SUPPLÉMENT A LA DIX-SEPTIÈME LEÇON

Courbes gauches et surfaces développ ailes. — L'enveloppe des plans normaux à une Courbe gauche C est une surface développable que Monge {') a nommée sur jace polaire de C. Les génératrices de cette surface polaire sont les a\es de courhure de C. L'ase de courbure de C, relatif au point a de cette courbe, touche l'arête de rebrousseœent de la surface polaire en un point qui est le centre d'une sphère qui a, avec C, quatre points infiniment voisins confondus en a, comme il est facile de le voir en prenant d'abord quatre points de C à distances finies les uns des autres. Cette sphère est appelée sphère osculatrice deC.

Le plan mené par la tangente en « à C, perpendiculairement au plan osculateur de cette courbe en ce point, est appelé plan rectifiant (=) de C.

L'enveloppe des plans rectifiants de C est la surface rectifiante de cette courbe. Les génératrices de cette surface développable sont les droites rectifiantes de C. Après le développement de la surface rectifiante de C, cette courbe est transformée suivant une droite.

Relativement à la surface développable formée par les tangentes à C, les plans rectifiants de cette courbe sont des plans normaux menés par les génératrices de cette surface. La droite rectifiante est l'intersection de deux de ces plans normaux infiniment voisins; aussi je

(') Recueil des Savants étrangers, t. X, p. 5ii; 1875.

{') LiNCBET, Mémoire sur les courbes à double courbure, même Recueil, t. I, i8o5. Mémoires sur les développoides, mime Recueil, t. II, iSei.

i cette dioUele nom d'axe de courbure de la surface dévelop-

pable.

Les axes de courbure de cette surface dévelojipable sont aussi les axes de courbure des trajectoires orthogonales des génératrices de cette surface, ce qui fait que les points de l'arête de rebroussement de la surface rectifianle de C sont les centres des sphères osculatrices de ces trajectoires.

Théorème relatif à l'intersection de deux surfaces qui s& coupent sons le même angle. — Soient (Jlg. i/^y) deuN; surfaces (M) et (IV) qui se

coupent suivant la courbe («) et toujours sous le même angle aux, différents points de cette courbe.

Prenons un arc infiniment petit aot sur ( a), et menons, à partir de a et a,, les normales aux surfaces (M) et (N),

Les normales issues de a sont am et an ; celles qui sont issues de a, sont a,m, et ai«i.

On a l'angle man, qui est égal à l'angle mja,n,. On peut amener ces angles en coïncidence au moyen de deux rotations : l'une, qui amène en coïncidence les plans de ces angles, a lieu autour de la caractéristique du plan man; l'autre a Heu autour d'une perpendiculaire à ce plan issue de son foyer.

La caractéristique du plan mfl«, qui reste normal à (a) pendant son déplacement, est l'axe de courbure C de cette courbe. La perpendiculaire au plan man issue de son foyer est tangente en « à («).

En tournant autour de C, a vient en «, et l'angle man vieuL en ma,n; puis cet angle tourne autour de a, et vient coïncider avec l'angle nî,a,rt|.

Il résulte de là que l'angle mja,m est égal à l'angle n^a^n, et, comme a<i, est normal au plan de l'angle mobile, ces angles mesurent les angles des normales a, m,, a^n^ avec les plans mna, et naa-^.

Ainsi, lorsque a déerit aa,, la normale ain à (M) vient en a,mi,

qui fait avec Le plan maa^, normal à (M), un angle (') égal à l'angle que a,ni/ait avec le plan naa, qui est normal à (N).

Il est important de remarquer que, tandis que a, m, esi extérieur au dièdre dont les faces sont maa„ naa„ la normale a, «i est à l'intérieur de ce dièdre. Si «, jh, avait été à l'intérieur, a^ «, aurait été à l'extérieur.

(') Angle de torsion géodésique, àoat]a considération est d (Journal de Mathématiques, i" série, t. IX, p. i33; iS^i).