COURBURE DES SURFACES

Théorème de Meusnier. — JMous allons ramener l'étude de la courbure des sections faites dans une surface par des plans menés par un point, et obliques par rapport au plan tangent en ce point, à l'étude des courbures des sections normales, en démontrant le théorème de Meusnier { ' )..

Si, par une tangente at en a à une surface (S), on mène un plan normal à cette surface et un plan oblique, le centre de courbure de la section faite dans {S) par ce plan oblique est la projection du centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan normal.

Établissons d'abord un lemme : Un plan mobile passe successivement par les génératrices d'une surface réglée; pour une position quelconque de ce plan, sa caractéristique passe par le point où il touche la sur/ace réglée.

(P) est le plan mobile (Jig- 167); il passe par la génératrice G de la surface (G), Après un déplacement infiniment petit, ce plan vient en (Pi) et contient la génératrice Gi, infiniment voisine de G; la droite d'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la caractéristique de (P), rencontre donc G et G, ; elle est alors tangente à la surface (G), et le point où elle rencontre G est le point de contact du plan mobile (P) avec (G),

Démontrons maintenant le théorème de Meusnier.

Appliquons le théorème relatif aux normalies en prenant cette

fois non pins des courbes quelconques tracées à parûr du point a sur (S), mais des courbes ayant pour tangente at {Jlg- 168). Puisque toutes lesnormalies dont les directrices passent par a sont tangentes entre elles aux points yi el ys situés sur la normale A, celles qui ont pour directrices des courbes tangentes entre elles en a sont, en outre, tangentes entre elles en ce point a; leur plan tangent commun en a est le plan de la normale A et de la tangente commune at à leurs courbes directrices; ces normalies ont donc les mêmes plans tangents au point a, an point y, et au point ys; par suite, elles se raccordent.

Prenons l'une d'elles, celle qui a pour directrice une courbe C ;

1 point a le plai

lal à cette courbe. Menons de

même à C un plan normal passant par le point «', qui est, sur C, infiniment voisin de a. Ces deux plans normaux se coupent suivant l'axe de courbure C, et cette droite est la caractéristique du plan normal en a à la courbe C, lorsqu'on déplace ce pian en le laissant normal à cette courbe. D'après le lemme, cette caractéristique passe par le point où ce plan normal touche la normalie dont la directrice est C, car ce plan, supposé mobile en restant normal à la courbe C, contient constamment une normale de la surface (S), c'est-à-dire une génératrice de la normabe. Ce plan normal, qui a pour caractéristique l'axe de courbure de C, touche au point l la normalie dont C est la directrice, et l'axe de courbure doit alors passer par ce point /.

Prenons une courbe C, tangente en « à la droite at, et répétons le même raisonnement : nous trouvons que l'axe de courbure de C passe par le point où le plan normal en « à C touche k normalie

'J.r,^ SBCONDE PARTIE. — VINGTIÈME LEÇON.

à (S) dont cette courbe est la directrice. Mais celle normalie se raccorde avec celle qui a pour directrice C; le plan normal commun à C et C touche alors ces normalies au même point l. On voit donc que toutes les courbes tracées sur la sur/ace à partir du point a et tangentes entre elles en ce point ont pour axes de courbure des droites qui passent par le même point l. L'axe de courbure d'une courbe étant la perpendiculaire à son plan osculateur élevée du centre de courbure de cette courbe, on obtient donc les centres de courbure des directrices des normalies en projetant le même point l sur les plans osculateurs de ces courbes, c'est-à-dire sur des plans qui passent par la tan génie commune at.

Prenons comme directrice d'une normalie la courbe qui résuUe de l'intersection de (S) et du plan mené par at normalement à celte surface; on a le centre de courbure de celte courbe en projelanl le point l sur son plan ; mais le point l esl à lui-même sa projection; donc le point l est le centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan normal qui contient at. En rapprochanl cela des résultais précédents, on voit que le théorème de Meusnier, énoncé comme nous l'avons fait d'abord, esl démontré.

Le plan normal, commun à toutes les courbes tracées sur la surface (S) à partir du point a, est tang-ent aux normalies, dont ces courbes sont les directrices, au même point /, qui est le centre de courbure de la section normale à (S) el tangente à ces courbes directrices. Si l'on fait tourner de 90" ce plan normal autour de A, il devient le plan normal à (S) qui contient at, el l'on a alors ce théorème :

Si l'on considère une normalie qui a pour directrice une courbe C tracée sur (S), le plan normal à (S), tangent en a. à C, est normal à cette normalie en un point gui est le centre de courbure de la section qu'il détermine dans la surface (S).

Construction du rayon de courbure d'une section normale. — Soient {/ig' 169) Â la normale en n à (S), normale que nous supposons placée verticalement. Sur A, on a les centres de courbure principaux Yt , -(2 de la surface { S).

Prenons une normalie à (S) qui conlicnne A, et soit y le poini représenlatif de l'élément de celle normalie le long de A. Je place y

de façon que la figure formée par les droiies y^^, -f^^, y« soîl égale à la figure formée par les traces liorizontalcs des plans qui touchent la normalie aux points y, , yai «■

Les plans Langcnts à la normalie en y, et y^ sont rectangidiiires ; les plans tangents en y^ et en a comprennent entre eux un angle u. L'angle yiyy^ est alors droit, et l'angle yjya est égal à tp.

D'après le théorème qui vient d'être démontré, le plan tangent à la normalie au centre de courbure de la section faite dans (S) par te plan tangent en a à cette normalie est perpendiculaire à ce dernier plan tangent. On obtient alors ce centre de courbure en / au point où A est coupée par la perpendiculaire y^ à -{a.

Le point l est donc facile à construire lorsque l'on a y.

On peut obtenir ce point y au moyen de deux segments capables : l'un, d'nn angle droit décrit sur y, y,, l'autre, de l'angle cp décrit sur y^a. Nous allons l'obtenir directement. Prolongeons y/ jusqu'à sa rencontre en c^ et en Cj avec les perpendiculaires élevées de yt et ya à A. Les points Cj, yi, y, a appartiennent à la circonférence décrite sur «Ct comme diamètre. L'angle y, ac, est alors égal àyiyC) et, par suite, à u. Les points a, ya, y, Ca appartiennent à la circonférence décrite sur a-^C^ comme diamètre. L'angle Caay^ est alors égal à ysy^, c'est-à-dire au complément de œ. II résulte de là que l'angle c^act est droit.

La construction qui donne le rayon de courbure d'une section normale peut donc être énoncée ainsi :

On a {fig. 169) la normale A, les centres de courbure principaux y, , yj el les perpendiculaires à A issues de ces points. On mène, du point a, la droite ac, qui fait avec A l'ang/e o que le

plan de la section normale, dont on cherche le rayon de courbure, fait avec le plan de la section principale dont le centre de courbure esf^f ('). On élève, aupoint a, la perpendiculaire aCi à la droite aCf ; on Joint le point C) au point c^-^ cette droite rencontre A au point l ; le segment al est le rayon de courbure de la section normale considérée.

Lorsque l'angle droit c-iac^ tourne autour de «, on retrouve bien par cette construction que l se trouve toujours entre yi et ya,

Relation d'Enlar. — Nous allons traduire en une formule cette construction du rayon de courbure d'une section normale.

Soient R, et Rj les longueurs des rayons de courbure principaux de (S) au point a.

Écrivons que l'aire du triangle rectangle 0,00^ est égale à la somme des aires des triangles Ci «/ et lac^ ;

Le double de l'aire du triangle c,ac2 est ac, X aci'-, de même, pour le triangle c,al, on a aci x alx siny, et, pour le triangle lac2 , al X «Ca X cos ;p ; on a alors

aci X aCi = acj x al x, sino -i- al x ac^X c.os'f.

En divisant par le produit ac, X ac^ X al^ il vient

al est le rayon de courbure p de la section normale ; «c^ est égal à

Rï

■ On a donc la relation

Cette relation, qui permet de déterminer le rayon de courbure d'une section normale, connaissant les rayons de courbure principaux R, , Rj et l'angle fp que cette section normale fait avec le plan

(') Il ne faut pas oublier que le plan de la secti en y^alo normalie, lui est normal eu y, et que ce ■ de la section que ee plan détermine dans (S),

de la section principale dont le rayon de courbure csL l\, , csl signée sous le nom de relation d'Euler (' ).