SUPPLÉMENT A LA VINGT-TROISIÈME LEÇOS

Troisième construction de la tangente en un point de la ligue d'ombre sur une surface de révolution.— Cette construction est bast-e sur cette remarque, faite à la page Saô : la direction conjuguée en un point m de la tangente à la directrice d'une normalie à une surface (S) est la projection, sur le plan (T) tangent en ce point à (S), d'une génératrice du paraboloïde des normales à cette normalie,

La droite, que l'on doit projeter sur (T), rencontre alors la droite tracée sur (T) à partir de m normalement à la directrice de la normalie elles droites de courbure de (S) relatives au point m.

l'renons {fig- 19S) pour plan vertical de projection un plan pas-

sanl par l'ase de révolulîon d'un tore et pour plan horizontal le plan perpendiculaire à cet axe, qui contient le centre o" de la sphère mobile dont le tore est l'enveloppe.

Supposons que m soit un point de la projection horizontale de la ligne d'ombre et que le rayon lumineux, passant en m se projette suivant R. Nous devons construire la tangente conjuguée du rayon lumineux projeté en R. Nous allons appliquer ce que nous venons de rappeler, en supposant qu'on ait une normalie au tore dont la directrice soit tangente en m au rayon lumineux.

Faisons tourner ie plan méridien qui contient le point m autour de

Fig. .98.

l'axe do révolution pour l'amener à coïncider avec le plan vertical de projection et entraînons la normalie : le point m vient en m".

Les droites de courbure du tore relatives à m" sont, l'une, dans ie plan vertical de projection, la perpendiculaire o" d" au rayon m'o"; l'autre, la perpendiculaire au plan vertical de projection, qui se projette au point [t. La normale à la directrice de la normalie, qui est dans le plan tangent en m' , se projette verticalement suivant la tangente m" h" à ia circonférence méridienne du tore. Une génératrice du paraboloïde des normales à la normalie se projette alors verticalement suivant une droite quelconque 11^"^° qui passe par le point |i.

Pour déterminer ce que devient la projection de cette droite sur le plan tangent au tore en m, lorsqu'on a ramené le point in' en m, nous allons chercher d'abord pour le point m la projection de la droite de

354 SECONDE PARTIE. — V IKGT- T R 0 1 SI ÈM E LEÇON.

courbure analogue à o" d" et la normale en m à la direclrice de la normalie dans le plan tangent en m.

Commençons par celle dernière droite. Elle est l'intersection du plan (T) tangent au tore en m et d'un plan mené par m perpendiculairement au rayon lumineux qui passe en ce point. La trace horizoutale de ce plan est la perpendiculaire on abaissée dw point o, centre de la circonférence méridienne du tore, sur la projection hori- Konlale R du rayon lumineux. Celle perpendiculaire on rencontre eu n la trace horizontale du plan (T) : la droite mn est alors la pro~ jection d'une droite qui, dans ce plan tangent, est perpendiculaire au rayon lumineux.

Quant à la droite de courlmre o"d", elle se projette, après la rotation, suivant la droile od.

Reprenons la génératrice du paraboloïde des normales ^h" d" qui est projetée suivant m'/i'e" sur le plan tangent au tore eu m". Cherciions ce que devient cette projection lorsque m" vient en m. Le ])oinl e° se ramène en e sur od, le point projeté verticalement en A" vient en h sur mn. La droite he est alors, d'après ce qui précède, parallèle à la projection horizontale de la tangente à la ligne d'ombre en m. 11 suffit donc de mener du point m une parallèle à he pour avoir la tangente devnandée.

Construire les rayons bitangents à un tore éclairé par un point lumineux. ^ Nous avons vu que l'ombre portée par un tore présente, dans certains cas, des points doubles et que ces points doubles sont les traces des rayons lumineux bilangents au tore. Il y a donc lieu, pour déterminer directement ces points doubles, de chercher à construire ces rayons bitangents.

Considérons l'un de ces rayons et faisons-le tourner autour de l'axe de révolution du lorc. Il engendre ainsi un hyperboloïde de révolution

qui touche le lore suivanL les deux parallèles de celle surface engendrés par les points de coulact du rayon bitangenl.

Prenons, pour plan de lajig. 199, le plan méridien qui passe parle point lumineux s. La section faite par ce plan dans le tore se compose des deux circonférences G,, Cj et la section faite dans l'iiyperboloïde est une hyperbole qui passe par le point s et qui est doublement tangente à chacune de ces circonférences.

Du point s menons les tangentes sp, sq k G, et Gj. L'hyperbole peut être considérée comme le lieu des points pour lesquels la différence des distances de ces points aux. circonférences C,, Ca (dislances mesurées suivant les tangentes à ces circonférences) est constante et égale h. sp — sq.

Pour construire les points oii l'hyperbole touche la circonférence C5, nous n'avons qu'à prendre le segment sr égal à sq, afin d'avoir la différence constante /)r, et à décrire la circonférence concentrique à G, qui passe par r : cette circonférence coupe Gj aux points a et h qui sont les points cherchés.

Ces points appartiennent aux parallèles du tore suivant lesquels cette surface est touchée par l'hyperboloïde. Il suffît alors de mener de ,î les droites qui rencontrent ces deux parallèles pour avoir les rayons bilan gents.

Constniire les rayons bitangents à un tore éclairé par des rayons lumineux parallèles entre eux. — Le point lumineux s du cas précéirection donnée des rayons

■écédente. Parallèlement à la direction circonfé-

dent est maintenant i

Appliquons la construction pré

des rayons lumineux, menons {figrences C|, C,; nous obtenons les |

iiits de contact/*, q. Du point q

1 perpendiculaiie t/r à ces tangentes. La circonférence concentrique à C,, qui passe par /■, coupe Cj aux points a et b. Il suffit de mener les droites parallèles aux rayons lumineu\ qui rencontrent les parallèles du tore contenant a el h pour avoir les rayons lumineu\ bitangents demandés.

Dans cette solution, nous avons employé les tangentes qui louchent C, et Cj en p et q. Nous aurions pu prendre les tangentes dont les points de contact sont p' et g', ou p et g', ou encore p' cl g; on a toujours la même circonférence concentrique à C, qui passe par ;■ et ;■' et qui détermine a et b. Menons la corde ab qui rencontre qr au point (. On a

Gomme les segments rr' et qg' sont égaux, le point ( est le milieu de r'q'; par suite, ot est parallèle aux rayons lumineux, o étant le centre du tore.

On a alors cette construction : Du centre o du tore on mène une parallèle aux rayons lumineux. Sur cette droite on projette en t le centre de Cj. La perpendiculaire abaissée du point t sur la ligne des centres de C,, Cj rencontre Cj aux points a el b.

M. Janin est arrivé directement à cette construction (') en 1865, étant élève à l'Ecole Polytechnique.

{ ') RuUetin de la Société Philomathique, scîance du 18 mars i86S.

VlNGT-Ûl/ATltFÈME LEÇON.

(iftOMÉTRlE CIMÉMATIQUE. — HÈLICOIDE DÉVELOrTABLE. IIÉLICOIDE RÉGLÉ, (appl. de géom. cini;m.)

Définitions. — Le déplacement ^infiniment petit le plus général d'une figure de grandeur invariable est hélicoïdal. — Propriétés relatives au déplacement infiniment petit. — Hëlicaïde dévetoppabîe. — Béticoïde réglé. — Plan tangent. — DévelOjipable asymptote. — Construction â.n point ob un plan mené par une génératrice touche l'hélicoide. — Courbe de contact de l'hélicoïde et d'un cylindre

Définitions. — Si l'on déplace sur lui-même un cylindre de révolution, de façon qu'un de ses points décrive une hélice tracée sur sa surface, le déplacement de ce cylindre est hélicoïdal. Tout poini invariablement lié au cylindre engendre une hélice ayant même pas que l'hélice tracée sur ce cylindre. La surface engendrée par une ligne invariablement liée au cylindre est le lieu des hélices de même pas qui sont décrites par tous les points de cette ligne : celte surface est désignée sous le nom de surface hélicoïdale. L'enveloppe d'une surface entraînée est une surface hélicoïdale, car on peut la considérer comme engendrée par sa caractéristique. La surface enveloppe d'un plan entraîné porte le nom àUiélicoïde développable. La surface hélicoïdale engendrée par une droite quelconque porte le nom d'hélicot'de réglé.

Dans le cas particulier où la génératrice d'un hélicoïde réglé rencontre, sans lui être perpendiculaire, l'axe du cylindre qui sert à déflnir le déplacement, la surface engendrée prend le nom de sur/ace de vis à filet triangulaire. Si la génératrice rencontre l'axe du cylindre à angle droit, on a un hélicoïde réglé à plan directeur qui porte le nom de surface de vis à filet carré.

Je donne à l'axe du cylindre le.nom A'axe du déplacement.

Le déplacemenl liélicoïdal du cylindre peut être considéré comme résultant d'une rotation du cylindre autour de son ase el d'une translation dans la direction de cet axe. Si l'un ou l'autre de ces déplacements existe seiil, on obtient alors comme cas particulier du déplacement hélicoïdal soit iine rotation, soit une translation.

Le déplacement infiniment petit le plus général d'une figure de grandeur invariable est hélicoïdal. — Nous allons montrer que le déplacement infiniment petit le pliis général d'une figure déforme invariable est hélicoïdal, c'est-à-dire qu'on peut le considérer comme résultant d'une rotation infiniment petite et d'une translation infiniment petite { ' ).

Nous avons vu (p. ^74 et suiv.) que, lorsque des plans invariablement liés passent par une même droite, leurs foyers sont sur la conjuguée de cette droite. Si la droite par laquelle passent tous les plans est à l'infini, ces plans sont parallèles entre eux, et la droite qui contient leurs foyers est la conjuguée de la droite à l'infini sur l'un quelconque do ces plans. Cette conjuguée L, qui contient les fojers de plans parallèles entre eux, je la désigne sous le nom ^adjointe (^) aux plans.

Ainsi, l'adjointe à un plan est la conjuguée de la droite à l'infini sur ce plan.

Prenons {fig. 201) des plans (P), (P)), (P2) quelconques, invariablement liés. Coupons ces plans par un plan arbitraire (Q). Les traces des plans (P), (P,), (Ps) sur le plan (Q) sont des droites D, D,, D^ qui ont pour conjuguées les droites partant du loyer cp du plan (Q) el aboutissant respectivement aux foyers de chacun des plans (P), (Pi), (Pa)- Supposons maintenant le plan (Q) à l'infini : les droites D, D,,D2 deviennent les droites à l'infini sur chacun des plans (P), (P|), (Pa); leurs conjuguées passent par le foyer du plan (Q), et, comme ce plan est tout entier à l'in-

(') Voir CuABLEfi, Notice historique sur la question du déplacement d'une figure de /orme invariable {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 1861, p.487)-

W. FiEDLER, Géométrie et Géomécaniqite {Journal de Mathématiques de M. Besal, 3' série, t. IV, p. 14.).

{') Étude sur le déplacement, etc. {loc. cit.).

GEOMETRIE CINÉMiTIQUE. 359

fini, son Tover est lui-même à l'infini ; les conjuguées des droiles à l'infini sur "chacun des plans (P), (P,), (Pa) sont donc des droites parallèles entre elles, et, en faisant usage du mot d' « adjointe » pour désigner ces conjuguées des droites à l'infini sur chacun des plans, nous disons : Les adjointes de tous les plans de la figure mobile sont des droites parallèles entre elles.

Menons un plan (T) perpendiculaire à ces adjointes. Les foyers des plans parallèles à (T) sont alors sur la perpendiculaire X à (T) élevée de son foyer /■. Pendant le déplacement de la figure,

le foyer /■ du plan (ï) se déplace suivant X; et le plan tourne autour de cette droite : on a donc simnllanément une rotation autour de X et une translation suivant cette droite, c'est-à-dire un déplacement hélicoïdal. La droite X est l'axe du déplacement ; nous voyons aussi que l'adjointe d'un plan quelconque est une droite parallèle à l'axe du déplacement. Pour un déplacement infiniment petit, cet axe est aussi désigné sous le nom à''axe instantané de rotation et de glissement.

Pendant le déplacement continu d'une figure de forme invariable. le lieu de ces axes est une certaine surface réglée. Les droites de la figure mobile qui deviennent successivement ces axes appartiennent à une autre surface réglée. Le déplacement continu peut être obtenu au moyen de ces deux surfaces. Les génératrices de la seconde surface viennent successivement coïncider avec les génératrices de la première, et il y a simultanément, le long de cha-

cune de ces droites, rotation infiniment petite et glissement (').

Lorsque dans la figure mobile il j a un point fixe, il ne peut plus j avoir glissement, et les axes de rotation passent tous par le point fixe. Dans ce cas, les deux surfaces réglées se réduisent à deux surfaces coniques, et il est facile de voir que le déplacemenl peut s'obtenir au moyen du roulement de l'un des cônes sur l'autre.

Prenons les traces de ces cônes sur une sphère décrite du point fixe comme centre. On a deux lignes sphériques de grandeurs invariables quelle que soil la position des cônes. Pendant le déplacement, l'une de ces lignes roule sur l'autre. Su/' la sphère, comme sur le plan, le déplacement continu le plus général est donc épicycloldal.

Propriétés relatives au déplacement infiniment petit.

- Considérons

une droite D {Jig. 20a) qui fait partie d'une figure de forme invariable. Appelons X l'axe du déplacement infiniment petit de celte figure. Menons la perpendiculaire commune rc à X età D; par celle perpendiculaire commune, menons un plan (P) perpen-

Faculté des Sciences de Paris que Poscblet a fait ;es pour représenter le déplacement continu d'un

Notice historique iloc. cit.)

{') C'est dans ses Leçons usage de ces t!eu\ surfaces corps solide.

Aux renseignements donnés par Cuisles dans nous ajouterons {voir p. 160 et ig^) :

Thohson et Tait, Traité de Philosophie naturelle.

Beithsmi, Du mouvement géométrique d'un solide gui roule si solide {Journal de Mat /tématiq lies de Batta^lini, t. X, 1875 ).

Eattaolimi, Sur le mouvement géométrique infinitésimal d'un sy (Journal de Matliématiques de Battaglini, t. X, i8-ja).

diciilaire à D. Pendanl- le déplaceiiieiiL infiniment petit, le poini /■, qui est sur l'axe du déplacement, décrit un élément de cette droite ; rc, qui est perpendiculaire à X et cjui est dans le plan (P), est la normale à la trajectoire du point r, située dans ce plan (P) ; cette droite contient alors lefojer/du plan (P).

Nous avons démontré (p. 2^6) que parmi les normales aux trajectoires des points d'une figure celles qui sont parallèles à un plan rencontrent la conjuguée de la droite à l'infini sur ce plan, c'està-dire l'adjointe au plan. Menons au point m de D la normale à la trajectoire de ce point, qui est parallèle à (P); cette droite est normale à la trajectoire du point m et perpendiculaire à D, c'està-dire qu'elle est la normale en m à la surface (D) engendrée par D. Elle doit rencontrer l'adjointe au plan (P), c'est-à-dire qu'elle rencontre la droite L menée par le point/ parallèlement à X.

Ce que nous venons de dire pour le point m est vrai pour tous les points de la droite D, et, comme les normales issues des points de cette droite à la surface engendrée par D forment le paraboloïde des normales de cette surface, on voit que L est une génératrice de ce paraboloïde,

La position de L ne dépend que de la direction de D. On voit ainsi que pour une position quelconque de la figure mobile les paraboloïdes des normales aux surfaces engendrées par des droites parallèles entre elles passent tous par une même droite.

Puisque L est une génératrice du paraboloïde des normales à la surface (D), le plan mené par D parallèlement à L est le plan central de la surface (D), et, comme la droite L est parallèle à l'axe du déplacement, ,on voit que le plan central de la surface engendrée par une droite quelconque est, pour une position de la figure, le plan mené par cette droite parallèlement à l'axe du déplacement.

On voit aussi que, puisque la droite rc est la perpendiculaire commune à L et à D, le point c est le point central sur cette droite. La droite rc est la perpendiculaire commune à l'axe du déplacement et à D; on peut dire que le point central sur la génératrice Ti est le pied de la perpendiculaire commune à cette droite et à l'axe du déplacement {').

(') La conjuguée A de D ctaiil aussi une génératrice du parabûloide des tiur-

Par le point / menons la droite D, parallèlement à D, c'està-dire la perpendiculaire au plan (P), issue du foyer de ce plan, Pour les points de cette droite, autres que /, les normales à la surface (D,) qu'elle engendre sont dans le plan {D.L); la droite D| engendre alors un élément de surface développable. Parmi les parallèles à D qui rencontrent rc, la droite D, est la seule qui jouisse de cette propriété.

Par D menons un plan (Q) ; ce plan étant entraîné a une caractéristique G. La normale à la trajectoire du point n de la caractéristique G, qui est parallèle au plan (P), rencontre L. Mais la trajectoire du point n est tangente au plan (Q), puisque le point n est un point de la caractéristique de ce plan ; la normale au point n à la trajectoire de ce point, qui est parallèle au plan (P), est alors la perpendiculaire en n au plan (Q). On peut donc dire que les perpendiculaires au plan (Q), issues de tous les points de la caractéristique de ce plan, rencontrent L, et, inversement, on o6ïie«f la caractéristiqae G du plan (Q) en projetant L sur ce plan.

Nous énonçons ainsi ce résultat : La caractéristique d'un plan quelconque (Q) est la projection sur ce plan de Vadjointe à un plan qui lui est perpendiculaire (').

Gela se généralise pour un cylindre, et l'on voit que ; La caractéristique de l'enveloppe d'un cylindre est le lieu des pieds des normales à ce cylindre qui rencontrent l'adjointe à un plan perpendiculaire à ses génératrices.

Ces propriétés générales étant démontrées, nous passons à l'étude de l'iiélicoïde développable.

iiiales à ( D ], on voit que la perpendiculaire commune à l> et à sa conjuguée A rencontre à angle droit l'axe du déplacement X. On peut dire aussi que l'aa)e du déplacement X est une ligne de striction, du parabolo'ide hyperbolique déterminé par X, D, A.

{') Les projections de deux: droites conjuguées sur un plan (Q) se coupent en un point de la caractéristique de ce plan; car ce point, appartenant à lu perpendiculaire à (Q) qui rencontre les deus droites conjuguées, a sa trajectoire normale à cette droite et par suite tangente à (Q).

Si l'une des droites conjuguées est à l'infini sur un plan perpendiculaire à {Q ), «n relrouye, comme conséquence de cette propriété, celle que nous ïcnons de démontrer dans le texte.

HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE.

Plaçons verlioalcment {fig. aoiS) l'asc du déplacemenl X et prenons le plan vertical de projection parallèlement à une droite D. L'axe X se projette horizontalement au point o. Appelons (/',/) les projections du foyer du plan perpendiculaire à D, mené par la perpendiculaire commune à celte droite et à l'axe du déplacement. Pour un déplacement infiniment petit, la droite D,, menée par le point / parallèlement à D, engendre un élément de surface développable. Mais si, au lieu d'un déplacement infiniment petit, la droite D) se déplace de la même manière d'une façon continue

Fig. 2o3.

autour de l'axe du déplacement, elle engendre un hélicoïde développable, dont l'arête de rebroussement est l'hélice décrite par/. Calculons la distance de l'axe du déplacement à la droite D,. Appelons ^ l'angle que D, fait avec un plan horizontal et H le pas de l'hélice décrite par le point /. On a

tangp.

t le pas réduit /( ; on a donc

of— Acot(J.

Construisons un segment égal à — cot |3. Pour cela , prenons f'e'= -j' Soit gc un segment égal ait quart de la circonférence qui a pour rayon oc. Élevons la perpendiculaire e'V à la droite X et abaissons dn point /' une perpendiculaire à la ligne de terre; cette perpendiculaire rencontre og en un point /. La perpendiculaire abaissée du point l sur oc rencontre celle droite au polniy, qu'il s'agissait de délerminer.

En effet, on a

of=lf~.

Introduisant ces valeurs de {/, oc cl ^c dans l'expression de of, m retrouve la valeur

11 est essentiel de porter dans un sens convenable, sur la perpendiculaire abaissée de o sur D, , le segment ainsi construit. Pour s'assurer que le segment est porté dans le sens convenable, il suffit de voir si l'extrémité/ du segment, entraîné dans le déplacement, sort de sa position dans la direction de la droite D, .

Le plan qui projette D, sur le plan vertical de projection, a pour caractéristique la projection de la verticale f, c'est-à-dire qu'il a pour caractéristique la droite Dj elle-même. Ce plan entraîné a pour enveloppe l'iiélicoïde développable engendré par D,. Quelle que soit la position de ce plan, il fait constamment le même angle avec le plan horizontal de projection; l'hélicoïde développable fait alors partie des surfaces que l'on désigne sous le nom de surfaces d'égale pente, dont nous reparlerons plus tard, et qui jouissent de celte propriété : leurs plans tangents sont égalemeni inclinés sur un plan horizontal.

A l'occasion des surfaces d'égale pente, nous résoudrons les problèmes suivants : déterminer la section d'une pareille surface par un plan; mener un plan langent par un point ou paraUclemenl à

une droite, etc. C'est pourquoi nous ne les traitons pas actuellement.

L'arête de rebroussement de l'hélicoïde développable est l'hélice engendrée par le point/. Quand on développe l'hélicoïde développable, cette arête de rebroussement se transforme en une circonférence de cercle dont le rayon est le rayon de courbure de l'hélice arfite de rebronssemenl, c'est-à-dire — 4ïï'

HÉLICOIOE HÉGLÉ.

Reprenons les mômes données que précédemment. Le point c de la droite D {fig- 2o4) engendre une hélice sur le cylindre de

révolution dont la section droite a pour rayon oc. On pcul dirr alors que VhéUcoide réglé est le lieu des droites égalemenl inclinées sur un plan perpendiculaire à l'axe d'un cylindre de révolution et qui touche ce cylindre aux différents points d'une hélice. Il résulte de là que le cône directeur de cette surface esi un cône de révolution.

Nous avons démontré que le point C est le point central sur D. Celle propriété subsiste pendant le déplacement continu t!e D.

c'est-à-dire que l'hélice décrite par le point c est la ligne de striction de l' hélicoïde réglé engendré par la droite J^.

Plan tangent. — Proposons-nous de construire le plan tangent à l'hélicoïde réglé au point m de la droite D. Nous avons démontré que la normale en m à la surface engendrée par D, pour un déplacement infiniment petit, rencontre l'adjointe à un plan perpendiculaire à D; si/est la projection de cette adjointe, la normale au point m se projette alors suivant la droite fin. La trace à\\ plan langent en m, sur un plan horizontal (H'), est perpendiculaire à cette droite, et, comme elle passe par la trace 6 de D sur (H'), on obtient une horizontale du plan tangent cherché en abaissant du point b une perpendiculaire surla droite /m. Quel que soit le point pris sur la droite D, on a toujours à abaisser du même point b une perpendiculaire sur des droites partant du point/. Si l'on prend le point c, on voit que la trace sur (H') du plan tangent en ce point est confondue avec la projection de D ; le plan tangent en c est donc le plan vertical qui projette horizontalement la droite D. Le point c étant le point central, on retrouve ainsi que le plan central est parallèle à l'axe du déplacement.

Lorsque le point de la droite D, pour lequel on veut construire le plan tangent, est à l'infini, on a, à mener par le point /, une parallèle à la projection de D et à abaisser du point b une perpendiculaire sur cette droite; on voit ainsi que le plan tangent au point qui est à l'infini sur D est le plan qui projette cette droite sur le plan vertical de projection.

DéveloppaWe asymptote de l'hélicoide réglé. — Pendant le déplacement continu de la droite D, si l'on entraîne le plan qui touche la surface au point qui est à l'infini sur D, l'enveloppe de ce plan est un hélicoïde développable qui est la développable asymptote de l'hélicoïde réglé.

Construction du point où un plan mené par une génératrice touche rtéliooide réglé. — Un plan quelconque mené par O est langent à l'hélicoïde réglé ; cherchons directement le point de contact de ce plan. Supposons que ce plan soit entraîné en même temps que D; sa caractéristique, d'après ce que nous avons vu, est la projection

(le la verticale /. Cette caractéristique est alors une ligne de plus grande pente de ce plan ; elle se projette horizontalement suivant la perpendiculaire abaissée du point/sur la projection d'une horizontale du plan. Mais la caraetéristiqiie d'un plan mobile, qui contient successivement les génératrices d'une surface réglée, passe par le point où le plan touche la surface réglée; par suite, la perpendiculaire abaissée du point /sur la projection d'une horizontale du plan rencontre la projection de D au point ?n, projection du point de contact de ce plan, et l'on voit que la projection du point oii un plan mené par D touche l'hélicoïde réglé est le point de rencontre de la projection de D et de la perpendiculaire abaissée de /sur une horizontale de ce plan.

Il est utile de remarquer que, d'après cela, la projection horizontale mf de la caractéristique d'un plan qui passe par une droite D contient le point/,, qui est la projection horizontale du foyer d'un plan perpendiculaire à D.

Conrbe de contact de l'hélicoïde réglé et d'un cylindre circonscTit- Courbe d'ombre. — Proposons-nous de construire la courbe d'ombre sur l'hélicoïde réglé, éclairé par des rayons lumine

entre eux, c'esl-É-dirc la courbe de contact de l'hélicoïde réglé et d'un cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles au rayon lumineux R (Jig- 2o5).

Pour déterminer le point de celte courbe situé sur une génératrice D, menons par cette droite un plan parallèle à R. Ce plan touche l'hélicoïde réglé en un point qui appartient à la ligne d'ombre demandée. Ce plan, passant par D et supposé entraîné, a une caractéristique projetée suivant une droite qui, d'après la