SUPPLÉMENT A LA VINGT-SIXIEME LEÇON
Construction des centres de courbure principaux de la surface de vis à filet triangulaire. — L'axe de la vis {fig. 220) étant vertical, menons
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un plan horizontal (H') par le point o où cet axe est rencontré par la génératrice om. Le point/ étant la projection de l'adjointe au plan perpendiculaire à om, la normale au point m à la surface de vis se projette suivantyni.
Nous nous proposons de construire les centres de courbure principaux de la surface de vis qui sont sur la normale fm. Pour cela, nous allons déterminer les points de contact de deux normalies à cette surface qui contiennent cette normale. Prenons comme normalies le paraboloïde des normales à la surface de vis dont les pieds sont les points de om et l'hélicoïde réglé engendre par la normale ^m clle-mcme, que
nous supposons entraînée pendant le déplacement hélicoïdal de la génératrice om de la surface de vis.
Occupons-nous d'abord de cet hélicoïde réglé. Soit ( la trace sur (II') de la normale//M. Le plan omt a alors pour trace sur ce plan la droite ot. Si ce plan est entraîné dans le déplacement hélicoïdal, sa caractéristique est perpendiculaire à ot, et elle passe par le point /",, projection de l'adjointe au plan perpendiculaire kfm.
Construisons le point /,. Pendant son déplacement, le plan omt contenant toujours la génératrice de la surface de vis telle que om, sa caractéristique se projette suivant une droite qui passe par/. Cette droite est alors la perpendiculaire abaissée de ce point/sur oi ; le point où elle rencontre ia perpendiculaire abaissée de o sur /m est le point/,.
Il résulte de celle construction qiie/i( est perpendiculaire à of.
Le point/i étant déterminé, on a tout de suite la projection /,« de la normale en un point quelconque e de fm à l'hélicoïde réglé engendré par cette droite en joignant le point/, au point e.
Le paraboloïde des normales à la surface de vis le long de om contient l'adjointe projetée en /, Ses génératrices se projettent suivant, des parallèles à om. Sa trace sur (H') se compose des droites tgnl og. La génératrice qui passe en e se projette suivant el, qui est parallèle à om, et la trace de cette droite sur (H') est en l sur la trace du paraboloïde. Le plan langenten eà ce paraboloïde a pour trace sur (H') la droite II.
Si le point e était un centre de courbure principal, le plan tangent en ce point au paraboloïde serait perpendiculaire à la normale/iC. Nous devons donc maintenant faire varier la position du point e sur fm jusqu'à ce que la droite telle que /, e soit perpendiculaire à la droite telle que It. Mais, lorsque e décrit fin, le point n décrit sur (H') une droite qui passe par le point /; on a alors la construction suivante ;
On mène les droites fi m, ot; elles se coupent en v. La droite f' rencontre la circonférence décrite sur ft comme diamètre en deuw points : les droites qui Joignent f à ces deux points coupent fm en "fi- "fsi gui sont les projections horizontales des centres de courbure demandés.
Remarques. — Le paraboloïde des normales à la surface de vis pour la génératrice om est tangent au point g au plan (ff).
Comme ce paraboloïde contient l'adjointe projetée en/, le plan (H') lui est normal au point /'situé sur ag. Nous avons donc sur la gêné-
L le plan
ratrice og- du pinbnl icle dea normales (H') est noriml et twgent a celle surficp
Le produit des distances de ces points au point central o, relatif à off, est alors égal au carre du païametie de distiibution des plans tangents au paraboloide pour la genentnce og, mus ce paramètre est égal au paramètre de distribution des plans tangents à la surface de vis, c'est-â-dire au pas réduit h des hélices décrites pendant le déplacement; on a donc
Comme dans le triangle /i/i, on a
on voit donc que/,^ X gl — h' -{- Og .
Construction des centres de courbure principaux de la surface de vis à filet carré. — Nous allons résoudre ce problème en particularisant la construction que nous venons de donner pour la surface de vis k filet triangulaire.
La droite om (/f. 221) est dans le plan (11'). Le point/ de laques-
