VINGT ET UNIÈME LEÇON

COUKBUUE DES SURFACES (suite).

Indicatrice elliptique, ombilic. — Indicatrice hyperbolique. — Tangentes à la section faite dans une surface â courbures opposées par l'un de ses plans tangents. — Tangentes à la courbe d'intersection de deux surfaces tangentes enti-e elles. — Indicatrice parabolique. — Lignes de courbure d'une surface. — Lignes de courbure d'une surface de révolution. — Surfaces oaculatrîces. ^ Surfaces du second degré osculatrices. — Hjperboloîde osculateur. — Surface do second ordre de révolution osculatrice d'une surface de révolution le long d'un pa-

Indicatrice elliptique. — Reprenons la rdation d'jîulci-

p=ï,rf\ R,=),â^ R,=x6^

5 dans ia relation précédante (

équation en coordonnées polaires d'une ellipse dont les demi-axe.s sont a et b; d est le rayon vecteur ; par conséquent, c'est un demidiamètre de cette ellipse.

Construisons cette courbe (Jig. 171) sur le plan (T) tangenf. à la surface (S) de façon que son centre soit au point de contact a de ce plan tangent et que son demi grand axe soit dans le plan de la section principale dont le rajon de courbure est R( ; l'autre ase est alors sur (T) la trace du plan de la section principale dont le

rajon de courbure eslR^, Si, parla normale aii point « à (S), nous menons un plan faisant un angle (f avec le plan de la section principale qni donne lieu au rayon de courbure R, , sa trace est sur (T) un diamètre de l'ellipse et la longueur de la moitié de ce diamètre est donnée par l'équation (2).

Ainsi, les sections normales de la surface (S) au point a onl des rayons de courbure proportionnels aux carrés des diamètres d'une conique.

C'est pour cette raison que Dupin, à qui l'on doit l'emploi de cette courbe, l'a désignée sous le nom à.' indicatrice { ' ).

Lorsque les centres de courbure principaux y, et ^s sont d'un même côté par rapport au plan tangent (T), la surface est convexo autour du point a ; l'indicatrice, est une ellipse.

Fis. '-■-

Dans le cas particulier où, pour un point de (S), les centres de courbure principaux coïncident, R, est égal à Ro et, pour une section normale quelconque en ce point, le rayon de courbure est égal à R, ; on a alors sur la surface (S) un point tel, que toutes les sections normales faites dans la surface en ce point ont des rayons de courbure égaux; l'indicatrice est une circonférence de cercle, et le point est un ombilic.

Indicatrice hyperbolique. — Si les centres de courbure principaux sont de côtés différents par rapport au plan tangent, les rayons de courbure principaux sont de signes contraires et la relation d'Euler devient

(') Développements de Giioniii,

il>^ SECONDS l'ARTIl!. — VINGT ET UMKllE LEÇON.

]a surface traverse le pian tangent, on dit qu'elle est à courbures opposées et l'indicatrice est une hyperbole.

Les plans menés par les asymptotes de l'indicatrice déterminent, dans la surface, des sections qui ont un rayon de courbure infini ; par conséquent, pour ces sections, le point a est un point d'inflexion et la tangente en a est osculatrice. Celte droite est aussi une tangente osculatrice de la surface, et, comme il y a au point a deux asymptotes de l'indicatrice, on voit qu'e« un point a d'une swface à courbures opposées il y a deux tangentes oscuîatrices.

Tangentes â la section faite dans une surface à courbures opposées par l'un de ses plans tangents. — Nous venons de dire que la surface traverse son plan tanguent. Soit C {fig- 1 72) la courbe d'inter-

section de la surface et de son plan langent (T). Menons par le point a un plan; sa trace sur le plan (T) est une certaine droite qui contient le point a et qui rencontre la courbe C en m; la seclion faite dans la surface par ce plan est une courbe tangente en a i\ la droite am et qui passe par le point m. Lorsqu'on fait tourner ce plan autour du point a de façon que le point m se rapproche infiniment du point «, la section qu'il détermine dans la surface devient une courbe E tangente en n à sa trace sur (T) et qui contient un point de C, infiniment voisin du point a, c'est-à-dire que celte trace est une tangente osculatrice de la courlie E, et par suite de la surface.

Ainsi, la section faite dans la surface (S) par son plan tangent a pour tangente au point a une tangente osculatrice de (S), et, comme il y a deux tangentes osculatrices au point a, la courbe d'intersection C tangente à ces deux droites présente au point a un point double; donc : La section faite dans une surface à courbures opposées par son plan tangent en a est une courbe qui a un point double au point a, et les tangentes en ce point

aux deux branches de la courbe sont les asymptotes de l'indicatrice pour ce point a.

On peut suivre les ifariations de forme des différenies sections normales autour du poinl a de la manière suivante.

Soit (Jig- 173) sur le plan tangent en a la trace de lu surface à courbures opposées ; indiquons par le signe + les parties de cette surface qui sont d'un côte du plan tangent et par le signe — les

parties de la surface qui sont de l'autre côté de ce plan tangent. Menons un plan dont la trace est une droite qui passe par le poinl a; si cette droite est dans la région marquée par le signe +, elle se prolonge de l'autre côté dans la région marquée par le signe +, c'est-â-dire que la courbe d'intersection de la surface par ce plan est située tout entière d'un seul côté du plan tangent; de même, si la trace du plan est une droite dont les deux parties sont dans les régions marquées par le signe —, cette droite est la trace d'un plan qui coupe aussi la surface suivant une courbe située tout entière d'un même côté du plan.

Menons le plan sécant tangenti elle ment en n à l'une des branches de la trace de la surface sur son plan tangent, c'est-à-dire contenant une droite passant de la région marquée du signe — dans la région marquée du signe -|- ou réciproquement. Considérons la partie de la section qu'il détermine située d'un côté du plan tangent et la tangente correspondante issue du point a, l'autre partie de cette droite est tangente à la portion de la section qui est de l'autre côté du plan tangent, et cette section présente au point a un point d'inflexion.

La section faîte dans une surface par un plan qui contient une asymptote de l'indicatrice, et qui n'est pas le plan tangent de la surface, est une courbe oscuiatrice de cette asymptote. Cette propriété se généralise si, au lieu de considérer la section d'une sur-

face par son plan tangent, on considère h courbe d'intersection de deux surfaces tangentes entre elles.

Tangentes à la courbe d'intersection de deux surfaces tangentes entre elles. — Deux surfaces se touchent an point «; la courbe d'intersection de ces deux surfaces est G, Menons un plan sécant par le point a; il coupe chacune des surfaces suivant une courbe qui passe par le point m, où ce plan sécant rencontre C, et ces deux courbes d'intersection sont tangentes entre elles au point a. Lorsque le plan sécant a tourné de façon à contenir la tangente au point a à C, le point m vient se confondre avec a, et les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan ont en a même rayon de courbure. Traçons, sur le plan (T) qui est tangent en a aux deux surfaces, et au mo^-en d'un même paramètre X, les indicalrices de chacune de ces surfaces; le plan sécant, qui a été mené par la tangente en a à C, a pour trace sur (T) une droite qui doit alors passer par l'un des points de rencontre de ces indicatrices. Mais les indicatrices des deux surfaces sont des coniques concentriques, qui se coupent en quatre points symétriques deux à deux par rapport à leur centre ; donc les deux diamètres qui contiennent ces quatre points sont les tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection des deux surfaces tangentes entre elles.

Indicatrice parabolique. — Relativement aux différentes formes que peut avoir l'indicatrice, il reste à supposer que l'un des rayons de courbure principaux de (S) est infini. Si R, est infini, la relation d'Euler devient

et l'indicatrice correspondante se compose simplement de deux droites parallèles entre elles.

Cette circonstance se présente pour les surfaces développables. Le plan normal qui contient une génératrice coupe la surface suivant cette génératrice et, par conséquent, la section faite par ce plan normal est une ligne pour laquelle le rayon de courbure est infini; l'indicatrice d'ime surface développable en un point est donc l'ensemble de deux droites parallèles à la génératrice qui passe par ce point.

Lignes de courbure d'nne surface. ■ — Monge a donné le nom de ligne de courbure à une courbe tracée sur une surface (S) et telle qu'en chacun de ses points sa tangente est l'un des axes de l'indicatrice de (S) en ce point. Ces lignes donnent alors en chacun des points de (S) les directions de plus petite ou de plus grande courbure.

Une ligne de courbure est la directrice d'une normalie développable, car, pour un point quelconque a de cette ligne, le plan langent à cette normalie est l'un des plans de section principale de (S), plan qui est aussi tangent àla normalie en l'un des centres de courbure principaux de (S). La normalie est donc telle, que sur une quelconque de ses génératrices un même plan lui est tangent en deux points : elle est donc développabte. On démontre de la même manière que : lorsqu'une normalie est développable, sa directrice est une ligne de courbure.

Puisque, à partir d'un point n, il y a les deux axes de l'indicatrice qui se coupent à angle droit, il en résulte que sur une sui-face il y a deux séries de lignes de courbure qui se r-enconlrenl à angle droit.

Lorsqu'on a un système de lignes de courbure, il est facile d'avoir les lignes de courbure de l'autre système; il suffit de prendre les trajectoires orthogonales des lignes de courbure du premier système.

Par exemple, pour une surface développable, les génératrices forment un premier système de lignes de courbure; les autres lignes de courbure sont les trajectoires orthogonales des génératrices, c'est-à-dire des développantes de l'arête de rebrousse ment.

Dans le cas particulier où la surface est conique, les génératrices sont des lignes de courbure; les autres lignes de courbure sont les trajectoires orthogonales de ces génératrices, et comme, après le développement du cône, ces trajectoires orthogonales des génératrices deviennent les trajectoires orthogonales de droites qui partent d'un même point, leurs transformées sont des circonférences de cercle. Il résulte de là que les autres lignes de courbure d'une surface conique sont les intersections de cette surface avec des sphères dont le centre est au sommet de cette surface conique.

3oB SECONDE PiRIIE. — VINGT ET U N [ L H E LEÇON,

Lignes de courbure d'une surface de révolution. — Cherchons les lignes de courbure d'une sur/ace de révolution.

Les normales à la surface de révolution issues de tous les points d'un méridien sont dans un même plan : ce méridien est donc une ligne de courbure. Pour un point m de ce méridien (Jiff. 174); l'un des centres de courbure principaux de la surlace de révolution est le centre de courbure [/., de celle ligne méridienne.

Le parallèle de la surface qui passe par le poinlmesl l'autre ligne de courbure. Les normales à la surface de révolution issues de chacun des points de ce parallèle forment, en effet, un cône de révolution; le sommet de ce cône est le point de rencontre jjIï des normales à la surface issues des points de ce parallèle ; ce point de rencontre [Aï est donc l'autre centre de courbure principal. Le parallèle a pour tangente au point m une ligne perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point; on a bien là deux lignes de courbure se rencontrant à angle droit. On voit aussi que les points de Vaxe de révolution de la surface sont des centres de courbure principaux.

La seclioQ normale à la surface de révolution, tangente en ni au parallèle, a pour centre de courbure le point [a^ situé sur l'ase de révolution, et en projetant ce point sur le plan du parallèle on doit retrouver, d'après le théorème de Meusniev, le centre de ce parallèle. C'est ce qui arrive, puisque cette perpendiculaire est l'axe de révolution et que cette droite passe par le centre du parallèle.

Prenons un point m' tel que le centre de courbure de la ligne méridienne ainsi que le point de rencontre de la normale en m' et de l'axe de révolution soient d'un même côté de m' : autour de

ce poinl, m' la surface est convexe- Prenons un point m pour lequel la surface est à courbures opposées; tandis qu'au point m' l'indicatrice est une ellipse, au point m l'indicatrice est une hyperbole. Si l'on suit d'une manière continue l'arc de la ligne méridienne depuis le point m'jusqu'aii point m, il y a un point à partir duquel l'indicatrice, qui était une ellipse, devient une hyperbole. Le passage d'un cas à l'autre a lieu au point nf, qui est le point de contact d'une tangente à la ligne méridienne perpendiculaire à l'axe de révolution. En ce point hi" l'un des rayons de courbure principaux est infini et l'indicatrice se compose de deux droites parallèles entre elles.

Surfaces osculatrices. — Considérons deux surfaces, tangentes entre elles en un point a, qui ont en ce point mêmes plans de sections principales et mêmes rayons de courbure principaux. En vertu du théorème de Meusnier et de la relation d'Euler, un plan sécant mené par le point a détermine dans ces surfaces des courbes ayant au point a même rayon de courbure. Les sections faites dans ces deux surfaces par des plans menés par leur point de contact a sont donc des courbes osculatrices; on dit alors qiie ces surfaces sont osculatrices.

Etant donnée {fig- 17J) une sur/ace (S), construire une sur-

face du second degré qui lui soit osculatrice en a et dont un des sommets soit en ce point. Prenons sur la normale en a à (S) un point 0, et déterminons la siirface du second ordre qui a ce poinl pour centre et qui a pour plans principaiix les plans des sections principales de la surface donnée, en même temps que celte surface a pour rayons de courbure principaux aii point a les rayons de courbure principaux de la surface donnée.

Puisque la section faite dans la surface du second ordre par le

plan principal dont la trace est ap doit être une conique dont le sommet est au point a et dont le rayon de courbure doit être le rayon de courbure R| de la surface donnée, le demi-axe a de cette conique, parallèle à ap, doit être tel que l'on ait

car nous avons vu que le rayon de courbure en un sommet d'une conique est égal au carré du demi-axe parallèle à la tangente au sommet que l'on considère, divisé par la longueur du demi-axe aboutissant à ce sommet.

De même, le plan principal dont la trace est aq sur le plan tangent (T) doit couper la surface du second ordre suivant une conique doûl, l'un des axes étant oa, l'autre 6, doit être toi que l'on ait

On a alors les trois axes«, b eloi:;de la surface du second ordre qui est osculatrice en a à la surface donnée.

Le point o a été pris arbitrairement sur la normale en a. Lorsqu'il s'agit d'une surface convexe, on doit le prendre d'un seul côté du plan tangent; quand la surface est à courbures opposées, le point o peut être un point quelconque de la normale. On voit, dans tous les cas, qu'il y a une infinité de surfaces du second ordre osculatrices à (S) ayant pour sommet le point a.

Si l'on prend pour centre de l'une de ces surfaces osculatrices un point situé à une distance du point a égale à Rr, l'autre demiaxe de la surface du second ordre, qui est dans le plan principal dont le rayon de courbure est R(, est lui-même égal à Rj, et, par conséquent, cette section principale est une circonférence de cercle et la surface du second ordre est de révolution.

Gomme on peut répéter la même chose en plaçant le centre de la surface du second ordre à une distance du point a égale à Rj, on voit que, parmi les sur/aces du second ordre osculatrices à (S) en a, il y en a deux, qui ont ce point pour sommet, et qui sont de révolution.

On peut remarquer aussi que la section faite daus l'une des sur-

laces du second ordre osciilatriccs en a à (S) par uq plan mené par son centre parallèlement a\i plan tangent en a est une conir^uc semblable à l'indicatrice de la surface au point a.

Dans les applications, on construit souvent l'indicatrice sur le plan tangent en a en donnant pour axe à celte courbe les traces des plans des sections principales sur le plan langent en a. On peut remarquer que, si l'on prend R) pour demi grajtd axe de cette indicatrice, le demi petit ase est égal à y^R, Rj .

Hyperboloïde osculatenr d'une surface ràglàa le long d'une génératrice. — Nous venons de voir qu'on peut construire des surfaces du second degré osculatrices à une surface donnée en un point donné; nous allons montrer que pour une sur/ace réglée (G) on peut déterminer un hyperboloïde osculaCeur tout le long d'une génératrice.

Soit G une génératrice de (G) le long de laquelle nous nous proposons de déterminer un hyperboloïde osculateur, c'est-à-dire un hyperboloïde tel, qu'im plan sécant coupe la surface réglée donnée et cet hjperboloi'de suivant des courbes ayant même rajon de courbure pour le point où le plan sécant rencontre la génératrice G.

Prenons une génératrice G' de la surface (G). Par G', comme par une droite quelconque, on peut construire un hyperboloïde de raccordement de (G) le long de la génératrice G. En coupant la surface donnée et cet hyperboloïde par un plan, on obtient deux courbes tangentes entre elles au point a, où le plan sécant rencontre la génératrice G, et ces deux courbes d'intersection ont en commun le point m, où le plan sécant rencontre la génératrice G'. Si maintenant nous supposons que G' soit infiniment voisine de G, ces deux courbes sont osculatrices au point a; comme le plan sécant est arbitraire, l'iiyperboloïde est devenu alors osculateur.

Menons le plan tangent en « à la surface (G). Ce plan coupe cette surface suivant une courbe et l'hjperboloïde suivant une droite qui est la tangente en a à cette courbe. Cette tangente est l'une des asymptotes de l'indicatrice de (G) en a; l'autre asymptote est la génératrice G. On a donc l' hyperboloïde osculateur de [G) le long de G en prenant l'hjperboloïde quia pour di-

reclrices les asymptotes des indicatrices de (G) en trois points de G(')-

Si la surface donnée est à plan directeur, on n'a plus uii hyperboloïde, mais nn paraboloïde osculateur.

Surface du second ordre de révolution osoulatrîoe d'une surface de révolution le long d'un parallèle. — Nous allons montrer que le long d'un parallèle d'une sur/ace de révolution on peut déterminer une surface osculairice du second ordre ayant pour axe de révolution l'axe de révolution de la surface donnée.

Prenons {Jig- 176) un point m de la ligne méridienne de la surface donnée. Construisons pour le point m une conique oscula-

irice de la ligne méridienne ajant pour axe l'axe de révolution donné. Pour cela, du centre de courbure [Ade la ligne méridienne, correspondant à m, abaissons sur l'axe de révolution la perpendiculaire ]i.g ; du point p, où la normale m [a rencontre l'axe de révolution, élevons àcettenormalela perpendiculaire/»^. La droite mg rencontre l'axe de révolution au point 0, et, d'après ce que nous avons trouvé (p. i^4) pour la détermination du centre de courbure d'une conique, le point o est le centre de la conique demandée et op est la direction de l'un des axes de celle courbe. Celte conique a, avec la ligne méridienne, trois points communs infiniment voisins. Lorsqu'on la fait tourner autour de l'axe de révolulion, elle engendre une surface du second ordre de révolution qui

('} Cette CDD a traction, Irouïée par Ciiasles, lorsqu'il était élèye à l'École Polytechnique, a été insérée par Hachette dans ses Éléments de Géométrie à trois dimensions, p. 86; 1817. Voir le supplément à la 3o" Leçon.

a, avec la surface donnée, trois paralièics infiniment voisins com-

Coupons maintenant la surface donnée et cette surface du second ordre par un plan ; les courbes d'intersection ont ea commun les trois points infiniment voisins où ce plan rencontre ces trois parallèles; par conséquent, ces deux courbes d'intersection sont osculatrices. Gomme le plan sécant est arbitraire, la siirface du second ordre de révolution est osculatrice tout le long du parallèle décrit par le point m.