COURBURE DES SURFACES

Remaiique. — La normale A, dans toutes ses positions infiniment voisines, rencontre D et A. Nous serions arrivés à un résultat analogue avec d'autres axes simultanés de rotation. Il est bien clair pourtant que les normales à (S), infiniment voisines de A, ne rencontrent pas toutes les droites tracées à partir de Yi et f j dans les plans des sections principales, et qu'on peut prendre par couples comme a\es de rotation. C'est qu'il ne faut pas oublier que nous n'avons conservé dans ce qui précède que les infiniment petits du premier ordre.

Onvoit donc comment il faut comprendre ce théorème de S turm(') : Les normales infiniment voisines de A. rencontrent deux droites.

Construction directe du centre de courbure d'uua section oblique. — Connaissant les centres de courbure principaux y,, -f^ et les plans des sections principales de (S) relatifs au point a, construire directement le centre de courbure de la section E faite dans (S) par un plan quelconque (V) mené par la tangente at à cette surface (^).

Prenons la norraalie à (S), qui a E pour directrice. Le contour apparent de celte normalie sur le plan (P) est la développée de E. Le centre de courbure e que nous cherchons est, sur la normale at en a à E, la projection sur (P) du point oii le plan normal en « à E touche la normalie.

Pour le construire, prenons, le long de la normale A à (S) au point a, un paraboloïde de raccordement de la normalie. Choisissons celui qui a pour plan directeur le plan mené par at perpendiculairement à (P).

Nous connaissons les plans tangents à la normalie en a, Yj, fs- Nous pouvons alors construire les directrices de ce paraboloïde : ces droites sont ai et les intersections des plans des sections principales de (S) avec des plans menés des points 7,, -/s parallèlement au plan directeur.

Au mojen de ces directrices, nous construisons une génératrice du môme système que A. La projection de cette droite sur (P) coupe a^ a\\ point E demandé, parce que toutes les génératrices du paraboloïde du même système que A se projettent suivant des droites qui passent par un même point, et que, pour A et la génératrice qui lui est infiniment voisine, le point de rencontre des projections de ces droites est le point e.

( ' ) Mémoire sur la théorie de la vision ( Comptes rendus dss séances de l'Académie des Sciences, i845).

(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, fi avril i87'i-

lONDE PARTIF