d'une portion de surface développable. — Si l'on veut eil'ecUier le développement d'une portion de surlace développable limitée à deux courbes, on opère approximativement. On prend des points sur l'une des courbes et on les réunit en formant un contour polygonal; on trace les génératrices qui passent par ces points et l'on prolonge ces droites jusqu'à l'autre courbe; on réunit les extrémités de ces droites en formant un autre contour polygonal. On obtient ainsi une série de quadrilatères que l'on dé-

compose en tnang-les au moyen de diaf^onales ; on construit ensuite sur lin même plan des triangles égaux à ces triangles, et l'on a le développement approximatif de la portion de surface développable comprise entre les deux, courLcs.

r.ÉOMf.TIllE CINÉMATIQUE

Déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariaJile. Nombre des conditions qui assurent ces déplacements. — Nous allons suivre une marche analogue à celle que nous avons adoptée pour les courbes planes. Après avoir considéré ces courbes d'une façon générale, nous avons pris en particulier les lignes décrites pendant le déplacement d'une figure sur un plan; de même, après avoir parlé des courbes gauches et des surfaces d'une façon générale, nous allons considérer les lignes décrites oti les surfaces engendrées pendant les déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariable.

Commençons par déterminer le nombre de conditions auxquelles peut être assujettie une figure de l'espace que l'on déplace. Trois conditions fixent laposition d'unpoint dans l'espace et assurent son imi7Zoi(7i>e. Retranchons une condition, conservons-en alors deux, le point n'est plus immobile; il peut se déplacer et il décrit une ligne trajectoire. Retranchons encore une condition, le point, à partir de la position qu'il occupe, peut se déplacer dans une infinité de directions; toutes les lignes trajectoires ainsi décrites appartiennent à une surface que j'appelle la surface trajectoire du point {').

Cherchons maintenant combien il faut de conditions pour assurer l'immobilité de tous les points d'une droite. Le point a d'une droite D étant immobile, le point b de cette droite ne peut se déplacer que sur une sphère dont le centre est au point a. Tandis qu'il faut trois conditions pour assurer l'immobilité du point a, il

(') Voir mon Étude sur le déplacement d'u (Recueil des Mémoires des Savants étrangers, Folytechnigm, XLIIi° Cîihîei-),

a.J4 SECONDE PARTIE. — DIX-SEPTIÈME LEÇON,

n'en faut plus que deux pour assurer l'immobilité du point 6, puisque ce point est déjà assujetti à une condition, celle de se trouver sur une sphère déterminée. En ajoutant le nombre trois, qui indique les conditions relatives au point a, au nombre deux, qui indique les conditions relatives au point b, on trouve qu'iY faut cinq conditions pour assurer l'immobilité du segment ab et, par suite, de tous les points de la droiCeU.

En retranchant une condition, on voit que quatre conditions permettent aux points d'une droite de se déplacer; ces points décrivent des lignes trajectoires.

En retranchant encore une condition, on voit que trois conditions permettent aux points de la droite de se déplacer; ces points engendrent des sur/aces trajectoires.

Ce que nous venons de dire est relailii aux points de la droiteD; mais, si nous ne nous occupons pas des points de la droite D, si nous prenons simplement cette droite comme figure géométrique, il faut une condition de moins pour assurer son immobilité que pour assurer l'immobilité de chacun de ses points; car, la droite D occupant tme certaine position, on peut la faire glisser sur ellemême sans modifier cette position, les points seuls changeant de place. 11 ne faut donc que quatre conditions pour assurer l'immobilité d'une droite indépendamment de ses points; c'est un résultat que l'on connaît, puisqu'on a vu, en Géométrie analytique, qu'il n'entre que quatre paramètres dans les équations d'une droite. Retranchant une condition, on trouve que trois conditions permettent à ta droite de se déplacer; elle engendre alors une surface réglée.

Reprenons la droite D et les points de cette droite; imaginons un plan passant par D. Les points de la droite D étant immobiles, le plan ne peut que tourner de D; pour assurer son immobilité, il faut ajouter une condition à celles qui assurent l'immobilité des pointa de D, et l'on trouve ainsi qu'il faut six conditions pour assurer l'immobilité d'un plan; or, comme l'immobilité d'un plan d'une figure de grandeur invariable entraîne celle de la figure tout entière, on conclut <y^' il faut six conditions pour assurer l'immobilité d^une figure dans l'espace. Ce nombre six, on le retrouve lorsqu'on cherche les équations d'équilibre d'un corps solide : il y a six équations d'équilibre.

Retranchant une condition, on voit que cinq conditions permettent à une figure de l'espace de se déplacer; les points décrivent alors des lignes trajectoires. Une condition de moins, et les points de la iîgure se déplacent sur des surfaces. Ainsi, quatre conditions permettent aune figure de r espace de se déplacer d' une infinité de manières à partir de la position qu'elle occupe; les points décrivent alors leurs surfaces trajectoires.

Indépendamment des questions relatives au déplacement, ce que nous venons de dire peut être utile lorsque l'on veut chercher le nombre des conditions qu'il faut donner pour déterminer une figure dans l'espace, connaissant le nombre des paramètres qui suffisent pour déterminer sa forme. II faut, par exemple, connaître les trois axes d'un ellipsoïde pour avoir la forme de celte surface. En ajoutant à ce nombre trois le nombre six relatif à la position, on retrouve bien qu'il faut /lew/ conditions pour déterminer un ellipsoïde de forme et de position.

Quant aux déplacements, les nombres que nous venons de déterminer permettent de savoir si le lieu d'un point mobile est une ligne ou une surface.

Si, par exemple, im ellipsoïde de grandeur invariable est assujetti à rester tangent à cinq ellipsoïdes, il est alors assujetti à cinq conditions, et, d'après ce que nous venons de dire, on peut le déplacer; chacun des points invariablement liés à cet ellipsoïde décrit alors une ligne trajectoire.

Si les quatre sommets d'un tétraèdre de grandeur Invariable sont assujettis à rester sur quatre surfaces données, un point quelconque, invariablement lié au tétraèdre, et entraîné pendant le déplacement de ce tétraèdre, engendre une surface, puisque nous ne donnons que quatre conditions pour définir le déplacement de la figure.

Déplacement infiniment petit d'une figure plane dans l'espace (' ) . — Commençons par le déplacement infiniment petit d'une figure plane.

( ' ) C'est à Chasler que l'on doit les fondements de lu théorie q ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, p. i aussi mon Etude sur le déplacement {loc. cit.).

Le plan (P) {fig- 1 48) contient une figure. Après un déplacemenl infiniment petit, il vient en (P, ), et la figure qu'il contient prend sur ce plan (P)) une certaine position.

Faisons tourner le plan (P)) autour de la droite d'intersection C des plans (P) et (P|), la figure qu'il contient prend sur (P) une nouvelle position. Nous pouvons amener cette figure à coïncider avec la première position qu'elle occupait d'abord sur (F) en la faisant tourner autour d'un centre instantané/. On voit ainsi qu'on peut décomposer le mouvement de la figure plane en deux rotations, l'une autour d'une droite perpendiculaire à (P) menée du

point/: un point «'de celte figure vient alors en «'; l'autre autour de la droite C, intersection des plans (P) et (P,) : le points' vient maintenant prendre la position rt, que doit avoir le point a mt{P,).

Le plan a, aa' est perpendiculaire au plan (P), et, comme a/eit normale à la trajectoire aa', on voit que af est aussi normale à la trajectoire aa,. On peut dire que a/ est la trace sur le plan (P) du plan mené par le point a normalement à la trajectoire aa, de ce point, et, comme le point a est arbitraire sur le plan (P), on peut dire que ;

Les plans normaux aux trajectoires de tous les points du plan {V) passent par lepoint f.

Le point/reçoit, pour cette raison, le nom de/ojerduplan{P). On voit qu'il jouit delà propriété d'être le seul point du plan (P) dont la trajectoire soit normale à ce plan (P), puisque son déplacement est une rotation infiniment petite autour de la droite C seulement (').

X pli.ns d'une Ilg.

■s plans et qu'au)

Quand un p!an se déplace d'une façon continue, dans chacune de ses positions il a, en général, un nouveau foyer; la courbe qui réunit tous ces points n'est pas une trajecloire orthogonale dit plan mobile. Chacun des foyers jouit seulement de cette propriété : si on le considère comme marqué sur le plan mobile, son déplacement infiniment petit est normal à ce plan.

La droite C, intersection de (P) et de (i't), porte le nom de caractéristique; c'est, en effet, la droite de contact du plan{P) et de la surface développable que ce plan enveloppe pendant son déplacement continu, puisque cette droite est l'intersection du plan (P) avec ce plan dans sa position infiniment voisine. Les points de cette droite jouissent de la propriété de se déplacer sur le plan (P) lui-même pour un déplacement infiniment petit de ce plan (P), puisqu'ils tournent seulement autour de la perpendiculaire à (P) en / : leurs rotations autour de la droite C ne changeant pas leurs positions.

Si une droite D du plan (P) est entraînée pendant le déplacement de ce plan, elle engendre une sur/ace réglée (D); la perpendiculaire /n abaissée du foyer f du plan (P) sur la droite D est normale à la surface réglée (D), car la droite /« est perpendiculaire à D, et, en outre, elle est normale à la trajectoire décrite par le point n; elle est donc normale à deux lignes tracées sur la surface (D) à partir du point n; donc elle est normale à cette surface.

La réciproque de cette propriété est évidemment vraie.

Déplacement d'une droite, — Prenons la droite d'intersection D de deux plans (P) et (F). Le plan normal à la trajectoire du point a de cette droite passe par le foyer /du plan (P); il passe aussi par le foyer/' du plan (P'); il contient donc la droite/'/. Gela est vrai pour un point quelconque de D ; on voit donc que :

Les plans normaux aux trajectoires des points d'une droite se coupent suivant une même droite.

plana normaus aus trajectoires de ces points, on obtient un mode de consti uction de figures corrélatifes doot M. L, CBKHOsi a fait une élégante application dans son Mémoire Le figure recîpi-oche netla Statica grafica, publié d'abocd à Milan, en 187a, et depuia traduit en français par M. le capitaine Bossut ( Gauthier-Villars,

Nous sommes déjà arrivés à cette propriélé (p. i6o) et nous avons vu, en outre, que cette droite est l'axe instantané de rotation à l'aide duquel on obtient le déplacement infiniment petit de la droite D.

La connaissance des trajectoires de deux points d'une droite suffit pour déterminer cet axe de rotation. Si le point a décrit la courbe (a), si le point b décrit la courbe {&), en menant par les points a et 6 des plans respectivement normaux aux trajectoires de ces deux points et prenant leur droite d'intersection, on a l'axe A autour duquel il faut faire tourner le segment ab pour faire décrire à chacim des points a et 6 les éléments des courbes (a) et (6).

Si le segment ab, pour une de ses positions, est normal à la trajectoire du point a, le plan normal en n à cette trajectoire contient le segment ab; il coupe alors le plan normal en 6 à la trajectoire (b) suivant une droite A qui passe par le point b. Le déplacement de ab est donc, dans ce cas, une rotation infiniment petite autour de A, qui fait décrire aux points de la droite ab des éléments dans un même plan, à l'exception du point b, qui reste dans la même position. Cela veut dire que, pour un déplacement infiniment petit du premier ordre du point a, le déplacement du point b est infiniment petit d'ordre supérieur au premier.

Si la droite ab, dans l'une de ses positions, est normale en n et 6 aux trajectoires de ces points et si les tangentes en a et b k ces trajectoires sont dans le même plan, les plans normaux en n et t sont confondus; la droite A est une certaine droite de ce plan normal à la fois aux trajectoires des points a et b, et le déplacement autour de celte droite est une rotation qui fait décrire aux points de ab des éléments normaux à ab et situés dans le même plan.

Enfin, si le segment ab, dans l'une de ses positions, est normal aux trajectoires des points « et i et si les tangentes en ces points à ces trajectoires ne sont pas dans le même plan, la droite A est confondue avec ab, et le déplacement de ce segment ab ne peut plus être obtenu par une rotation. Les points de ce segment décrivent des éléments normaux à aè-, car, si l'un d'eux, m, ne décrivait pas un élément normal à ab, nous nous trouverions dans le premier cas examiné et nous aurions un axe de rotation passant par ce point ?n. En vertu de cet axe de rotation, tous les points du

GEOIETItlE CINËMA

segment ah décriraient des éléments normaux à ab dans un même plan; or, par hypothèse, les éléments décrits par les points a et h ne sont pas dans un même plan; on ne peut donc pas admettre que le point m ne décrive pas un élément normal à ab. On voit alors que le segment ab est tel qu'il est normal aux trajectoires de tous ses points, et, d'après tout ce que nous venons de dire, on peut conclure que :

Lorsqu'une droite se déplace normalement à la trajectoire (Vun de ses points, elle est, en général, normale aux trajectoires de tous ses points.