SUPPLÉMENT A LA VINGT-DEUXIÈME LEÇON

Droites de courbure. — Conservons toujours les mêmes notations. (G) est la normalie à (S) dont la directrice est C. Au point a de cette courbe menons la normale A. à (S) et sur cette droite marquons les centres de courbure principaux ^ii Ta- ^^ '^^^ points élevons les droites r,, Tj, normales communes à toutes les normalies à (S), dont les directrices parlent de a.

i^fl SECONDIi PARTIE. ~ VINCT-DlïUXIEME LEÇOR..

Ce sont ces droites r„ r, que j'appelle droites de courbiu-e, elles permettent de déterminer ce qui est relatif à ta courbure de { S) pour le point a.

Menons le plan (P) tangent en a à (C) et construisons le centre de courbure l de la section qu'il détermine dans (S), Pour cela, élevons en a la perpendiculaire an à (P). D'un point quelconque n de cette droite menons la droite G qui rencontre T^ et r^. Cette droite rencontre (P) en un point qu'il suffit de projeter sur A pour avoir /. G est, en effet, une génératrice du paraboloïde des normales à la normalie (G), et, par la construction précédente, on voit que (P) est normal à (C ) au point /.

La droite G étant une génératrice du paraboloïde des normales à (C) est parallèle au plan central de cette surface pour la génératrice A, La projection de G sur le plan (T), langent à (S) en «, est alors parallèle à la trace du plan central de (C) sur ce même plan (T).

Par suite, cette projection donne la direction conjuguée de la trace dupla„(P)sur(T).

Ainsi : la projection de G sur le plan Aan rencontre A au centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan (P) et la projection de G sur (T) donne la direction conjuguée de la trace de (P) sur ce plan.

Définitions de quelques lignes tracées sur une surface (')■ — Nous avons déjà parlé des lignes de courbure dues à Monge.

C) 0. BosNET, Mémoire sur la théorie générale des sur/aces (Journal de l'Ecole Polytechnigue, XXXIP Cahier).

LiouïLLLE, nouvelle édition de V Application de l'Analyse à la Géométrie suivie des Disguisiliones générales circa superjicies curvasde Gniiss et de Notes importantes, Paris, i85o.

E. BouB, Théorie de la déformation des sur/aces (Journal de l'École Polytechnique, XXXIX' Cahier).

O. BoKSET, mémoii-e sur la théorie des sur/aces applicables sur une sur/ace donnée (Journal de l'École Polytechnique, XLI" et XLII» Caliier).

LiBÉ, Leçons sur les coordonnées curvilignes,

Chasles, Théorie analytique des courbes à doubli tracées sur l'kyperboloïde à une nappe ( Comptes demie des Sciences, 1861).

L'abbé AouflT, Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une sur/ace

BT, Mémoire sur la tliéorie générale des lignes tracées sur une sur-

i (Mémoire de l'Académie de Belgique, t. XXXVIÏ). , Propriétés de courbes tracées sur les surfaces (Comptes rendus ~e l'Académie des Sciences, i5 mars 1875).

LIGKES TRiCÉES StR UNE SURFACE. 3a7

Dupin a donné le nom de ligne asymptotique à une courbe tracée sur une surface et qui a pour tangente en chacun de ses points une asymptote de l'indicatrice de la surface en ce point.

La surface développable, circonscrite à une surface donnée le long d'une ligne asymptotique, a pour génératrices, d'après le théorème des tangentes conjuguées, les tangentes à cette ligne. D'après cela, les plans osculateurs d'une ligne asymptotique sont tangents à la surface sur laqiieUe cette ligne est tracée. Réciproquement, une ligne tracée sur une surface et dont les plans osculateurs sont tangents à cette surface est une ligne asymptotique.

Une ligne de longueur minima sur une surface est la plus courte entre deux quelconques de ses points. En prenant deux, points infiniment voisins, on voit que le rayon de courbure de la courbe doit être maximum et, par suite, que son plan osculateur est normal à la surface (').

Entre deux points d'une surface, la ligne la plus courte que l'on peut tracer sur la surface porte le nom de ligne géodésique. D'après ce que nous venons de dire, le plan osculateur d'une ligne géodésique est, en chaque point de la courbe, normal à fa surface sur laquelle est tracée la ligne géodésique. Par extension, on donne encore le nom de ligne géodésique à une courbe tracée sur une surface et qui, en chacun de ses points, a son plan osculateur normal à cette surface.

On dit qu'une courbe est surosculée par son cercle osculateur lorsqu'elle a avec ce cercle un contact du troisième ordre. Aux sommets des coniques on a des cercles qui surosculenl ces courbes. M. de la Gournerie a étudié (') sur les surfaces du second ordre les lignes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles, et il a démontré que ces courbes sont les lignes de contact de surfaces développables circonscrites à la surface du second ordre donnée et à des sphères concentriques. C'est en raison de cette propriété qu'il a donné à ces courbes le nom ds pol/todie, qui avait été employé par Poinsol seulement dans le cas de l'ellipsoïde central.

M. Ribaucour a établi un théorème remarquable (*) relatif à la section faite dans une surface par un plan mené par une tangente à cette surface et tel que cette section soit surosculée par un cercle. Pour cela, il a considéré une ligne tracée sur la surface et qu'il appelle

(' ) BEKTBisn, DémoHstratiort géométrique de quelques tlteorêmes r la théorie des sur/aces {Journal de Mathématiques de Liouville, t. xm, p. 73 ).

(') Traite de Géométrie descriptive, III' Partie, p. gfi.

(') Comptes rendus des séances de L'Académie des Sciences, i5 m.

courbe à courbure normale constante. Cette ligne est telle que les sections normales à ia surface sur laquelle elle est tracée, et qui lui sont menées tangentiellement, ont des rayons de courbure égaux.

M. Darboui a considéré les courbes tracées sur une surface (S) et telle que leurs sphères osculatrices sont tangentes à cette surface (').

En raisonnant comme nous l'avons fait dans le Supplément à la vingt et unième Leçon pour démontrer le théorème de Meusnier, on voit que les plans osculateurs de cette courbe déterminent dans (S) des sections qui sont surosculées par leurs cercles osculateurs ('). 11 est facile de voir aussi que, sur la normalie à (S), gui a l'une de ces courbes pour directrice, les centres des sphères osculatrices de celte courbe appartiennent à une ligne asymptotique.

Développée d'une surface. — A partir d'un point a d'une surface (S), il y a deux lignes de courbure. Ces lignes de courbure sont les directrices de deux normalies développables. En décrivant l'une de ces normales la normale A à (S) en a reste tangente à l'arête de rebroussement de cette normalie. En décrivant l'autre normalie, A reste tangente à l'arête de rebvoussement de celte autre normalie.

Le lieu des arêtes de rebroussemenl des normalies développables se compose des deux nappes de la surface lieu des centres de courbure principaux de (S). C'est celle dernière surface que nous appelons développée de (S).

Une normale quelconque de (S) est tangente aux deux nappes de cette développée,, et, aux points de contact, les plans tangents à ces nappes sont à angle droit. Cette propriété est due à Monge; je n'ai fait que lui donner une autre forme en énonçant le théorème sur les normalies (p. agâ).

Les nappes de la développée de (S) forment la surface focale de la congruence formée par les normales à (S). Les foyers d'un pinceau [A] sont les centres de courbure principaux de (S) sur A, et les plans focaux de ce piaccau sont les plans des sections principales de (S) menés par A.

Théorèmes analogues au théorème de Heusnier ('). — Traçons sur une surface (S) des courbes («i), {di), . . . tangentes entre elles en a. Le long de ces courbes circonscrivons à (S) des surfaces développables.

{') Annales scieatifigiies de l'Ecole Normale supérieure, t. VII, (8'jo. (') Bihaccomb, Propriétés de courbes tracées sur les surfaces {loc. cil.). {') Voir, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

THiiOUÈ.MKS ASALOGUES Ali TlIKOftÉMG DE M E U S ri 1 1^ R . 32f(

Ces surfaces ont une génératrice commune ht, qui est la tangente conjuguée de la tangente at aux courbes («i), (flj), Prenons les

normalies à (S) qui ont ces courbes pour directrices.

L'axe de courbure de la surface développable (') circonscrite à (S) le long de («[) esl dans le plan normal à (S) mené par «t et passe par le point p, où ce plan touche la iiormalie à (S) dont la directrice est (a,). De même, pour la surface développable circonscrite à (S) le long de («s), l'axe de courbure passe par le point où ce même plan normal touche la normalie à (S) dont la directrice est («s)-

Mais les normalies à (S), dont les directrices sont les courbes («J, (flj), . . . tangentes entre elles en «, se raccordent le long de la normale A à (S) au point a; le plan normal (A., a-z) touche alors toutes ces normalies au même point p, et l'on peut dire :

Lorscjue des courbes tracées sur une surface (S) sont tangentes entre elles en un point a, les sur/aces développables circonscrites à (S) le long de ces courbes ont, pour axes de courbure relatifs à ta génératrice guipasse en a, des droites qui passent par un même point p de la normale A à (S) en a.

ha. surf ace polaire d'une courbe quelconque (a) tracée sur une surface (S), c'est-à-dire la surface enveloppe des plans normaux à cette courbe, est une surface circonscrite à la normalie à (S) dont (a) est la directrice. La courbe de contact de ces deux surfaces coupe A au point a, oh l'axe de courbure de (a) rencontre cette normale.

Prenons sur (S) des courbes osculatrices entre elles en a. Elles ont un même ase de courbure relatif à ce point. Leurs surfaces polaires contiennent cette droite et sont circonscrites aux normalies à (S), dont ces courbes sont les directrices. Les courbes de contact avec ces normalies passent par le point a, et, en vertu du théorème des tangentes conjuguées, elles sont tangentes entre elles en ce point.

En appliquant le théorème précédent, nous pouvons dire roainte-

Lorsque des courbes tracées sur une surface sont osculatrices entre elles, les axes de courbure de leurs surfaces polaires passent par un même point.

Par le cercle osculaleur de (a) faisons passer une sphère. Appelons E l'intersection de cette sphère et de (S). L'axe de courbure de a) rencontre la sphère en uu point •;, qui est le centre de courbure sphérique de E.

(') Vvir piigc 2io la diîliiiition de cet ^ixc He courbure.

33o SECONDE PARTIE. — VI KGT-DETIXl ÈME LEÇON.

La surface polaire de E rencontre la sphère suivant la développée sphérique de E, c'est-à-dire suivant l'enveloppe sur la sphère des grands cercles normaux à E. L'axe de courbure de la surface polaire de E rencontre la sphère au centre de courbure de cette développée sphérique correspondant à f .

Prenons différentes sphères passant par le cercle osculateur de («), et leurs intersections Ej, Ej, ... avec (S). Les développées sphériques de ces courbes ont, pour centres de courbure sphérique relatifs à ce point, les traces sur les sphères des axes de courbure des surfaces polaires de E,, Ej, .... Comme ces dernières droites passent par un même point et respectivement par les centres des sphères, on peut dire :

Lorsque, par le cercle osculateur en a d'une courbe {a) tracée sur une surface (S), on fait passer des sphères, celles-ci coupent {S) suivant des courbes dont on obtient les centres de courbure de leurs développées sphérigues en projetant un même point sur ces sphères.

Il est utile de remarquer que le point que l'on projette est dans le plan normal à (S) mcoé tangentiollement en « à {a).

Construire pour un point de la courhe d'intersection de deux surfaces : 1° l'axe de courbure de cette conrhe; 2° le centre de la sphère osculatrice (')■ — Soil (a) la courbe qui résulte de l'intersection des deu\. surfaces données (S) et (S'). Désignons par at la tangente à (a) au point a.

En vertu du théorème de Meusnier, le plan normal à (S), mené par at, est rencontré par l'axe de courbure cherché au centre de courbure de la section qu'il détermine dans (S). On peut répéter la même chose en prenant la section faite dans (S') par le plan normal à cette surface, mené par at. On a donc l'axe de courbure de («) en joignant par une droite les centi-es de courbure des sections faites dans (S) et (S') par les plans respectivement normaux à ces surfaces et menés

Le plan mené par at perpendiculairement à cet axe de courbure est le plan osculateur de («) en a, et le point de rencontre de ce dernier plan et de l'axe de courbure est le centre de courbure de {«). Cette construction, due à Hachette, résulte, comme on le voit, du théorème de Meusnier. De même, pour résoudre la seconde partie du problème,

(>) Voir mes Notes dans le Bulletin de la Société mathématique de France, i874j et dans les Com,ptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

TILÉOnÈME Diî DL'PIN SUR LES SUBFAGIÎS ORTHOGONALES, 33 I

nous allons appliquer le théorème analogue au théorème de Meusnier, qui vient d'être démontré.

Considérons d'abord {a) sur (S). Parmi toutes les sphères qu'on peut mener par le cercle osculateur de {a) en a, il y a celle dont le centre est à l'infini et qui se réduit au plan osculateur de (a). Ce plan coupe (S) suivant une courbe dont le centre de courbure 3 de la développée est la projection orthogonale d'un certain point p. Ce point p est aussi dans le plan normal à (S) mené par la tangente at. En supposant connu le point S, il est alors facile de déterminer p.

De même, en considérant («) sur (S'), on a un point p' analogue à P en employant un point S' analogue à S.

Prenons maintenant la sphère osculatrice de {a) et désignons par o son centre.

D'après le dernier théorème démontré, il faut joindre p ou fl' au centre o de cette sphère pour avoir le centre unique de courbure de la développée sphérique des courbes d'intersection de cette surface avec (S) et (S').

Inversement, le centre o se trouve sur la droite pp'. D'aprùii cela, on a la construction suivante :

On détermine les centres de courbure 5, S' des développées des sections faites dans (S) ei {S') par le plan osculateur de {a) en a. On élève en ces points des perpendiculaires à ce plan. Elles rencontrent respectivement en p, p' les plans menés par at normalement à {S) et à {S' ) : la droite PP' rencontre le plan normal en a à {a) au centre o de la sphère osculatrice demandée.

Celte solution exige qu'on sache construire le centre de courbure de la développée de la section faite dans une surface par un plan, problème dont j'ai donné différentes solutions (').

Théorème de Dupin sur Isa surfaces orthogonales. — Si trois séi'ies de surfaces sont telles que chaque surface de l'une quelconque de ces séries coupe orthogonalement les surfaces des deux autres séries, on dit que ces surfaces forment un système triplement orthogonal. Dans un systènie triplement orthogonal, la ligne d'intersection de deux sur/aces appartenant à deux séries différentes est une ligne de courbure pour chacune de ces sur/aces (').

(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, ij et 22 inars (') Dsveloppenieiits de Géométrie, quatrième Mémoire.

,EÇO\.

Prenons (fig. i83) les surfaces de chacune des séries qui passent par un point quelconque o. Soient oa, ot>, oc des éléments égaux entre eux des lignes d'intersection de ces surfaces. Les droites oa, ob, oc normales aux trois surfaces forment un trièdre trirectangle.

Amenons la normale oc en «c, et supposons qu'elle soit extérieure au trièdre. On a deux surfaces se coupant à angle droit suivant oa; les normales à ces surfaces en a sont ac,, «fr, perpendiculaires l'une à l'autre, et aèj est à l'intérieur du trièdre, puisque nous supposons que «C| est à l'extérienr.

Amenons la normale oc en bc^. Cette droite est extérieure au trièdre comme «c,, en vertu d'un théorème de M. Bertrand {p. 3oo). Puis on a une autre normale iti,, qui est alors à l'intérieur du trièdre,

Fig. i8î.

La normale ab, peut être considérée comme la nouvelle position de ob, dont le pied est venu en a. En déplaçant alors ob de façon que son pied vienne en c, elle sera intérieure au trièdre comme «&,.

On peut répéter la même chose pour bai 6t '^<^ii nouvelles positions de oa, et qui sont alors toutes deux à l'intérieur du trièdre.

On arrive ainsi à avoir les deux normales coj, cb^, qui sont à angle droit et qui sont toutes deux à l'intérieur, ce qui est impossible, d'après un théorème démontré page aSo. Nous arriverions de même à une impossibilité, en supposant d'abord que aCy est à l'intérieur du trièdre. On voit alors que oc doit se déplacer dans le plan de la face coa, c'està-dire que oa est la direction d'une ligne de courbure. Cela est vrai pour ob et oc, et, comme le point o est arbitraire, le théorème est démontré.

Construction des centres de courbure principaux de la surface da l'oude (') (Appl. do Géom. cinèm.). —Lorsqu'une figure de forme invariable se déplace de façon que ses points décrivent des surfaces tra-

(') Comptes rendus des s.

•;adémie des Scienc

jectoires, nous avons vu que, pour une position quelconque de la figure, les normales à ces surfaces renconlrent les mêmes deux droites D, A, et qu'une droite G entraînée engendre un pinceau, dont on a les foyers, en prenant les pieds sur G des perpendiculaires à cette droite qui re 11 contrent D et A.

Supposons maintenant, pour définir le déplacement, qu'au lieu de prendre quatre points assujettis à rester sur quatre surfaces données on ait les deux points a et ô confondus en un seul o, les surfaces [d], [b] restant distinctes, et une droite G assujettie à toucher deux surfaces données (Si), (Sj).

Le point o, réunion des points a et b, ne peut alors décrire que la ligne d'intersection (o) des surfaces [a], [fc]-

Déterminons D, A, Menons en o les normales A, B aux surfaces [a], [è]. Ces droites déterminent un plan. On joint par une droite les traces, sur ce plan, des droites r,, Tj normales à (£j), (Sj) et menées à partir des points fj, Yz, où G touche ces surfaces. On obtient ainsi la droite 4, qui rencontre bien les quatre droites A, B, 1',, r,.

Pour avoir D, on mène de o une droite qui rencontre r, et r^. On peut remarquer qu'on n'emploie que le plan (A, B) des droites A et B, c'est-à-dire le plan normal en o à (o), et non les droites A, B ellesmêmes. On pouvait prévoir qu'il en serait ainsi, puisque (o) peut être considéré comme l'intersection d'autres surfaces dont les normales en a sont dans le plan (A, B).

Appliquons cela à la recherche des centres de courbure principaux de la surface de l'onde. Reprenons les notations et \a Jig. i53de la dix-huitième Leçon.

Proposons-nous de construire les centres de courbure principaux de la surface de l'onde ['«i] qui sont sur la normale m,J\.

Puisque om, est égal à om et que la normale mi/j est perpendiculaire à mn, la droite oi est la bissectrice de l'angle droit /,(m,

La figure mobile de grandeur invariable que nous allons considérer est formée par les trois droites J\i, oi, mi. Nous définissons son déplacement en disant: la droite oi passe constamment par le point fixe o et la droite mi reste tangente aux deux nappes (S,), (S^) de la développée de l'ellipsoïde.

Quel que soit le déplacement infiniment petit de la figure mobile, il y a toujours un point de oi, infiniment voisin de o, qui vient en ce point. Nous pouvons alors considérer le point o comme décrivant toujours un élément de la ligne oi.

Nous nous trouvons alors dans les conditions précédentes et nous construisons alors D et A au moyen d'un plan perpendiculaire à oi

mené par le point o et des droites Tj, r^. Ces dernières droites sont maintenant les droites de courbure de l'ellipsoïde.

Connaissant D, a, nous n'avons plus qu'à mener les droites qui les rencontrent et qui sont perpendiculaires à m,/,. Nous avons ainsi les droites de courbure de la surface de Tonde, puisque pendant les déplacements de la figure mobile la droite m^fi engendre un pinceau de normales. Les pieds sur mi/, de ces droites de courbure sont les centres de courbure principaux demandés, elles plans déterminés par ces droites et par m,/i sont les plans des sections principales de la surface de l'onde.

Nous pouvons dédnire de là le théorème suivant i

Poui- les points correspondants m, nti de l'ellipsoïde et de la surface de l'onde, les droites de courbure de ces surfaces Jouissent de ces propriétés; dupointo on peut mener unedroiteH qui les rencontre toutes les quatre; les traces de ces quatre droites sur le plan mené du point o perpendiculairement à oi sont des points d'une droite A.

Détermination géométrique des ombilics delà surface de l'onde ('). — Pour déterminer les ombilics de la surface de l'onde (-), nous allons employer la construction que nous venons de trouver pour déterminer les centres de courbure principaux et les plans des sections principales de ta surface de l'onde.

Faisons tout d'abord remarquer que cette construction est symétrique par rapport à l'ellipsoïde et à la surface de l'onde, c'est-à-dire que, les éléments de courbure de Tune des surfaces étant donnés, on peut les employer à la recherche des éléments analogues pour l'autre surface.

Prenons toujours pour plan de la fîg. i84 le plan passant par le centre o de l'ellipsoïde et par la normale mn en m à cette surface, et appelons 7«, le point de la surface de l'onde correspondant à m.

Supposons que ni, soit un ombilic de la surface de l'onde [»îi]. Les centres de courbure principaux de cette surface, correspondant à m^, sont alors confondus en un seul point que nous appelons ji,. La droite D (le la construction précédente est maintenant op.,. La droite A est une perpendiculaire au plan de la figure, issue du point d'interseclion S

(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 5 mai 1879, et Mémoire sur la théorie de la courbure des sur/aces, par M. be Salïebt {Annales de la Société scientifique de Bruaielles; 1881).

(') Il ne s'agit pas des pointa coniques qu'on appelle aussi quelquefois ombilics.

OMBILICS DE l.A SURFACE DK l'oNDË. 33)

des droites ;i,5 et oS, tracées sur le plan de la figure perpendiculairement à 'Miii-j et oi.

Abaissons sur mn la perpendiculaire oy,; cette droite rencontre D et A. Du point Ysi oh D rencontre mn, menons une perpendiculaire au plan de la figure ; celte droite rencontre aussi D et à.

Les points Yh f» sont alors les centres de courbure principaux de l'ellipsoïde correspondant à m, et les plans des sections principales de cette surface pour ce point sont le plan de la figure et le plan perpendiculaire à celui-ci mené par mn.

Nous trouvons donc que, pour le point m de l'ellipsoïde, d'où dérive

mbilic de la surface de l'onde, le plan d'u

pales de l'ellipsoïde contient le doit être alors dans l'un des plant est de même de l'ombilic qui lui c

Ainsi, les ombilics de la sur/a symétrie de cette surface,

La construction qui donne les &

itre de cette surface. Ce point n principaux de l'ellipsoïde, et il ei jrrespond.

ïde sont dans les plans d'

; de l'o

nlres de courbure principaux •(,,

montre que l'angle iio^i est droit; on peut dire a

Un point m de l'ellipsoïde, d'oà dérive un ombilic m, de la surface de l'onde, est tel, qw. les diamètres o-;,, o-(i, allant au^ centres de courbure principaux de l'ellipsoïde relatifs à ce point, sont à angle droit.

Le point -(i est le centre de courbure de la section faite dans l'ellipsoïde par le plan de la figure que nous savons être un plan principal de cette surface. L'autre centre de courbure Va et les autres plans principau'i déterminent, comme on sait, sur la normale mn des seg-

ments mesurés à parlir de m qui sont proportionnels aux carrés des axes de l'ellipsoïde.

En faisant tourner d'un angle droit le plan de la figure autour de o, le point m vient en m, sur la conique de [m,], située dans le même plan principal. Cette courbe doit alors avoir jj., pour centre de courbure, et le point -;«, nouvelle position de Yj, doit remplir sur /ji, n, le même rôle que 72 sur mii.

D'après cela, on voit, en représentant la surface de l'onde {fig. i85), que nous devons déterminer, sur l'une des coniques de celte surface,

un point mj, pour lequel l'a que sur la normale m,p on ;

en appelant a, b, c les longueurs des demi-axes oa, ob, oc de la surface de l'onde et en conservant les notations précédentes.

Désignons par / et 3 les coordonnées inconnues de m,. Il résulte des conditions que doit remplir ce point que l'on a

ma-

Au moyen de cette relation, construisons n. points singuliers delà surface de l'onde et tu 1'

i. Appelons g V ngle xog. On a

Par le poinl /«,, des xy (le point m' Désignons m' p par \

le plan m^pm' parallèlemenl au plan la circonférence donl le rayon est oa').

En appelant ^ l'angle

La bissectrice

lière suivante :

alors les ombilics de la surface de l'onde de lama-

On mène la bissectrice oc de l'angle xog que le diamètre og fait avec l'un des axes o.x de la conique qui contient g, A partir

de o, on mène une droite faisant avec ov un angle égal à y • Cette droite, en tournant autour de ov, engendre un cône qui rencontre en quatre points la circonjérence de rayon oa. Par ces points on mène des plans parallèles au plan des œz. Ces plans rencontrent la conique de la surface de l'onde, située clans le plan perpendiculaire à ose, en quatre points réels qui sont des ombilics de la surface de l'onde.

En employant la bissectrice de l'angle gos, on trouve quatre om^ bilics réels sur la conique dont le plan est perpendiculaire à os.

On voit ainsi que sur la surface de l'onde il y a huit ombilics réels, et l'on voit aussi comment on détermine ces points.

On peut remarquer que la conique qui contient les points singuliers réels est la seule sur laquelle il n'y a pas d'ombilics réels.