SUPPLÉMENT A LA VINGT ET UNIÈME LEÇON

Autre démonstration du théorème de Meusnier ('). — Prenons sur une surface (S), à partir d'un point a, une courbe G. Construisons une sphère tangente à (S) au point a qui passe par le point «i situé sur C et infiniment voisin du point a. La surface ( S) et cette sphère se coupent suivant une courbe don t une des tangentes est la droite a«, t. Un plan mené par cette tangente at coupe la surface (S) et la sphère suivant des courbes ayant en a même rayon de courbure. La section faite dans la sphère par ce plan est alors le cercle de courbure de la section qu'il détermine dans (S), et, comme ceci est vrai, quel que soit le plan mené par at, pourvu que ce ne soit pas le plan tangent en « à (S), on voit que cette sphère est le lieu des cercles de courbure des sections faites dans (S) par des plans menés par la tangente at (').

En particulier, on peut prendre le centre de courbure Me la section faite par un plan mené normalement à (S) par la tangente at, puis le centre de courbure d'une section oblique menée par cette même tangente at, et, comme les centres de courbure de ces deux sections sont l'un le point /, centre de la sphère, et l'autre le centre d'un petit cercle de cette sphère, on voit que ce dernier centre de courbure est la projection du point / sur le plan sécant, c'est-à-dire que l'on retrouve le théorème de Meusnier.

Théorème snr les normalies. — Nous avoas démontré que les normalies à une surface (S), dont les directrices sont des courbes tracées

(') A l'occasion de cette démonstration, voir une Note de M. Moimcin dans les Applications d'Analyse et de Géométrie du général Posceiët, t. II, p. 363. (') Dtpin, Développements de Géométrie, p. 38.

sur celte surface à partir d'un point a, sont tangentes entre elles au\ centres de courbure pnncipaux -fi. Ys situés sur la normale A à (S) en a. Supposons que les directrices de ces normalies passent en outre par un point b de (S), Les uormalies correspondantes ont alors en commun les normales A, B à (S), qui sont issues des points a et b. Coupons ces normalies par un plan arbitraire mené par le point 7,. On obtient des sections tangentes entre elles en ce point et qui passent par le point b', oiï ce plan sécant rencontre la normale B. Si le point b est infiniment voisin de a, le point b' est infiniment voisin de Yi elles courbes de section sont osculatrices entre elles au point fi. Comme le plan sécant est arbitraire, on a alors ce théorème ;

Les normalies à une sur/ace (S), donl les directrices sont des coifrbes tangentes entre elles en a, sont osculatrices entre elles aux centres de courbure principaux de {%) situés sur la normale A en a.

On voit de la même manière que, si tes directrices des normalies à (S) ont un contact du n'^"" ordre au point a, les sections faites dans les normalies correspondantes par des plans passant par les centres de courbure principaux, situés sur la normale A, sont des courbes ayant un contact de l'ordre n-\-i (').

Puisque les normalies à (S), dont les directrices sont tangentes entre elles en a, sont osculatrices entre elles aux points y,, '{t, les indicatrices ont en ces points les mêmes asymptotes. La normale A est une asymptote commune à ces deux indicatrices; les deux autres asymptotes sont des droites issues respectivement de Yu ïsi st situées dans les plans des sections principales de (S). L'utilité de ces dernières droites ressort de Communications que j'ai faites à l'Académie des Sciences (').

(I) Cette propriété m'a été signalée par M. O. Bos^iet [Étude sur le déplacement, etc. (Journal de l'École Polytechnique, XHII' Cahier, p. ii4)]-

C) Note à l'occasion de la Communication faite par M. Ribaucour dans la séance du i5 mars iS-jS ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 31 mars 1875); Déinoiutratioii géométrique d'une relation due à M. Laguerre (ibid., 6 mars 1876).