LEÇON

qui passent par les poinLs limites donnent des points de rcbroiissement sur cette courbe d'ombre portée, et les tangentes en ces points sont les traces des plans tangents à (S) aux points limites.

Ligne ds contour apparent d'une snrface à courbures opposées. — Ce qui précède s'applique lorsque l'on prend la ligne de contour apparent d'une surface à courbures opposées. Projetons, par exemple, f un plan ; on a i^fig. 190) une courbe parallèle à une

•enl d'u 1 tore s

ellipse ; / et / sont des points de rebroussement de ta ligneMe contour apparent du tore sur ce plan ; ces points terminent un arc réel y/y'' ; les points d et d' sont des points doubles de cette ligne de contour apparent.

Si, au lieu de projeter le tore, on suppose cette surface éclairée par des rayons lumineux parallèles à la direction des projetantes que nous venons de considérer, on obtient toujours {fig- 191) Ja

courbe parallèle à une ellipse, mais dans ce cas les arcs utiles sont simplement des portions de celte courbe.

Nous allons appliquer ce qui concerne la courbure des surfaces à la construction des tangentes aux lignes d'ombre propre sur les surfaces de révolution. Construisons d'abord ces lignes.

CONSTRUCTIONS DES LIGNES D'OMBRE PROPRE SUR LES SURFACEf; DE RÉVOLUTION.

Surface de révolution considérée comme enveloppe de cônes de révolution. ~ - Prenons i^fig- 192) im tore dont Taxe est perpendicu-

laire au plan horizontal de projection; soit {/, /') le point lumineux. Pour déterminer les points de la ligne d'ombre situés suides parallèles du tore, considérons celte surface comme l'enveloppe de cônes de révolution dont les caractéristiques sont ces parallèles; a' 6' étant la projection du parallèle sur lequel nous cherchons un point de la courbe d'ombre, menons au poirit a' une

tangente à la courbe méridienne. CeLtc droiie est la génératrice de contour apparent du cône circonscrit au tore le long de a'b' \ la trace de ce cône, sur le plan liorizonlal à la hauteur du point /', est une circonférence de cercle qui se projette horiïontalemenl suivant la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon. Les lignes d'ombre propre sur ce cône sont des génératrices, dont on obtient des points en construisant les points de contact des tangentes à cette circonférence menées du point l; sur ol, comme diamètre, on décrit une circonférence de cercle qui rencontre en deux points e-, g la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon; les droites oe,o^ sont les projections horizontales des lignes d'ombre sur le cône ; ces droites rencontrent la projection horizontale du parallèle db' en deux points m et n, qui sont les projections horizontales de deux points de la courbe d'ombre cherchée.

Dans cette construction, il faut tenir compte de la position du parallèle sur le cône relativement au sommet de ce cône et à la base de celle surface sur le plan horizontal à la hauteur du point V \ on voit, dans le cas de la figure, que db' est entre ce plan horizontal et le sommet du cône : les points tels que m eln sont alors entre la projection horizontale o du sommet du cône et les points e, g, qui appartiennent à la base de ce cône.

La courbe d'ombre est symétrique par rapporta la droite o/; les points de la courbe d'ombre qui se projettent sur cette droite sont ceux pour lesquels la tangente est horizontale; ^par conséquent, ce sont le point le plus haut et le point le plus bas de cette courbe. Pour les construire, on n'a qu'à chercher les points de la courbe d'ombre situés sur les méridiens qui se projettent sur ol.

Quel que soit le méridien du tore, on peut construire les points de la ligne d'ombre situés sur ce méridien, en considérant le tore comme l'enveloppe de cylindres de révolution. On est ainsi conduit aux tracés mêmes que nous venons d'obtenir en cherchant les points de la courbe d'ombre situés sur des parallèles.

Sur les lignes de contour apparent, on obtient très facilement des points de la courbe d'ombre propre. Par exemple, sur la projection verticale, on a des points de la courbe d'ombre propre en prenant les points de contact des tangentes menées du point V à la ligne de contour apparent du tore sur le plan vertical de pro-

jection; car on peut considérer cette courbe comme la trace sur le plan vertical d'un cylindre circonscrit au tore et dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical de projection. Les lignes d'ombre sur ce cjlindre sont les perpendiculaires au plan vertical qui passe par les points de contact des tangentes à la base de ce cylindre menées du point /'; on a donc les points i elj qui représentent les projections verticales des lignes d'ombre propre sur le cylindre projetant le tore. Ces droites rencontrent la ligne de contact du tore et du cylindre circonscrit aux points de la courbe d'ombre cherchée ; les points! et y sont alors les projections des points de l'ombre propre sur le tore, et en ces points la projection de la ligne d'ombre propre est tangente à la ligne de contour apparent du tore sur le plan vertical.

Ce que nous venons de dire pour la projection verticale peut se répéter pour la projection horizontale. On obtient des pointsdela ligne d'ombre propre en menant, à la ligne de contour apparent du tore sur le plan hori/.ontal, des tangentes issues du point /.

Dans le cas où les rayons lumineux sont parallèles entre eux, on détermine la courbe d'ombre propre en transportant les cônes circonscrits au tore de manière à leur donner pour sommet un ir l'axe de rcvoliTl.iim.

Surface de révolution considérée comme enveloppe de s surface de révolution étant l'enveloppe de sphères, cherchons, dans le cas de rayons lumineux parallèles, la ligne d'ombre propre au moyen de sphères enveloppées.

Considérons (^g- ig'i) la sphère qui touche la surface de révolution le long: du parallèle ah. La ligne d'ombre propre sur cette sphère se projette suivant une courbe semblable à la courbe qno

l'on obtienten prenant une splière auxiliaire d'un rayon arbitraire Ojai- Supposons qu'on ait construit cette courbe d'ombre propre sur cette sphère; on n'a alors qu'à mener du centre Oi une parallèle o, a, au rajon oa, puis du point a, une parallèle à ab ; celte droite rencontre la courbe d'ombre'propre au point m, ; en menant du point o xme parallèle à o, m,, on obtient sur le parallèle ab le point m qui appartient à la courbe d'ombre propre sur la surface de révolution.

Quel que soit le parallèle de la surface de révolution, on emploie toujours cette même sphère de rayon arbitraire sur laquelle on a construit une fois pour toutes la ligne d'ombre propre.

Lorsque la surface donnée est un tore, on peut prendre pour sphère auxiliaire la sphère décrite du centre du tore avec un rayon égal au rayon de la sphère qui, en tournant autour de l'axe de révolution du tore, engendre cette surface. Pour obtenir un point di' la courbe d'ombre du tore sur un méridien oo^ (/î-g- '94); on

n'a qu'à transporter parallèlement à elle-même celte sphère auxiliaire avec sa ligne d'ombre propre; le point m de cette ligne vient ainsi au point m,, tel que mm, =^ oo,. Quel que soit le méridien considéré, on doit toujours prolonger les diamètres de l'ellipse, courbe d'ombre sur la sphère auxiliaire, d'une longueur constante égale à oo i ; on voit ainsi que la projection, horizontale de la courbe d' ombre propre sur un tore éclairé par des rayons lumineux parallèles est une conchoïde d'ellipse.

On peut déterminer la normale au point m, à cette courbe d'ombre; pour cela, on mène au point o une perpendiculaire à

CONSTRUCTIONS DES LIGNES d'OHBRE. 3J7

la droLle om,, et au point m on trace la normale à l'ellipse, projecLion delà courbe d'ombre sur la sphère auxiliaire; ces deux droites se coupent en un point a : ia droite am, est la normale demandée. Le point a est, en effet, le centre instantané de rotation pour un déplacement infiniment petit du segment mm,, de grandeur invariable, qui passe constamment par le point o et dont l'une des extrémités m décrit une ellipse.

Le point lumineux est supposé dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. — Clierclions la courbe d'ombre propre sur le tore en supposant que le point lumineux \ soit {fig. 190) dans le plan méridien du tore parallèle au plan vertical de projection.

--'iPr'"

Nous allons considérer le tore à la fois comme l'enveloppe de cônes de révolution et comme l'enveloppe de sphères. Prenons le parallèle qui passe par le point a; te cône circonscrit îe long de ce parallèle a son sommet au point (; la sphère circonscrite au tore le long de ce parallèle a son centre au point i, où la normale en a au cercle méridien du tore rencontre l'axe de révolution de cette surface. Par suite de la position particulière du point lumineux, la courbe d'ombre propre sur cette sphère se projette suivant une droite; cette droite rencontre le parallèle ac au point m. qui est la projection verticale d'un point de la courbe d'ombre. Il résulte de cette construction que le point m est le point de rencontre des cordes de contact relatives au svstcmc des tangentes

inen<5es des points )* el î à la cîrcouférence ia; ce point m est alors sur la perpendiculaire im abaissée du point i sur la droite \t.

Si le point X est à l'Infini, c'esl-à-dlre si les rayons sont parallèles entre eux et parallèles au plan rertical de projection, on voit qu'on obtient le point m, en abaissant du point i une perpendiculaire au rayon lumineux.

Reprenons le point \ à distance finie. On peut dire que le point Tn est, dans l'espace, le point de contact de la sphère, dont le centre est au point i, eid'un plan tangent à cette surface ment^ par la droite \t\ le point m est alors le point de contact avec le parallèle ani de la trace de ce plan tangent sur le plan de ce parallèle.

Appelons r le point où k droite \i rencontre le plan du parallèle. Puisque, dans l'espace, la droite rm est une tangente à ce parallèle, on a

Prolongeons la droite at jusqu'au point q où elle rencontre la perpendiculaire abaissée du point \ sur l'axe de révolution. On a alors

car le rapport -y est égal à ^-

II résulte de cette relation que, si l'on joint le point î^ au points, cette droite rencontre l'axe de révolution en un point g, tel que les points q, m, g soient en ligne droite. K\'a.%i,pour obtenir le point m de la courbe d'ombre situé sur le parallèle ac, on trace la droite \a qui donne le point g, on joint ce point g au point q où la tangente at rencontre la perpendiculaire "ke à l'axe de révolution; la droite gg coupe le parallèle ac au point m demandé.

Celle construction est applicable pour un parallèle quelconque du tore, tandis que la première construction ne conduisait à des points de la ligne d'ombre propre que pour les points de cette ligne réellement existants. C'est qu'entre ces deux constructions il y a cette différence : la première s'appuyait sur la détermination possible de tangentes à une circonférence menées d'un point,

Laodis que pour la seconde, si les langcnLes ;m parallèle ac menées du point /' n'existent pas, la corde de contaet de ces tangentes est toujours réelle; or c'est cette corde, dont la projection donne le point m.

CONSTRUCTIOiNS Dlî LA TANGENTE EN UN POINT DE LA LIGNE D'OMBRE SUR UNE SUIiFAGE DE RÉVOLUTION.

Preinière construction au moyen de l'indicatrice. — Proposons -nous de construire la tangente au point (*», m') (fig- 196) de la courbe

d'ombre. En ce point, la surface est à courbures opposées. Nous n'avons donc qu'à chercher la tangente conjuguée du rayon lumineux qui passe au point {m, m!) par rapport aux asymptotes de l'indicatrice en ce point.

Cherchons ces asymptotes. Faisons tourner le plan méridien om jusqu'à ce qu'il soit parallèle au pian vertical de projection. Le point (m, m') vient en {a, a!) ; les axes de l'indicatrice en ce point sont, l'un la tangente au méridien, l'autre la tangente au parallèle. Sur la tangente au méridien portons une longueur a' g'^ a'y., a! ■/.

étantle rayon de courbure delà ligae méridienne en a'. L'autre axe del'indîcalrice est alors (p. 3 II) une moyenne proportionnelle entre (^1, et a!^. Pour construire cette moyenne proportionnelle, décrivons sur œ^ comme diamètre une demi-circonférence, elle rencontre a! g' en un point cl-, et la longueur de l'autre axe de l'indicatrice est dd. Projetons horizon a lem en t les axes de cette indicatrice : le point g' se projette horizontalement eu g; l'axe de l'indicatrice qui est perpendiculaire au plan vertical de projection se projette suivant la perpendiculaire au plan vertical de projection menée du point a, et cette droite ah est égale à dd. Les projections des asymptotes sont alors les droites ap et aq, les points />, q étant obtenus en prenant gp = gq = ah. Ramenons maintenant le plan méridien oa de manière que le point a vienne en m en entraînant les droites ap et aq. On a alors les projections des asymptotes de l'indicatrice pour le point m, et il suffit de prendre par rapport à ces droites la direction conjuguée de la projection du rayon lumineux. On peut opérer de même sur le plan vertical de projection en cherchant les projections verticales des asymptotes de l'indicatrice.

Au point de vue graphique, il est clair qu'au lieu de tracer les droites ap et aq^ on peut immédiatement tracer les projections des asymptotes de [l'indicatrice en m. On prend, sur le prolongement de om, un point /: tel que mk'=ag, puis on élève au point k une perpendiculaire à la droite ok et l'on porte sur cette perpendiculaire à partir du point k deux segments égaux à (^ d; on joint les extrémités de ces segments au point m, et l'on a les projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice pour ce point.

Lorsque le point de la courbe d'ombre est sur une partie de la surface qui est convexe, on peut opérer comme s'il y avait des asymptotes pour l'indicatrice; puis, quand la construction est achevée, on prend par rapport aux axes de l'indicatrice la droite symétrique de la tangente à laquelle on est conduit, et l'on a la droite qu'il s'agissait d'obtenir. On opère ainsi parce que, pour une ellipse et une hyperbole qui ont les mêmes axes, les diamètres conjugués d'un même diamètre sont deux droites symétriques par rapport à ces axes. En effet, les coefficients angulaires de ces deux diamètres conjugués ne diffèrent que par le signe.

Seconde constnictian au moyen d'une surface du second ordre osculatrice et de révolution. — Supposons que le rayon lumineux qui passe par le point m de la courbe d'ombre rencontre le plan méridien du tore, parallèle au plan vertical de projection, en un point X ijig. 197)- Nous savons qu'en prenant le point \ comme point lumineux, la courbe d'ombre propre correspondante est tangente, sur le tore, à la courbe d'ombre propre relative au premier point lumineux. Le problème est donc ramené à la recherche de la tangente à la courbe d'ombre propre dans le cas où le poini lumineux occupe la position particidière \.

Substituons à la surface de révolution donnée une surface qui lui soit osculatrice au point m. Nous savons que la courbe d'ombre

Fis. '97-

proprc sur cette surface osculatrice est tangente à la courbe d'ombre propre sur la surface donnée. Nous ramenons alors le problème à la recherche de la tangente à la courbe d'ombre propre sur cette surlace osculatrice au point m.

Prenons une surface du second ordre de révolution osculatrice à la surface donnée tout le long du parallèle qui contient le point m . Celte surface étant de révolution et le point que nous considérons comme lumineux se trouvant dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection, la courbe d'ombre sur cette surface se projette suivant une simple droite, qui est la tangente demandée. Effectuons les constructions.

Cherchons le centre de la conique courbe méridienne de cette surface du second ordre. Elevons au point ^ une perpendiculaire

;i lu normale «p à k courbe méridienne du tore et prenons le point de rencontre de cette droite avec la perpendiculaire abaissée du centre de courbure a sur l'axe de révolution. Joignons par une droite ce point de rencontre au point a; elle coupe l'axe de révolution au point o qui est le centre de la conique, d'après ce que nous avons trouvé page 174- Sur cette conique on a le point a', symétrique du point a par rapport à l'axe ou, et en ce point la tangente à cette courbe passe par le point u où la tangente en « à la courbe méridienne du tore rencontre cet axe. Ainsi, au point a! de la conique, la tangente est la droite a' u.

Pour avoir la courbe d'ombre sur la surface du second ordre osculatrice, nous n'avons qu'à en construire un point, puisque cette courbe se projette suivant une droiie et qu'elle passe par le point m. Cherchons le point situé sur le parallèle qui contient le point a'; appliquons la construction que nous venons de donner pour le cas où le point lumineux est dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. A cet effet, on joint le point î> au point a' et l'on obtient le point g sur l'axe de révolution; on prend le point de rencontre q de la tangente a! u et de la perpendiculaire abaissée du point \ sur l'axe de révolution; on joint le point g au point q. Cette droite rencontre le parallèle qui passe par a' en un point n ; ce point n est le point de la courbe d'ombre sur ce parallèle; la tangente en m à la courbe d'ombre sur le lore est donc la droite mii.