THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES : CONSÉQUENCES ET APPLICATIONS

Ltinme, ~ Thûorème des tangentes conjuguées. — Conséquences du théorème des tangentes conjuguées. — Autre démonstration du ttéorème des tangentes conjugaées. — Rayon de courbure de la courbe de contour apparent d'une surface. — Ligne d'ombre ou de perspective sur les surfaces k courbures opposées. — Cône d'ombre.

SuMLÉMÈST. — Droites de coui-burc. — Lignes tracées sur uni. -urfa e — Dueloppée d'une surface. — Tliéovèmes analogues au iliéorémc de Mcusniei — Construire pour un point de la courbe d'intersection de deux suita es i° 1 a^c de courbure; a° le centre de la splière osculatrioe. — Tliéorèm.e de Dupia sur les surfaces onliogoosles. — Détermination des ce de la surface de l'onde (appl. de Géoni. ciiiÉm.). face de l'onde.

Nous allons nous occuper d'un théorème important qui est dû il Dupin ('), et qu'oB désigne sous le nom de théorème des tangentes conjuguées.

Dëmontrons d'abord le lemmc suivant :

Lemme. — La tangente en un point a à (a directrice d'une normalie à une surface (S) et la trace du plan central de cette normalie sur le plan (T) tangent en a à (S) sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de (S) en a.

Soient toujours, comme précédemment (/î^. 177), la normale A à (S) en a, qui est placée verticalement, y,, y^ les centres de courbure principaux de (S) sur A, et, pour un élément de normalie, le point représentatif Y convenablement placé sur la figure. L'angle Y)yY2 est alors droit, et l'angle y, y" ^^^ ^S^^ ^ l'angle que les plans tangents en y^ et en a à la normalie font entre eus.

(') Dé'i'sloppemenls de Géométrie, p. ^i.

r A, est le te compris 1 n à cette

Le pied c de la perpendiculaire yc, abaissée de y point central de cette normalie, et l'angle c-^a est l'ar entre le plan central de la normalie et le plan langent surface.

La figure formée par les droites yy,, yc, yy^, y « étant égale à la figure formée par les traces horizontales des plans qui touchent la normalie en y,, c, y^, a est aussi égale à la figure formée par les traces de ces plans tangents sur (T), tangent à (S) en a.

"yf\

Au lieu de tracer l'indicatrice de (S) pour le point a sur le plan (T), traçons cette courbe sur !e plan de la figure en mettant son centre en y, dirigeant son grand axe suivant yy^, et en la faisant passer par a. Appelons toujours a, b les demi-axes de cette conique. Puisque c'est une indicatrice, on a

Cette relation montre que A est normale en a à l'indicatrice tracée sur le plan de la figure. Par suite yc, qui lui est perpendiculaire, est parallèle à la tangente en a à cette courbe. Les droites yc, ya sont donc deux diamètres conjugués de l'indicatrice, et, comme ces droites correspondent à la trace sur (T) du plan central de la normalie et du plan tangent en a à cette surface, le lemme est démontré.

Théorème des tangentes conjngnées. est tracée sur une sur/ace (5); oi courbe le plan lancent (T) à cette

- Une courbe (a) {fig- 178) mène au point a de cette urface. La caractéristique

TIIÉORÈIIB DES TANGENTES COXJUGUÉES, 3iy

de ce plan, que l'on déplace de façon qu'il soit toujours langent à (S) e( que son point de contact reste sur la courbe {a), est une droite C qui passe par le point a et qui forme avec la tangente en a à la courbe (a) un système de diamètres conjugués de l'indicatrice de (S) en a.

Démoatrons d'abord que la caractéristiqiic C passe par le point a. Les plans tangents à la surface (S) contiennent les tangentes à la courbe (a), c'est-à-dire les génératrices de la surface développable formée par ces tang-enles; ta caractéristique du |)lan (T) passe alors par le point où ce pian est langent ù cette

surface. Puisque le plan (T) n'est pas le plan oscidateur de la courbe (a), il doit être considéré comme tangent à la surface développable au point a; donc C passe par ce point.

Prenons sur (a) le point (3,, infiniment voisin de a, et menons par les deux points a et «, les normales A et A( à la surface (S). Les plans tangents à cette surface aux points a et O) sont respectivemeol perpendiculaires à ces normales ; le plan (T) est perpendiculaire à A, le plan (T, ) est perpendiculaire à A, ; la droite d'intersection de ces deux plans tangents est donc paraDèle à la perpendiculaire commune à A et A, . Ainsi, la droite CJest parallèle à la perpendiculaire commune aux deux normales A et A). Le plan mené par A el par cette perpendiculaire commune a alors pour trace sur (T) la droite C, caractéristique de ce plan. Mais le plan mené par A cl par cette perpendiculaire commune est le plan central de la normalie dont la directrice est la courbe [a), et, d'après le lemme précédent, la trace de ce plan esl conjuguée de la tangente at à cette courbe directrice; donc C et la tangente at sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice au point a. Le ihéorcmc de Dupin est ainsi démontré.

Si l'on trace du poinL a une courbe («') Ungente à la droite G, on peut répéter pour cette courbe ce que nous venons de dire pour la courbe (a); on voit alors que la caractéristique du plan (T), lorsque son point de contact se déplace sur (o'), est la droite at. C'est pour cette raison que les deux droites at et C sont désignées sous le nom de tangentes conjuguées.

Le théorème des tangentes conjuguées, extrêmement utile, donne lieu à de nombreuses conséquences.

Conséquences du théorème des tangentes Gonjaguées. — Traçons sur une surface une courbe quelconque E, el menons à cette surface des plans tangents aux différents points de cette courbe. L'enveloppe de ces plans est la surface développable circonscrite à la surface donnée le long de la courbe E. D'après le théorème précédent, la génératrice G de cette surface, qui passe par le point a de E, et la tangente at en ce point à cette courbe sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de la surface donnée par le point a.

Si, sur la génératrice G, on prend un point quelconque comme sommet d'un cône circonscrit à la surface donnée, la courbe de contact de ce cône et de la surface donnée est tangente au point a à la droite at, car la tangente en ce point à la courbe de contact du cône est conjuguée de la génératrice G. Par suite, quelle que soit la position du sommet du cône sur la tangente G, les courbes de contact de tous ces cônes sont tangentes entre elles au point a.

Il résulte de là que la tangente en un point d'une courbe d'ombre sur une surface est la tangente conjuguée du rayon lumineux qui passe par ce point.

Substituons à la surface donnée au point a une surface qiii lui soit osculatrice, ces deux surfaces ont en ce point même indicatrice; la direction conjuguée d'une tangente G en a est la même pour l'une ou l'autre de ces surfaces. Par conséquent, pour lit recherche de la direction conjuguée d'une tangente à une surface en un point a, on peut substituer à cette surface une surface qui lui est osculatrice en a.

La construction, en un point, de la tangente conjuguée d'une tangente est très simple lorsque l'on connaît les asymptotes de l'indicatrice pour ce point, puisque le diamètre conjugué d'un

dîamèlre d'une hjperbole est le même, par rapport à la courbe ou par rapport aux asymptotes. Dans tous les cas, les constructions peuvent être faites sur les plans de projection par rapport aux projections de l'indicatrice, parce qu'une conique et deux diamètres conjugués se projettent suivant une conique et deux diamètres conjugués.

De ce que nous venons de dire on peut conclure que, si deux sur/aces géométriques se raccordent simplement le long d'une ligne, les lignes d'ombre ne se raccordent pas. C'est ce que l'on voit immédiatement en prenant comme exemple (Jig- 179) un cylindre de révolution terminé par une demi-sphère.

Projetons ce cylindre et cette demi-sphère sur un plan parallèle aux génératrices du cylindre, et supposons que le rayon lumineux soit parallèle à ce plan de projection, La ligne d'ombre sur le cylindre est une génératrice qui se projette sur l'axe de ce cylindre; la ligne d'ombre sur la sphère est un grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon lumineux et se projette alors suivant une droite perpendiculaire à la direction du rayon lumineux. On voit Lien que les deux courbes d'ombre ne se raccordent pas ; elles se rencontrent en un point de la ligne de raccordement des deux surfaces, mais en ce point elles n'ont pas la même tangente.

Il résulte de là que, lorsqu'on Architecture on veut prendre le profil d'im balustre, ce profil ne doit pas être tracé par arcs de cercle. Si l'on traçait les courbes qui forment le profil du balustre au moyen d'arcs de cercle, les surfaces de révolution engendrées par ces arcs donneraient lieu à des surfaces se raccordant seulement le long de parallèles, et alors la ligne d'ombre sur le balustre présenterait des angles. Il vaut mieux tracer à simple vue le profil du balustre, en ayant soin de prendre les courbes qui forment ce

profil de manière à les renrlre osnuJalrices aux points oà l'on passe de l'une à l'autre.

Autre démonstration dn théorème des tangentes conjuguées. — On peut arriver au tliéorème des tangentes conjuguées en s'appujant sur ce que nous avons démontré (p. 3o6) relativement à la construction des tangentes aux deux branches de la ligne d'intersection de deux surfaces tangentes entre elles en un point.

Nous avons vu que, lorsque deux surfaces sont tangentes entre elles en un point a, si l'on construit sur le plan tangent en a les indicatrices de ces deux surfaces à l'aide du même paramètre, les diamètres communs à ces deux courbes sont les tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection des surfaces au point a.

Si les deux surfaces, au lieu d'être simplement tangentes entre elles en a, sont aussi tangentes entre elles en un point infiniment voisin du point rt, alors les deux diamètres des indicatrices doivent se confondre pour ne donner au point a qu'une seule et même tangente aux deux branches de la courbe d'intersection. Pour cela, il faut que les deux indicatrices soient doublement tangentes. Celte circonstance se présente pour les points de la ligne de contact de deux surfaces circonscrites l'une à l'autre.

Soient une surface et la développable qui lui est circonscrite le long d'une courbe (a). Au point a de cette courbe de contact, la surface donnée a pour indicatrice une certaine courbe que nous pouvons tracer sur le plan tangent en o; la surface développable a pour indicatrice l'ensemble de deux droites parallèles à la génératrice G qui passe par a. Mais, d'après ce que nous venons de dire, cette indicatrice doit être doublement tangente à la première ; l'indicatrice de la surface développable se compose donc de l'ensemble des tangentes à la première indicatrice menées parallèlement à la génératrice G de la surface développable, et la corde de contact de ce système de tangentes est la tangente à la courbe {a). Il est bien clair, d'après cela, que cette tangente est conjuguée de G, et l'on retrouve ainsi le théorème des tangentes conjuguées.

De là il résulte aussi que les cônes qui ont pour sommets des points de la génératrice G sont osculateiirs entre eux au point a, car tous ces cônes ont même indicatrice. Cette courbe est lou-

jours, en effet, l'ensemble des langeâtes communes à l'indicatrice de la surface donnée, menées parallèlement à G.

Cette dernière propriété est utile à l'occusion du problème sui-

Rayott de courbure de la courbe de contour apparent d'une surface donnée. — Construire le rayon de courbure de la courbe de contour apparent d'une surface projetée orthogonalement sur an plan.

Circonscrivons à la surface donnée (S) «n cylindre dent les génératrices soient perpendiculaires au plan de projection. Appelons E la courbe de contact de ce cylindre et de (S) et E' la trace de ce cylindre sur le plan de projection. La courbe E' est la ligne de contour apparent de (S) sur le plan de projection. Comme cette courbe ne cliange pas, à quelque distance que l'on transporte ce plan de projection parallèlement à lui-même, nous supposons que ce plan passe par le point a de E, pour lequel nous allons chercher le rayon de courbure de E'.

Prenons E pour directrice d'une nornialie à (S).

Les génératrices de cette normalie sont parallèles au plan de projection et se projettent suivant les normales à E',

Soient, pour le point a de (S), la normale A que nous supposons placée verticalement. A, la normale à (S) au point a, de E, qui est infiniment voisin de a, et c le pied sur A de la perpendiculaire commune à celle droite et à A,. Le point c est le point de rencontre de deux normales à E', qui sont infiniment voisines. C'est alors le centre de courbure demandé.

On voit ainsi que, pour la génératrice A de la normalie, ce centre de courbure -est un point central, et que le plan central est perpendiculaire au plan de projection.

D'après cela, reproduisant \&fig- 177, on a {Jig- 180) l'angle ai que les projetantes font avec le grand axe de l'indicatrice en a qui est égal à l'angle CYY2 'V-^^ ^^ "çXan central de la normalie fait avec le plan tangent en yn à cette surface. Mais cet angle est égal à l'angle Y^T'Y' '^" ^ alors la construction suivante pour déterminer c :

On mène yi y qui fait avec y, ya V angle donné w. Cette droite

rencontre au point y la circonférence décrite sur YiYi comme diamètre : la projection de f sur A est te centre de courbure cherché.

Ori ;i

Désignons par R le rayon de courbure ac de E' en a. La relation précédente peut s'écrire

R R3=(Ri — fi)tangno, d'où

R = Risiii'<u + R3C0s!o).

Telle est la relation qui existe entre le rayon de courbure de la courbe de contoiir apparent d'une surface, les rayons de eour-

bure principaux de celte surface et l'angle de la projetante et du grand asc de l'Indicatrice pour le point que l'on considore.

Lorsque la surface est à courbures opposées, celte relation de- A'ient

n = R, sinn.) — R,cos'w.

Si l'on veut que le rayon de courbun apparent soit nul, on doit alors avoir

de la courbe de contour

bai a étant les demi-axes de l'indicatrice.

Il résulte de là que la direction de la projetante est la direction

d'une asymptote de l'indicatrice. Ainsi, quand on projette une surface à courbures opposées sur un plan perpendiculaire à la direction d'une asymptote de l'indicatrice en un point de cette surface, le rayon de courbure de la courbe de contour apparent est nul.

Remarque. — Si, au lieu de projeter orthogonale me ni la surface donnée, on la projette coniquement sur le même plan de projection, en prenant pour sommet du cône projetant uu point de la projetante eu a, on a, sur ce plan de projection, une courbe de contour apparent dont le rayon de courbure en a est encore ac; car ce cône projetant et le cylindre projetant, dont nous venons de parler, sont osculateurs en a.

Lignes d'ombre ou de perspective sur les surfaces à courbures opposées. — Pour construire un point de la ligne d'ombre de la surface (S) éclairée par un point lumineux /, employons la mélbode des plans sécants.

Par ie point îiimineux {fig- 18 1) menons un plan; il coupe !a

l'is- 18..

surface suivant une ligne C, et le corps occupe la partie couverte de hachures.

Du point l on peut mener à cette ligne un certain nombre de tangentes; les points de contact de ces tangentes appartiennent à la ligne de contact du cône circonscrit à la surface donnée et dont le sommet est an point lumineux. Mais, pour la question d'ombre, ces points de contact ne jouent pas le même rôle. Les points de contact tels que a, c, d, f des tangentes extérieures au corps reçoivent le nom de points réels; les points tels que 6, e, qui sont des points de contact des tangentes intérieures au corps, sont appelés points virtuels de la courbe d'ombre.

On peut remarquer que, parmi les points réels, il y en a qui ne

sonl pas utiles comme points de la courbe d'ombre; ainsi, le point d est un point réel qui n'est pas utile, car le rayon lumineux Id est intercepté par le corps ; le point d se trouve dans une rég;ion qui est dans l'ombre. Les points réels peuvent former une ligne séparée de la ligne formée par les points virtuels; c'est ce que l'on voit immédiatement en prenant le point lumineux sur l'axe d'une surface de révolution {fig. 182). Le point c appartient à un parallèle, lieu de points réels, qui est séparé du parallèle auquel appartient le point b\ celui-ci est un lieu de points virtuels.

En général, la ligne de contact du cône circonscrit se partage en arcs formés par des points réels suivis d'arcs formés par des points virtuels ; les points qui séparent ces arcs sontappelés/iomis depassage; on donne aussi à ces points de passage le nom de points limites.

ïl ressort de la définition des points réels ou virtuels qu'un point limite considéré comme appartenant à l'arc réel est un point de contact d'un rayon lumineux extérieur au corps, et, si a\i contraire on le considère comme l'extrémité de l'arc virtuel, il est le point de contact d'un rayon lumineux intérieur au corps. Le point limite est donc le point de contact d'une tangente qui passe d'une région dans l'autre ; cette tangente est alors une droite osculatrice de la surface, et par conséquent une asymptote de l'indicatrice. Ainsi, au point limite, le rayon lumineux est une asymptote de l'indicatrice. Dans tout cela, il s'agit, bien entendu, de surfaces géométriques.

Pour avoir la tangente en un point quelconque de la ligne d'ombre, nous avons dit qu'on devait prendre la direction conjuguée du rayon lumineux qui passe par ce point. Pour un point limite, la direction conjuguée du rayon lumineux, qui est une asymptote de l'indicatrice, est cette asymptote elle-même; donc, au point limite, la ligne d'ombre est tangente aurayon lumineux.

Réciproquement, les points de contact de la courbe d^oinbre

et des rayons lumineux qui lui sont tangents sont des points limites.

Car la tangente et le rayon lumineux, étant confondus, doivent coïncider avec une asymptote de l'indicatrice de la surface éclairée. Cette droite est alors osculatrice, elle traverse la surface et son point de contact est un point limite.

Cette propriété se conserve en projection, et l'on a alors un moyen de déterminer les points limites lorsqu'on a construit les projections de la ligne d'ombre. On mène, sur le plan de projection, des tangentes à la projection de la ligne d'ombre, et les points de contact sont les projections des points limites; à moins que ces points de contact ne soient les projections de plans pour lesquels les plans tangents de la surface sont perpendiculaires au plan de projection. Car, lorsqu'on a, pour des points d'une surface, des plans tangents perpendiculaires à un plan de projection, les droites tracées à partir de ces points sur ces plans tangents se projettent toutes suivant les tangentes aux projections des lignes tracées à partir de ces points sur la siirface, bien qu'elles ne soient pas, dans l'espace, tangentes à ces lignes.

Cône d'ombre. — Les rayons lumineux tangents à la surface éclairée forment te cône d'ombre. Au point limite il y a une génératrice de ce cône qui est tangente à la ligne d'ombre. Le cône d'ombre présente alors un rebroussement le long du rayon lumineux qui passe en un point limite, et, en ce point, le plan tangentà la surface éclairée est le plan oscalateur de la courbe d'ombre. Cela résulte de ce que nous avons dit (p. 184) relativement aux projections d'une courbe gauche.