SECONDE PARTIH- — VINGT-SIXIÈME LEÇON

venons de Taire usage ; ce paraboloïde est donc le lieu des asymptotes des indicatrices de la surface pour les diCférenls point de la droite 06. Ce paraboloïde est alors le paraboloïde oscillateur de la surface pour la génératrice ob.

Rayons de courbure principaux. Lignes de courbure. — J'our un point quelconque m, les asymptotes de l'indicatrice sont à angle droit; les rayons de courbure principaux de la surface, qui sont de sigTies contraires, puisqu'elle est à courbures opposées, sont donc égaux. Les lignes de courbure en un point, étant dirigées suivant les bissectrices des angles compris entre les asymptotes de l'indicatrice, rencontrent sous un angle de 45° les génératrices de la surface. Ainsi, si l'on trace sur la surface de vis à filet carré des courbes qui rencontrent toujours sous un angle de 45" les génératrices de cette surface, on a ses lignes de courbure.

La surface de vis considérée comme tine normalie.— Les génératrices de la surface de vis à filet carré sont les normales au cylindre donné qui parlent des différents points de l'hélice directrice; on peut dire alors que celte surface de vis est une normalie à ce cylindre dont la directrice est une hélice tracée sur cette surface.

Appliquons celle propriété des normalies, démontrée précédemment (p. 296):

Le plan tangent à une normalie en un point de sa directrice est normal à cette normalie au centre de courbure de la seclion que ce plan détermine dans la surface sur laquelle est tracée la courbe directrice.

Pour la génératrice 06, le point o est le point central, le paramètre de distribution des plans tangents est égal à h et le plan central est le plan vertical ob.

En élevant à ob la perpendiculaire oy égale à A, on obtient en y le point représentatif de l'élément de normalie le long de ob.

La perpendiculaire -{fkyb donne alors sur ob le point / où le pian tangent en i à la normalie est normal à cette surface.

D'après le théorème que nous venons de rappeler, le point/est le ceutre de courbure de la section faite dans le cylindre par le plan langent en b. Ce dernier plan étant le plan osculateur de l'hélice

directrice, le point/est le centre de courbure de cette courbe. Remarquons que l'angle yôo, complémeniaire de l'angle que le plan tangent en b fait avec le plan central, est égal à l'angle que la tangente à l'hélice directrice fait avec le plan horizontal. La construction du point / n'est donc autre que la construction du centre de courbure de l'hélice à laquelle nous étions arrivés [p. 190] ('). Si le plan tangent en b est entraîné lorsque ob décrit la surface de vis, son fojer est en /, puisque la trajectoire do ce point est normale à ce plan.

Courbe d'omire. — Appliquons la construction trouvée pour la surface de vis à fdet triangulaire. Appelons toujours y l'angle que X fait avec le plan horizontal ; prenons {fig. at<^)

le segment ofi perpendiculairement à la projection du rayon lumineux et égal à /icoty. La circonférence décrite avec Acot^ pour rayon est maintenant à l'infini, puisque ftcot^ est infini. On doil mener par le point o une droite, puis joindre le point/, au point où elle rencontre cette circonférence, c'est-à-dire mener une parallèle à cette droite, enfin élever au point o une perpendiculaire à cette direction ; on obtient, sur cette parallèle, le point m, projection d'un point de la courbe d'ombre.

Il résulte de cette construction que la projection horizontale de la courbe d'ombre est la circonférence décrite sur o/, comme diamèlre. La courbe d'ombre en projection horizontale est donc une circonférence qui passe par le pied de l'axe du cylindre.

Dans l'espace, la courbe d'ombre est une hélice, comme nons allons le montrer.

(') Celle constraction résulte ans?) de la conslnictioii trouvée {p. 297.)

Pour construire la courbe de l'espace, nous n'avons qu'à chercher l'intersection de la surface de vis avec le cylindre dont la base est la circonférence décrite sur of\ comme diamètre ; nous obtenons des points de la courbe d'intersection de la surface de vis et de ce cylindre, en prenant les traces des génératrices de la surface de vis sur ce cylindre. Construisons des génératrices en joignant le point o aux points i, 2, 3, 4) 5, qui interceptent des segments ég.ux. 0„a

arc(,^»)=.rc(ï-3) = ..x(3-i),

et ainsi de suite. Les génératrices de la surface de vis se projettent suivant les rayons o-i , o-a, o-^, ... et ces droites dans l'espace, quand on passe de l'une ù l'autre, s'élèvent successivement de hauteurs égales, puisqu'elles correspondent, en projection, à des arcs tels que 1-2, 2-3, ... égaux entre eux. Les traces de ces droites sur le cylindre, dont la base est la circonférence décrite sur 0/1 , se projettent en des points de cette dernière circonférence et interceptent aussi entre eux des arcs égaux.

On a donc dans l'espace des points qui s'élèvent de hauteurs égales et dont les projections 1', 2', 3', ... comprennent entre elles des arcs égaux, l'-a', a'-3', 3'-4', • • ■■ Ces points appartiennent alors k une hélice; la courbe d'ombre sur la surface de vis à fdet carré est donc une hélice. On peut remarquer que le pas de cette hélice est égal à la moitié du pas de l'hélice directrice.

Points limites sur la courbe d'ombre. — Pour construire les projections dès points limites, on doit prendre les points de contact de la projection de la courbe d'ombre avec des tangentes parallèles à la projection du rayon lumineux ; ici nous trouvons comme points de contact /, et le point o. Mais, aux points qui se projettent horizontalement en o, les plans tangents à la surface de vis sont verticaux; d'autre part, la tangente au poinl/i et la tangente au point o à l'bélice courbe d'ombre étant également inclinées sur une verticale, si l'une est dans le plan tangent, l'autre ne peut être une tangente à la courbe d'ombre. Le point /, seul est un point limite, et l'on voit que, sur la courbe d'ombre dans l'espace, on a successivement une spire composée de points réels et une spire composée de points virtuels. On peut ajouter que, la

courbe d'onilire de la surface de vis à filet carré élanl une liéllee, l'ombre portée |ifir cclie surface sur im ^lan iiorizonul esl une cycloïde (p. 189).

Dessin d'une vis à fllet carré. ^ Prenons (Jig'- ^19) un cvlindre qui forme le noyau de la vis. Dans le plan méridien parallèle au plan de projection, considérons un rectangle dont «n côté, i-^, est un segment de la ligne de contour apparent du cylindre du

noyau ; c'est ce rectangle qui, entraîné dans un déplacement hélicoïdal tel que le pas de l'hélice décrite soit double du côté 1-2, va engendrer le filet de la vis à fdet carré. Lorsque le plan méridien qui contient ce rectangle a tourné de deux angles droits autour de l'axe du noyau, le rectangle vient dans la position i'2'3'4'; puis, ce plan méridien continuant son déplacement, il coïncide avec la position qu'il occupait d'abord, el le rectangle vient en i"a"3"4", et ainsi de suite. Le point 3 décrit une hélice qui est tangente eji ce point 3 à la ligne 3-4 et tangente au point 3' à la ligne 3'-4'; de même pour le point 4'. La droite 3-4 du rectangle engendre une portion de surface cylindrique qui est limitée à ces deux hélices. L'hélice décrite par le point 3' est vue jusqu'au point a à partir duquel elle est cachée par le noyau ; l'hélice décrite par le point ■'. et l'hélice décrite par le point 3 limitent la portion de surface de vis à filet carré engendrée par le côté 2-3. Si nous traçons des génératrices de cette surface, nous avons toujours des droites perpendiculaires à l'axe du cylindre. De m^me pour l'hélice dé-

crite par le point i et pour l'ijélice décrite par le point 4 ; elles limitent la portion utile de la surface de vis à filet carré engendrée par le côté i-4 ; puis nous n'avons qu'à répéter ce que nous venons de dire, et nous aurons successivement la projection de l;i portion vue du filet de îa vis.