J seconhb i'.viitib. — vingt-sixiemis leçon

le point de k courbe d'ombre situé sur la génératrice D, élevons au point o une perpendiculaire o/ à D; joignons le point / au point/,, la droite //*, rencontre D au point m-, qui appartient à la projection horizontale de la courbe d'ombre sur la surface de vis éclairée par des rayons lumineux parallèles entre eux et perpendiculaires ào/). Lorsque le point/ parcourt la circonférence décrite avec h cot^ pour rayon, le point m, sommet du triangle rectangle mo/, dont les hypoténuses passent par le point fiïe/i, décrit la courbe dont nous allons chercher la forme.

Menons le diamètre pq parallèlement à la projection du rayon

lumineux. Le point/ se rapprochant du point q^ le point m se rapproche du point/, ; lorsque le point / arrive au point (7, le point m vient au point /, et la droite /, m, devient la tangente /, ^ à la courbe au point/,. Ce que nous disons pour le point ^, nous pouvons le répéter pour le point p ; la courbe est, du reste, symétrique par rapport au diamètre qui contient le point/,.

Ainsi : le point fi est un point double de laprojection horizontaledela courbe d'ombre, et les tangentes en ce point double sont les droites qui joignent le point/, aux extrémités dudiamètre pq, perpendiculaire à o/,.

La droite m/'rencontre la circonférence en deux points/et/'; à chacun de ces points correspond un point de la courbe. On a alors sur la droite //, deux points m et m' de la projection horizontale de la courbe d'ombre. On voit donc que sur cette droite il y a les deux points confondus au point/, et les deux points m et m', c'est-à-dire quatre points ; cette droite rencontrant la courbe en quatre points, la projection horizontale de la courbe d'ombre est donc du quatrième degré.

Les droites om, om' , étant respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle isoscèie fof -, déterminent aussi avec la droite mm' un triangle isoscèie ; la perpendiculaire abaissée du point o sur la base mm' passe donc au milieu de eetle base. Si nous appelons (le milieu de //', ce point (' est le milieu de mm'] le lieu des points analogues au point i est le lieu des milieux des cordes, telles qne mm', qui passent par le point /, ; c'est une ligne diamétrale de la coiirbe d'ombre. Les points tels que i appartiennent à la circonférence décrite sur of, comme diamètre; cette circonférence est donc une ligne diamétrale de la projection de la courbe (l'ombre.

Lorsque le poinl/vient au point r, extrémité du diamètre qui passe par le point /,, le point m vient au point o, et la droite om devient perpendiculaire à ee diamètre fir\ la courbe arrive donc au point o tangentiellement à la ligne op ; en continuant, on voit que la courbe revient passer par le point y, et contient le point m'\ enfin on achève de la tracer en poursuivant le déplacemen! du point y".

Supposons maintenant Y<fi; alors on a o/, ><)/ et le point/, ijig- ai4) est en dehors de la circonférence décrite avec /( cot^ pour rayon. Le point/, est encore un point double de la courbe, et les tangentes en ce point sont les droites qui joignent le point/, aux extrémités du diamètre pq, perpendiculaire à o/, ; on a, comme précédemment, une boucle tangente au point o à la droite pq. Cherchons les points de la courbe qui se trouvent sur les tangentes que l'on peut mener du point/, à la circonférence, Ap-

pelons / le poinl de contact de l'une de ces langenles. Oo doit joindre le point o au point/; on obtient ainsi «ne droite perpendiculaire à /,/; puis on élève au point o une perpendiculaire à o/', et l'on a la projection de la génératrice sur laquelle se trouve le point qui est à la rencontre de cette droite avec/,/; ces deux droites étant parallèles entre elles, ce point est à l'infini. On voit déjà que la ligne/,/ est la direction d'une asymptote ; construisons la tangente en ce point à l'infini, Nous savons que l'on doit prendre le point de rencontre de la tangente en /avec le diamètre pq perpendiculaire à o/,, et porter le segment/: jusqu'au point ( sur cette tangente fr\ le point t appartient à la tangente à déterminer. Il résulte de cette construction, puisque le point t est sur la ligne /,/, que celte droite est l'asjmptote elle-même. Ainsi, les tangentes que l'on peut mener du point , à la circonférence sont les asymptotes de la courbe.

EnfinsGpposonsY=P,c'est-à-direo/i=;o/. Onaencore{yî'^. 2i5) un point double au point y, , et les tangentes en ce point sont les droites qui joignent le point /, à l'extrémité du diamètre pq^ perpendiculaire à o/i ; ces droites, actuellement, sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Sur une droiley,/, indépendamment du point/,, on obtient les points de la courbe en élevant respectivement des perpendiculaires à o/et o/, , On voit ainsi que le point de rencontre de/,/ avec le diamètre jO^ est toujours un point de la projection de la courbe d'ombre; cette droite pq fait, par conséquent, partie du lieu. Celui-ci se décompose en une droite, et la partie restante est du troisième degré.

La tangente à la eircoafcrenee au point y", donne la direction d'une asymptote ; cherclions cette droite. Du point o abaissons sur la droite mm' la perpendiculaire oi. La perpendiculaire il abaissée du point ( sur pq est toujours la moitié de la perpendiculaire mh abaissée du point m, sur ce même diamètre pq, puisque le point i est le milieu de mm'. Lorsque la droite y")/, tournant autour du point/,, devient la tangente en/) à la circonférence, le poÎDt i vient se confondre avec le point/, el la perpendiculaire il devient le rayon /, o. La distance du point m k pq est toujours double de la distance du point i à cette même droite; lorsque le point m est à l'iniinî, sa distance au diamètre jO y est alors double de o/. Ainsi, l'asymptote est perpendiculaire à o/, et est à une distance du point /, égale au rajon f, 0 .

La projection de la courbe d'ombre, dans ce cns, est la courbe connue que l'on nomme slrophol'de. Il est facile, sur la figure, de retrouver quelques-unes des propriétés de celte courbe. Lorsque, par exemple, le point/vienl en /', extrémité du diamètre /o, le point du lieu est en n sur la droite/,/'; dans le triangle m//', les droites //, , mo sont deux hauteurs, et l'on a alors

Ainsi la courbe est telle, que, si sur une droite om on prend un rayon vecteur on^=-^' on retrouve la courbe elle-même. Le lieu des points tels que n est la transformée de la courbe par rayons vecteurs réciproques ; la courbe se trûnsjorme donc en elle-même par rayons vecteurs réciproques (' ). {Voir la note p. 219)-

On peut remarquer encore cette propriété : Si un angle droit tel que m/,n a son sommet au point double/,, les hypoténuses telles que mn passent par le point fixe o de la courbe.

Construction des points de la courbe d'omlire situés snr une hélice. —

Construire les points de la courbe d'ombre situés sur une hélice tracée sur la surface de vis; en d'autres termes, on demande les points de la courbe d'ombre qui, en projection horîy.ontale, se

( ') Cette cûiirbui-e est aJoi's une analiagmatique du iroisièriie degré.

trouvent sur une circonférence dont le centre est au pied de l'axe de la surface de mis.

Décrivons (Jig. 216) une circonférence (i) dont le rayon esL égal à h cotyi «ne circonférence concentrique (2) dont le rayon est égal à h cotp, et enfin décrivons la circonférence donnée, concentrique aux deux premières, sur laquelle on se propose de construire des points de la courbe d'ombre. Sur la circonférence (i), on aie point fixe /,. Menons les deux droites ob, oc perpendiculaires l'une à l'autre; limitons l'une à la circonférence, projec-

tion de l'hélice donnée, et l'autre à la circonférence (a); joignons les extrémités 6 et c de ces deux droites et prolongeons la droite bc jusqu'au point d de la circonférence (1); joignons le point d au point o. Si nous faisons tourner l'ensemble de la figure formée par les droites oc, ob, od et cd de façon que la droite od vienne coïncider avec la droite of,, il est clair que le point b viendra en un point m, qui est un des points demandés, parce que, dans cette position, la figure obtenue est celle qu'il faudrait établir pour construire le point de la courbe d'ombre sur la génératrice om. On n'a donc, pour chercher les différents points demandés, qu'à examiner les différentes positions que peuvent prendre, l'une par rapport à l'autre, des droites analogues à od et oc. Ainsi, le point d peut être au point d' sur le prolongement de la droite de, et, après avoir fait tourner la figure autour du point o de façon que le rayon od' vienne coïncider avec o/, , le point b viendra prendre une certaine position siir la circonférence donnée, et l'on a encore un des points demandés.

Nous pouvons prendre les droites perpendiculaires l'une à l'autre ob et oc'. Joignons te point c' au point 6, nous obtenons le point di , et, après avoir fait tourner la figure autour du point o de façon que le rayon od^ vienne coïncider avec la droite o/, , nous trouvons pour le point b une nouvelle position sur la circonférence donnée; c'est encore un point qui répond à la question. Enfin prolongeons la droite d^ b jusqu'au point d[ , nous pouvons faire tourner la figure de façon que od[ vienne coïncider avec o/,, et nous arrivons encore à l'un des points cherchés. Nous avons trouvé ainsi, sur la circonférence donnée, les quatre points m, m,, m^, ma qui répondent à la question, c'est-à-dire qui sont des points de la projection horizontale de la courbe d'ombre situés sur la circonférence donnée.

Construction des points de la courhe de contour apparent situés sur l'hélice directrice. — Le problème que nous venons de traiter d'une façon générale s'applique au cas particulier où le cylindre circonscrit à la surface de vis a ses génératrices perpendiculaires au plan vertical de projection et où l'hélice donnée est l'hélice directrice de la surface de vis. Dans ce cas, la trace de ce cylindre sur le plan vertical de projection est la courbe de contour apparent sur ce plan vertical, et les points sur l'hélice directrice sont les points où la courbe de contour apparent sur la surface de vis touche cette hélice.

En projection horizontale, on a toujours {fig- 208) une circonférence décrite avec h cotp pour rayon. Le cylindre circonscrit a ses génératrices perpendiculaires au plan vertical; tous ses plans tangents sont perpendiculaires au plan vertical de projection. Les droites qui partent des points tels que / et qui rencontrent les génératrices en des points de la projection horizontale de la courbe de contour apparent sont parallèles à la ligne de terre.

Pour avoir les points situés sur l'hélice directrice, on construit le triangle rectangle bof\ on le fait tourner autour du point o jusqu'à ce que son hypoténuse soit en e/,, parallèle à la ligne de terre, le côté o/, étant dirigé convenablement par rapport à oe. Le troisième sommet du triangle rectangle est alors sur la circonférence base du cylindre en un point e, qui est la projection horizontale du point e' demandé.

SULU'ACIÎ DE VIS A FILET CAUUÉ.

La surface de vis à filet cai-ré est la surface lieu des droites perpendiculaires à l'ase d'un cjlindre de révolution et qui rencontrent une Iiélice directrice tracée sur ce cylindre. Toutes ces droites

sont parallèles i

;rpendiculaire à l'axe du cylindrt

surface admet donc ce plan comme plan directeur, L'axe du cylindre est une ligne de striction de la surface de Le paramètre de dislributiondes plans tangents est

nous l'avons va, au pas réduit de l'hélice directrice.

Plan tangent. — Supposons {fig- 217) que les génératrices du cylindre soient verticales. Pour le point (6', b) de l'hélJcc direc-

trice, oa obtient les projections de la génératrice de ia surface de vis en menant, d'une part, la droite Uc' parallèlement à la ligne de terre et, d'autre part, la droite ob qui passe par le centre o de la circonférence, projection horizontale du cylindre.

SURFACE DE VIS A FILET G ,V ft R IS . 3gi

Cherchons le plan Laiigeiil aii poini, (m', m) de {c'h', ob). Prenons un paraboloïde de raccordemeni le loDg de cette génératrice. Conservons le plan directeur de la surface comme plan directeur du paraboloïde, et prenons, pour directrices de cette surface, l'axe du cylindre et la tangente au point b' à l'hélice. Ce paraboloïde est de raccordement, car il a mêmes plans tangents que la surface au point c', au point JJ et au point qui est à l'infini sur d b'. On n'a donc qu'à construire le plan tangent au point (m, m') à ce paraboloïde pour avoir le plan tangent demandé. Ce paraboloïde rencontre le plan horizontal (H'), qui est un plan directeur, suivant la droite qui joint le point o au point t, trace de la tangente à l'hélice sur ce plan, le second plan directeur de ce paraboloïde est parallèle à bt, et, comme il est parallèle à l'axe du cylindre, c'est le plan projetant horizontalement la tangente à l'héliee. Pour le point (m, m') la génératrice de ce paraboloïde, du même système que cette tangente, se projette horizontalement suivant une droite menée du point m parallèlement à bt\ cette droite rencontre le plan (H') au point /■, où elle eoupe la trace du paraboloïde sur ce plan. Le plan tangent an point (/n, m') est alors le plan déterminé par la génératrice ob et par cette droite mr; il a pour horizontale la droite menée du point r parallèlement à la génératrice horizontale ob.

Asymptotes de l'indicatrioe. Paraboloïde oscillateur. — La droite ntr est tangente à la surface de vis à filet carré ; elle est donc tangente à l'hélice que décrit le point m pendant le déplacement hélicoïdal de la droite ob. Entraînons le plan tangent en m à la surface de vis à filet carré. La caractéristique de ce plan passe par le point m, où il touche la surface, et, comme ce plan fait toujours le même angle avec le plan horizontal, cette caractéristique est une ligne de plus grande pente, c'est-à-dire que celte droite n'est autre que mr. Puisque celte caractéristique du plan tangent se confond avec la tangente à l'hélice décrite par le point m, c'est que cette tangente est une asymptote de l'indicatrice. Ainsi, les tangentes aux hélices décrites par les points de la génératrice ob, pendant le déplacement hélicoïdal de cette droite, sont les asymptotex des indicatrices de la surface de la vis à filet carré. Mais ces tangentes appartiennent au paraboloïde de raccordement dont nous