VINGT-TROISIEME LEÇON

LIGNES D'OMBRE PORTÉE SUR LES SURFACES A COUHBUItES OPPOSÉES. — CONSTRUCTIONS DES LIGNES D'OMBRE PROPRE SUR LES SURFACES DE RÉVOLUTION ET DES TANGENTES A CES LIGNES.

'l'angenle i> la courbe d'ombre portée. ~ Raccordement des lignes d'ombre propre et d'ombre portée sur les surfaces à courbures opposées. — Points de rencontre des lignes d'ombre propre et d'ombre portée. — CAne d'ombre. — Ligne de contour apparent d'une surface à courbures opposées. — Constructions des lignes d'ombre propre sur les sur/aces de révolution. — Surface de révolution considérée comme enveloppe de cônes de révolution. — Surface de révolution considérée comme enveloppe de sphères. — Le point lumineuï est sapposé dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. — Constructions de la tangente en un point de la ligne d'ombre sur une sur/ace de révolution. — Première construction au moyen de l'indicatrice. — Deuxième construction au moyen d'une surface du second ordre osculatrice et de révolution.

le la tangente en un point de la ligne mbre sur une surface de révolution. — Construire les rayons bitangenta à tore éclairé par un point lumineux. — Construire les rayons bitangents à un e éclairé par des rayons lumineux parallèles entre eux.

Coupons la surface (S), qtii termine le corps (fig. i86), écJa

par un plan mené par le point lumineux /. Menons de ce point des tangentes à la section G ainsi obtenue ; ces droites peuvent de nouveau rencontrer cette courbe : ainsi, le point de contact a de la tangente la a pour ombre portée le point a', où la droite la rencontre la courbe 0. La droite Ib rencontre cette courbe au point

y , qwi fait partie de la courbe d'iE Lerseciion de la surface (S) et (lu cône circonscril. à cette surface, mais qui n'appartient pas à une ligne d'ombre portée. On dit que le point a' , qui appartient à une tangente extérieure, est un point réel de la courbe d'ombre portée; le point b' , qui appartient à une tangente intérieure, est dit un point virtuel de cette courbe. On a alors sur cette courbe des arcs réels et des arcs virtuels et des points de passage de ces arcs réels aux arcs virtuels ; nous allons faire voir que /es /ioi7i(5 de passage des lignes d'ombre portée sont les points limites des lignes d'ombre propre.

Prenons {fig. 187) un rayon lumineux tangent à la courbe

Fig. .8,.

d'ombre ; il a alors avec la surface trois points infiniment voisins communs m, n, p. Si l'on considère les deux points n elp comme appartenant à une tangente extérieure, le point m est un point réel de la courbe d'ombre portée; si l'on considère les points m et n comme formant par leur réunion le point de contact d'une tangente intérieure, le point p est un point virtuel de la courbe d'ombre portée. On voit ainsi que, selon que l'on considère la tangente intérieure ou la tangente extérieure en un point limite de la courbe d'ombre propre, on obtient un point de la courbe d'ombre portée que l'on peut regarder comme réel ou virtuel; un point limite de la courbe d'ombre propre est donc aussi point limite pour la courbe d'ombre portée.

Tangente à la courbe d'ombre portée. — Pour construire la tangente au pointa' à la courbe d'ombre portée (Jig- 186), on n'a qu'à prendre l'intersection du plan tangent en a' à (S) avec le plan tangent au cône d'ombre le long de la génératrice la'. Mais ce plan tangent au cône d'ombre n'est autre que le plan tangent en « à la surface (S) qui limite le corps éclairé ; la tangente en «' à la courbe d'ombre portée est donc l'intersection des plans tangents en a' et fl à la surface (S).

340 SBCONBE PARTIE. — V [ NG T-TR OISl lï M B T.IÎÇOW.

Raccordement des lignes d'ombre propre et d'ombre portée snr les surfaces à courbures opposées. — Dans le cas parliculier où le point de la courbe d'ombre portée est, un point limite, on doit prendre l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins dont les points de contact 'sont dans la direction d'une asymptote ^de l'indicatrice ; la droite d'intersection de ces deux plans est alors l'asymptote elle-même. Ainsi, en un point limite la tangente à la courbe d'ombre portée est le rayon lumineux lui-même; par conséquent, aux points limites, les courbes d'ombre propre et les courbes d'ombre portée se raccordent.

II est essentiel de bien voir comment se succèdent les arcs des courbes d'ombre propre et d'ombre portée.

Pour le moiUrcr, considérons un dcini-lorc {^/^g- 188) et le

point lumineux l. Menons du point l des tangentes au tore; la tangente la le rencontre de nouveau au point a' ^ la tangente Ib rencontre cette surface au point 6', la tangente le donne le point </, et enfin la tangente Im touche le tore au point limite m. Les points a, b, c, m forment un arc réel de la courbe d'ombre propre; à partir du point m, la Hgne d'ombre propre devient virtuelle, mais cet are est prolongé par un arc réel de la courbe d'ombre portée. Ainsi, au point m les arcs réels des courbes d'ombre propre et d'ombre portée se raccordent, et c'est en ce point m que ces deux arcs, si on les prolonge, deviennent simultanément virtuels.

Points de rencontre des lignes d'ombre propre et d'ombre portée. — Le point m est un point de rencontre d'une ligne d'ombre propre et d'une ligne d'ombre portée. 11 peut exister d'autres points de rencontre des courbes d'ombre propre et d'ombre portée. Supposons qu'un rayon lumineux(^g'. 189) soit bilangcnt

à la surface (S) : chacun des points de contact a et a' appartient à la ligne d'ombre propre. Mais le point a' peut être considéré comme l'ombre porlée par le point a; on a donc au point a' un point de rencontre des courbes d'ombre propre et d'ombre porlée , Au point a', la langente à la courbe d'ombre propre est la tangente conjuguée du rayon lumineux a' ^; la tangente en a' à la courbe d'ombre portée, étant l'intersection du plan tangent en a'

et du plan tangent en « à la surface éclairée, esl le rayon lumineux, excepté quand les plans tangents en ces points se confondent. Ainsi, en général, en un point de rencontre d'une courbe d'ombre propre et d'une courbe d'ombre portée, les tangentes à ces courbes sont conjuguées, et l'on peut dire que cela esl vrai pour le point limite, puisque, la tangente au point limite à l'une ou à l'autre de ces courbes étant l'asymptote de l'indicatrice, cette droite est confondue avec sa direction conjuguée.

Cette propriété, relative à la direction des tangentes en un point de rencontre d'une courbe d'ombre propre et d'une courbe d'ombre portée, subsiste lorsque l'on considère l'ombre porlée d'un corps sur un autre. Ainsi, un tore porle son ombre sur un autre tore; il j a alors, sur cette seconde surface, à la fois une ligne d'ombre propre et une ligne d'ombre portée par le premier tore ; au point de rencontre de ces lignes, leurs tangentes donnent deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

Cône d'ombre. ^ Les rayons lumineux bitangenls sont, sur le cône d'ombre, des génératrices doubles, et, si l'on prend la trace de ce cône d'ombre sur une surface extérieure à l'objet éclairé, ces génératrices doubles donnent des points doubles de la ligne d'ombre portée ; en ces points doubles , les tangentes à la courbe d'ombre portée sont les traces des plans tangents à (S) aux points de contact des rayons bitangents. Les gcncralriccs du cône d'ombre