NORJIALIES. — COURBURE DES SURFACES

(appl. de géoji. ciném.)

e sur les norinaliea. - Courbure rfes surfaces. — Thp.orémc - Construction du rsyoïi de couvbuM d'une section normale. —

Sur les normales infiniment voisines autour d'un point. — Cor struction directe du rayon de courbure tl'uce sectîou oblique.

J'rt|ipelle normalie le lieti de normales à une surface dont les pieds sonllcs points d'une coarlje tracée sur cette stirfacc. Cette courbe est la directrice de la normalie.

Lemmb. — A partir d'un point a sur une surface (S), il existe une courbe M telle que les normales à (S), dont les pieds sont des points de celle courbe, rencontrent la normale A de la surface (S) aupoint a.

Du pointa comme centre {fig. i6fj), décrivons une .sphère. Lu ligne d'intersection de cette sphère et de la surface (S) est une courbe G. Les distances des points de celte courbe au plan (T), tangent à (S) en a, sont inégales ; car, si elles étaient égales, cettecourbe G serait plane ; ce serait une circonférence de cercle, et, en général, la section d'une surface (S) par une sphère n'est pas une circonférence de cercle. Puisque les points de la courbe G sont inégalement distants du plan (T), l'un de ces points est à ime distance mînima de ce plan tangent. Appelons b ce point. La distance du point b au plan (T) étant miuima, la tangente en ce point à G est parallèle à ce plan tangent.

Le plan normal à G en 6 est alors perpendiculaire à (T), eî, comme il contient le myon de la sphère et par suite a, il contieni

aussi la normale A. La normale à (S), qui est dans ce plan normal à G, rencontre donc A.

Pour chacune des sphères décrites du point a comme centre, on a une courbe telle que G, et sur chacune de ces courbes un point tel que b. Tous ces points appartiennent à la directrice d'une normalic dont les génératrices rencontrent A, directrice dont il fallait établir l'eslstcncc.

Cette directrice comprend aussi le lieu des points, tels que c, qui, sur les courbes G, sont chacun à ime distance maxima du plan (T). Appelons M la branche de cette directrice, lieu des points 6, et N la branche relative aus points c.

Si le rayon de la sphère décrite du point a comme centre est infiniment petit, le point Yd où la normale à (S) issue de b rencontre A, est le centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan mené par A tangentiellement à M en a. Le point b étant à une distance minima du plan (T), le rayon de courbure rt-j-i ^^^ le plus grand parmi les rayons de courbure des autres sections normales à (S) en a.

De même, la normale en c à (S) rencontre A en un point f^, et aya est le rayon de courbure le plus petit parmi les rayons de courbure des sections normales à (S) en a. Le plan de la section normale, qui a a-^^^ pour rayon de courbure, est tangent à N en o.

Les rayons de courbure nyi i "Ya s^*"*- appelés rayons de courbure principaux de la surface (S) pour le point «; les points ■]'(, Va sont les centres de courbure principaux, et les plans des seclions de (S) qui ontYu ya pour centres de courbure sont appelés plans des sections principales de (S).

Les plans des sections principales de (S) en a sont distincts, c'est-à-dire que les branches M et N ne sont pas tangentes entre elles en «; car, si l'on admettait le contraire, les centres de courbure Yi, Yî coïncideraient, et, par suite, il en serait de même des centres de courbure de toutes les sections normales de (S) en a, ce cjui ne peut avoir lieu que dans un cas particulier.

Théorème sur les normalies. — Conservons i^fig. 166) la surface (S) sur laquelle on a M et N qui se rencontrent sous un angle fini. Du point a, décrivons une sphère. Elle coupe M en b' et N en c'('). Supposons que les points «, b' , d, invariablement liés entre eux, appartiennent, avec un quatrième point e, à une figure de forme invariable.

Déplaçons cette figure de façon que a, Z/, c' restent sur (S), tandis que e reste sur une surface [e]. Le déplacement de la figure mobile peut être effectué d'une infinité de manières, puisqu'elle n'est assujettie qu'à quatre conditions. On obtient tous ces déplacements au moyen de rotations simultanées autour de deux axes, et, dans les circonstances actuelles, il est facile de construire ces axes, comme on va le voir.

Menons en a, b', c' les normales A, B', C à (S), et en e la normale E à [e]. L'un des axes de rotation est la droite qui joint le point de rencontre de A et de B' au point où E rencontre le plan (A, G). L'autre axe est la droite qui joint le point de rencontre de A et de C au point où E rencontre le plan (A, B'). Car on a bien ainsi deux droites qui rencontrent à la fois les quatre droites A, B', C, E.

Tout cela est vrai, quel que soit le rajon de la sphère qui a donné f et c'. Passons au cas limite où ce rajon est nul, et figurons en 6 et c les points b' et c'. Les droites ab, ac sont maintenant des tangentes à (S). La figure mobile doit alors se déplacer, de façon que les droites «&, «c restent tangentes à(S) en leur point de rencontre a, tandis que e reste sur [e]. Appelons D et A les axes simultanés de rotation relatifs à tous les déplacements de celte figure. D'après ce qui précède, l'une de ces droites est la droite A, qui joint le centre de courbure principal y, au point de rencontre

{') Les poinls b' et c' ne sont pas suv la ilgiTrc.

THÉORÈME sua LES NOHMAt.lES. 31)3

de E et du plan de la section principale tangente en a à N, l'autre est la droite D qui joint le centre de courbure principal ^a au point de rencontre de E et du plan de la section principale tangente en a à M.

Lions à la figure mobile la normale A, perpendiculaire aux tangentes ab et ac. Quel que soit le déplacement de la figure, cette droite A engendre une normalie à (S), Les éléments de toutes les normalies que peut ainsi engendrer A, à partir de sa première position, peuvent être obtenus au moyen de rotations simultanées autour des droites D, A. Mais le point y, de A appartenant à A ne peut que tourner autour de D et engendre toujours le même élément de ligne. Cet élément de ligne et A déterminent un plan qui est alors tangent à toutes les normalies engendrées par A. De même, on a en Yj un plan tangent commun à toutes ces normalies. Ainsi : toutes les normalies engendrées par K ont les mêmes plans tangents aux centres de courbure principaux yi , y^-

Parmi les normalies engendrées par A, il y a celle qui a pour directrice M, dont le plan langent en yj est le plan de la section principale (A, E) qui contient D; il y a celle qui a pour directrice N, dont le plan tangent en y, est le plan de la section principale (A, C) qui contient A, donc : les plans tangents communs en yi, ys aux normalies engendrées par A sont les plans des sections principales tfe ( S ) pour le point a.

Puisque yi tourne seulement autour de D, l'élément décrit par ce point est perpendiculaire au plan (A, D). Mais cet élément est dans le plan (A, C) qui contient A, donc : Les plans (A,D), {A, A) sont perpendiculaires entre eux, ou encore, les sections principales de (S) en a sont rectangulaires.

En résumé, on peut énoncer le théorème suivant :

Si, àpartir d'un point a sur une surface (S), on trace des courbes quelconques, les normalies à (S), qui ont ces courbes pour directrices, ont les mêmes plans tangents aux centres de courbure principaux de (S) situés sur la normale en a à cette surface, et ces plans tangents communs, qui sont les plans des sections principales de (S) en a, sont rectangulaires.