HY

tion précédente est maintenant à l'infini. La normale 1 e perpendiculaire à om. La trace de cette ii it m lui-même.

e projette

Le poiiiL g de \^fig- aao est maintenant confonda avec o. Le point /i, en vertu de la remarque prÉcédente, est alors tel que o/, x om = h^. Comme le pas réduit h est donné, oq peut construire le poinl/i.

La construction précédente devient alors celle-ci :

On mène {fig- 221) les droites e/j, Im. Ces droites se coupent en n. La perpendiculaire abaissée de ce point sur om rencontre la circonférence décrite sur /, m comme diamètre en deux points : les droites gui joignent ces points à /, j-encontrent la nortnale en m aux points fi, Y5, qui sont les projections horizontales des centres de courbure principaux demandés.

Simplifions cette construction; on a

,u-{i — iiip X mq = mo X "i/i = ind ;

ainsi 7nf2=^ md.

Le point d s'obtient du reste facilement, puisque le segment od est égal au pas réduit A.

Voici donc la construction à laquelle on arrive :

Sur la perpendiculaire od à oin on porte le pas réduit h. On prend les segments m-^^, m-fa égaux à md, et l'on a en -fi, -/t les projections horizontales des centres de courbure principaux tfemandés.

L'angle odm est égal à l'angle que le plan tangent en m à la surface de vis fait avec le plan tangent en o à cette surface; on a alors la longueur m-(\ du rayon de courbure principal projeté suivant Hî~f., en élevant la perpendiculaire (/f, à dm.

VINGI-SEPTIKME LEÇON.

SUfiFACES DÉVJÏLOITABLES.

Giinéralions. — Surface d'ombre ou de pcnombre dans le cas d'une surface lumineuse.— Surface développable circonscrite à deux coniques. — Surface d'ombre d'une ellipse éclairée par un cercle.

Générations. — Deux courbes directrices A, B {fig. 222) déterminenl une surface développable : celte surface est l'enveloppe d'un plan qui se déplace enrestant tangenlà A etB. La génératrice de la surface, pour une position du plan mobile, est la droite qui joint les points où ce plan touche les courbes directrices A et B.

Pour le voir, il suffit de considérer les tangentes à l'une des courbes directrices, A par exemple; le plan passe toujours par l'une de ces tangentes, la caractéristique de ce plan passe alors par le point où il touche la surface formée par ces tangentes. Mais cette surface est une surface développable qui a pour arête de rebroussement la directrice A; le plan mobile, qui est mené parla tangente en f^ à A et qui ne se confond pas avec le plan osculateur de la courbe, doit alors être considéré comme tangent à la surface développable au point a et sa caractéristique passe par ce point.

Ce que nous venons de dire pour l'une des courbes peut se répéter pour l'autre ; on voit ainsi que la caractéristique du plan mobile, c'esl-à-dire ta génératrice de la surface développable,

SURFACES OÉVRLOl'PATli.ES. 4oi

passe par les points où ce pian touche les deux courbes directrices.

Pour construire la génératrice de la surface qui passe par le point a, considérons le cône qui a pour sommet a et pour directrice la courbe B. Par la tangente au point a de la courbe directrice A menons des plans tangents à ce cône ; ces plans sont dans les positions pour lesquelles le plan mobile est tangent aux deux courbes directrices ; les génératrices de contact de ces plans et du cône sont les génératrices de la surface développable qui passent par le point a. On voit ainsi qu'ime des directrices ne peut pas être une droite ; car, par une droite, on ne peut mener une série continue de plans tangents à une courbe donnée. Lors donc qu'une surface réglée donnée a pour directrice une droite, cette surface n'est pas développable.

On voit aussi qu'on peut considérer la surface développable définie au moyen des deux courbes directrices comme l'enveloppe des cônes passant par l'une des courbes directrices, et dont les sommets sont tes points de l'autre courbe.

On peut définir une surface développable en donnant une courbe directrice A et un cône directeur. Pour déterminer les génératrices de la surface qui passent par le point a de A, on mène en ce point la tangente à cette courbe, puis on construit les plans tangents au cône directeur menés parallèlement à cette tangente; les génératrices de la surface développable sont les droites qui partent du point a et qui sont menées parallèlement aux génératrices de contact de ces plans tangents et de ce cône.

Cette définition de la surface développable peut être rattachée à la première; on peut dire que, dans ce cas, la surface développable est définie par deux courbes directrices dont l'une, à l'infini, est donnée par un cône qui la contient.

Au lieu de courbes directrices, on peut employer des surfaces directrices : une surface développable peut être définie au moyen de deux surfaces directrices. Un plan tangent commun à ces deux surfaces, qui se déplace en restant tangent à ces surfaces, enveloppe la surface développable qui a pour directrices les deux surfaces données. Ici, comme pour le cas o'a l'on donne deux courbes directrices, la génératrice de la surface développable, pour une position du plan mobile, passe, ainsi qu'il est facile de le voir, par les points no ce plan touclie les deux surfaces données.

402 SliCONDIÏ PARTIE. — VINGT-SEPTIÈME LEÇON.

Une surface développablc peut encore êlre définie au moyen d'une surface directrice et d'une courbe directrice. Si cette courbe directrice est à l'infini et donnée au moyen d'un cône qui la contient, la surface développable est déterminée par une surface directrice et un cône directeur.

Dans ce dernier cas, potir un plan tangent à la surface directrice parallèle à l'un des plans tangents au cône directeur, la génératrice de la surface développable est parallèle à la génératrice de contact du cône directeur et de ce plan tangent; elle passe par le point de contact du plan tangent à la stirface directrice.

Surface d'ombre ou de pénombre dans le cas d'une surface lumineuse. — Comme exemple de surface développable définie au moyen de surfaces directrices, on peut prendre les surfaces d'ombre que l'on rencontre lorsque, au lieu de prendre un point lumineux, on a une surface lumineuse.

Soient (A) (fig. 2a3) une sphère lumineuse, (B) la sphère

éclairée et (P) un plan perpendiculaire à la ligne des centres de ces deux sphères sur lequel il y a l'ombre portée par (B) éclairée par la surface (A).

Les plans tangents aux deux sphères, qui laissent ces surfaces d'un même côté par rapport à ces plans, enveloppent un cône de révolution. La trace de ce cône sur le plan (P) est la circonférence de cercle C que nousindiquons en supposant le plan (P) rabattu en (P') sur le plan de la figure; tous les points à l'intérieur de la circonférence C sont dans l'ombre; ifs ne reçoivent aucun rayon lumineux.

Si nous prenons les plans tangents à ces sphères qui laissent

ces surfaces de cùLés différeiiLs par rapport à ces plans tangents, nous avons comme enveloppe un autre cône de révolution; la trace de ce cône sur le pian (P) est une circonférence C concentrique à C. Les points, situés à l'intérieur de cette circonférence et en dehors de C, sont partiellement éclairés : C est une ligne de pénombre. C est la courbe d'ombre portée; elle est la trace du cône d'ombre sur le plan (P) ; C est la trace du cône de pénombre.

Le cône d'ombre touche ta sphère (B) aux différents points d'un petit cercle qui est la courbe d'ombre, et le cône de pénombre touche cette sphère suivant un petit cercle qui est la courbe de pénombre. On voit ainsi que, lorsqu'au lieu d'un point lumineux on a une surface lumineuse, on est conduit à déterminer la surface développable circonscrite au corps éclairé et au corps éclairant, et que sur le corps éclairé on doit chercher deux lignes : la ligne d'ombre et la ligne de pénombre.

Si (A.) est le Soleil, (B) la Lune, et si la surface sur laquelle on prend l'ombre portée, au lieu d'être un plan, est la surface de la Terre, la courbe d'ombre renferme la région pour laquelle il y a éclipse totale de Soleil; la portion comprise entre la ligne qui limite cette région et la trace du cône de pénombre est la partie pour laquelle il y a éclipse partielle.

Par suite du mouvement des astres, on a sur la surface de la Terre l'enveloppe des courbes d'ombre portée par la Lune; on obtient ainsi deux lignes entre lesquelles se trouve la région, sur la surface de la Terre, pour laquelle il y a successivement éclipse totale de Soleil. L'enveloppe des courbes de pénombre donne des lignes qui limitent les régions terminées, d'autre part, aux premières dont nous venons de parler et pour lesquelles il y a successivement éclipse partielle.

Comme exemple de surface développable, nous considérerons une surface lumineuse plane terminée par une circonférence de cercle et nous supposerons que le corps éclairé se réduise à une ellipse placée de façon que la droite, qui joint son centre au centre du "cercle lumineux, soit perpendiculaire aux plans de ces deu^ courbes. Nous allons d'abord parler de la surface développable circonscrite à deux coniques.

4o4 SECONDE PARTIE. — V [ N C^T- SE PT I EHE LEÇON.

Surface dévoloppable circonscrite à deux coniques (' )- — Soient (P) (Jig- 224) le plan de la conique A, (Q) le plan de la conique (B), et T la droite d'intersection des deux plans (P) et (Q), Un plan tangent commun aux coniques A et B coupe la droite T en un point f et a pour traces sur les plans des coniques les tangentes ta, tb à ces courbes. La génératrice de la surface développable dans le plan des droites ta, tb est, d'après ce que nous venons de dire, la droite ab; par le point t nous pouvons mener deux tangentes à la conique B; le plan de la tangente te et de la tangente ta est un plan tangent commun aux deux coniques ; il touche la surface déve-

loppable enveloppe des plans tangents communs à ces deiiK courbes suivant la droite ac. On voit ainsi que par le point a de la conique A passent deux génératrices de la surface développable et, par conséquent, que la conique A est une ligne double de celte surface.

il en est de même pour la conique B. Ainsi les deux conicjues directrices de la surface développable sont deux lignes doubles de cette sur/ace.

Supposons que le plan d'une des coniques soit tangent à l'autre conique {Jig. 225). Soit t^ le point où le plan (Q) touche la conique A. Pour le point a il y a toujours les deux génératrices ab et ac, mais pour le point d nous trouvons les droites de et db, qui sont toutes les denx dans le plan (Q). Lorsque nous faisons varier ie point t sur la droite T, comme nous supposons cette droite extérieure à la conique B, nous trouvons, pour les points de contact de cette conique avec les tangentes issues de chacun des points de

(') De u GounstniE, Trailé de Géométrie descriptive, II" Partie, p. 71 et suiv.

la droite T, tous les points de B ; il y a donc, parmi les génératrices de la surface développable, une infinité de droites qu'on peut mener à partir du point d dans le plan ( Q ) ; ce plan fait donc

partie de la surface, qui, actuellement, se décompose. La courbe A est toujours une ligne double de la surface.

Supposons maintenant {^g- 226) que le plan d'une des coniques coupe l'autre conique. Appelons mn la corde de la conique A, qui appartient au plan (Q). Pour tout point de la droite T, en dehors de la conique A, on peut tracer deux tangentes à chacune des coniques, et, en joignant deux à deux les points de contact de

ces tangentes, on a quatre génératrices de la surface. Lorsque le point t se rapproche du point m, on obtient toujours pour chacune des positions de ce point quatre génératrices de la surface. En un des points de contact de A avec l'une des tangentes qu'on peut mener à cette courbe à partir d'un point de T, on a toujours deux génératrices de la développable, c'est-à-dire que la courbe A est toujours une ligne double de la surface développable.

Supposons que le point / soïL arrivé au point m. On peiU, à partir de ce point, mener deux tangentes à la conique B; c, e sont les points de contact de ces tangentes avec B. Mais, si nous continuons à déplacer le point t sur la droite T, lorsqu'il a dépassé le point m, il se trouve sur la corde mn ; on peut toujours mener des tangentes à la courbe B, mais aux points de contact de ces tangentes ne correspondent pas des génératrices réelles de la surface développable, puisqu'on ne peut pas mener de tangentes à la conique.A. C'est à partir du point n qu'on peut mener de nouveau des tangentes à la conique B. Appelons g et h les points de contact de B avec les tangentes issues du point n\ on voit que les quatre points c, g, e, h partagent la conique B en quatre arcs, les uns, ge, clh, tels, qu'à partir de chacun des points de ces arcs il y a deux génératrices de la surface développable ; ce sont alors des nrcs doubles sur la surface; quant aux deux autres, il n'y a pas de génératrices de la surface aboutissant aux différents points de ces arcs.

Dans tous les cas, c'est en projetant les génératrices de la surface développable et en prenant les enveloppes des projections de ces génératrices qu'on a la projection de l'arête de rebroussement de la surface; nous allons faire voir que, lorsque le plan d'une des coniques coupe l'autre conique, les extrémités des arcs doubles sont des points de l'arête de rebroussement de la surface développable et sont des points de rebroussement sur cette arête de rebroussement.

Les génératrices de la surface développable, qui partent du point ( de la conique A, rencontrent B en des points des arcs doubles de cette courbe. Prenons seulement la génératrice li] lorsque le point i se déplace sur A, le point l se déplace sur B ; lorsque le point i est venu en m, le point / est venu au point c; le point i continuant son mouvement dans le même sens sur la conique A, le point l repasse par les premières positions qu'il avait d'abord occupées.

Si l'on suppose l'arc mi infiniment petit du premier ordre, la tangente de la conique A au point i rencontre la droite T en un point c; la distance vm est infiniment petite du second ordre, et l'arc le correspondant sur B est du même ordre que vm. On voit ainsi que le point c est un point de l'arête de rebroussement de la sur/ace développable.

SIFRFACES DliVELOPPABLES. ^Oy

Projetons les coniques A et B sur un plan arbitraire. On obtient la /t^. 227, dont les lettres correspondent aus lettres de la

Abaissons des points i' et l' les perpendiculaires i' r, l's sur la projection m'c' de la génératrice de la surface développable. On a

Le segment ru a une longueur finie, puisque, lorsque (' vient en m', le point /■ vient en m' et le point u en c'', le segment l's est infiniment petit du quatrième ordre, puisque l'arc l'c' est infiniment petit du deuxième ordre ; le segment i'r est infiniment petit du premier ordre. Par suite, su est infiniment petit du troisième ordre et ce segment est alors négligeable devant c's, qui est infiniment petit du deuxième ordre- Il résulte de là que le point de reneonire u des projections m'c', i' V de deux génératrices infiniment voisines est toujours, ainsi que le point s, d'un même côté de c'sur la droite m'c'; et, comme les droites i' l', rr^c' sont tangentes à la projection de l'arête de rebrou s sèment, nous allons conclure que cette projection a un point de rebroussement au point c' . En effet, dans le voisinage d'un point ordinaire, les tangentes à une courbe rencontrent la tangente en ce point ordinaire de part et d'autre de ce points il en est de même pour un point d'inflexion. C'est seulement lorsqu'on a un rebroussement qu'on trouve sur la taugente en ce point, et d'un même côté par rapport à ce point, les rencontres de cette tangente avec les tangentes infiniment voisines. Ainsi la projection de l'arête de rebroussement est tangente en c' à lïi c' , et ce point d est un point de rebroussement.

Comme le plan sur lequel nous avons fait la projection est arbitraire, on voit que le point c {fig- 226) est un point de rebroussement de l'arête de rebroussement de la surface dépeloppable.

Surface d'omLre d'uae ellipse éclairée par un cercle. — Après ces généralités, revenons au cas où l'on a une aire lumineuse circulaire éclairant une ellipse placée comme nous l'avons dit précédemment. Nous représentons seulement la surface d'ombre, c'està-dire la surface développaWe enveloppe des plans tangents aux deux courbes qui laissent ces devix courbes d'un même côté par rapport à cbacun de ces plans.

Prenons {fig- 22S) comme plan vertical de projection un plan parallèle au plan du cercle lumineux, et comme plan horizontal un plan perpendiculaire au plan du cercle et parallèle au grand axe de l'ellipse éclairée.

Les projections verticales des deux courbes sont alors concentriques et l'ellipse a pour grand axe une droite parallèle à la ligne de terre; les projections horizontales du cercle et de l'ellipse sont les droites mn, ab parallèles à la ligne de terre.

Pour déterminer un plan tangent commun à ces deux courbes, on n'a qu'à mener à ces courbes deux tangentes parallèles entre elles, de façon que les deux courbes soient placées de la même manière par rapport à ces tangentes.

Menons la tangente à l'ellipse en un point q\ielconque /j' de celte courbe. Abaissons du point o' une perpendiculaire sur cette tangente, cette droite rencontre la circonférence en un point q' pour lequel la tangente est parallèle à la tangente à l'ellipse au point jd'. La droite p/q' est la projection verticale d'une génératrice de la surface; projetons le point q' au point q sur mn, le point p' au point/) sur le segment ab : la droite pq est la projection horizontale de la génératrice p'q' de la surface développable. La trace {(', t) d- cette droite sur le plan horizontal (H'), mené par le grand axe :'..i l'ellipse, appartient à la trace de la surface d'ombre sur ce ;;,an (H').

La génératrice de la surface développable qui passe par le point /i", symétrique de/)' par rapporta (H'), a aussi pour trace le point (i*, t)\ ainsi, le point {t\ t) appartient à une ligne double

SURFACES DÉVELOPPABLES- 409

qui est située sur le plan (H'), plan de symétrie de la surface développable. Nous allons démontrer que cette ligne double estime conique.

Fi g. 328.

D'un point quelconque de l'espace on peut mener à la surface développabie quatre plans tangents. En effet, considérons le point donné comme sommet de deux cônes ayant chacun pour directrice l'une des courbes données. Les plans tangents qu'on peut mener du point donné à la surface développabie sont des plans tangents à ces cônes ; nous devons donc, pour avoir les plans tangents à la surface développabie, chercher les plans tangents communs à deux cônes du second degré ayant même sommet. Les traces de ces deux c^ve& sur un plan quelconqite sont deux coniques; les traces des plans tangents communs à ces deux cônes sont les tangentes communes à ces deux coniques, et, comme pour

deux coniques il existe quatre tangeuLes communes, on voit qu'il y a quatre plans tangents communs aux deux cônes et que, par conséquent, par un point de l'espace on peut mener quatre plans tangents à la surface développable. Dans le cas particulier où les plans tangents sont menés d'un point situé dans le plan (H'), ces plans tangents, par suite de la symétrie, sont eux-mêmes symétriques deux à deux par rapport à {H'), et les traces de ces quatre plans sur {H') se réduisent à deux droites ; ces deux droites sont les tangentes qu'on peut mener du point donné à la trace de la stirface développable sur (H'), On voit que cette trace de la. surface développable est une courbe telle, que d'un point pris dans son plan on ne peut lui mener que deux tangentes; cette courbe est donc une conique.

Cette courbe peut être prise comme directrice de la surface développable et, comme son plan rencontre la circonférence de cercle qui termine l'aire lumineuse, on voit que cette courbe se partage en quatre arcs dont deux sont des arcs doubles. Les extrémités des arcs doidïles sont les points de contact des tangentes qu'on peut mener à cette conique par les points m et n. Si nous ne considérons que la surface d'ombre, nous ne devons prendre que les droites qui se projettent suivant ma, nb. Ces droites touchent la conique double trace de la surface développable sur (H') aux extrémités e, g d'un arc double.

Cberchons sur la droite ma, par exemple, le point où cette droite touche l'arête de rebroussement de la surface développable, c'est-à-dire le point de contact de cette droite avec la conique double. Nous allons faire usage du théorème suivant, que nous allons d'abord démontrer :

Si Von coupe une surface développable par des plans parallèles entre eux, les centres de courbure des sections faites par ces plans dans la surface, relativement aux points oit les plans sécants rencontrent une même génératrice, sont sur une droite gui passe par le point oit cette génératrice touche l'arête de rebroussement de la surface développable.

Prenons les développées des sections que ces plans parallèles font dans la surface développable, l'ar une génératrice de cette

surface, on peut mener un pian tangcnl à toutes ces dévetoppées. Considérons ce plan et un plan analogue pour la génératrice infiniment voisine de la surface développable.

Déplaçons l'un de ces plans de façon à l'amener en coïncidence avec l'autre. Nous obtenons sur ce plan une caractéristique. Mais cette droite passe par les points de contact du plan mobile avec les développées et par le point oix la génératrice de la surface développable touche l'arête de rebroussement de cette surface; le théorème est donc démontré (').

Revenons à la surface d'ombre. La circonférence donnée et l'ellipse donnée sont les sections faites dans cette surface par deux plans parallèles entre eus ; le centre de courbure de la circonférence correspondant au point m est le point o ; le centre de courbure de l'ellipse correspondant au point a est le point a; la droite oa. rencontre ma au point e, qui appartient à l'arête de rebroussement et qui est le point de contact de ma avec la conique double. On trouve de même le point g sur la droite nb, et l'on peut tracer en g, tangentîellement à cette droite nb, l'arc de la conique double qui passe par le point t et qui arrive au point e tangentiellement à ma. L'arête de rebroussement a pour projection horizontale l'enveloppe des projections horizontales des génératrices de la surface; elle a des points de rebroussement aux points projetés en g et e; mais, par suite de la symétrie de la surface par rapport au plan (H'), cette arête de rebroussement arrive au point g et au point e tangentiellement à l'arc eg. Les branches des rebroussements se superposent en projection, et l'on ne voit qu'un arc de la courbe à partir du point g et un seul arc à partir du point e.

La droite qui joint le point o au point a passe par le point e de l'arête de rebroussement. On peut faire une remarque analogue pour la droite qui joint le point o à un centre de courbure quel-

( * ) Si, au lieu d'un déplacement infiniment petit du plan mobile, on prend un déplacement continu, toujours dans les mêmes conditions, on arrive à ce théorème, dû à M. Halphïn : Les sections faites dans une sur/ace développable par des plans parallèles entre eux ont leurs développées situées sur une même surface développable {Bulletin de la Société mathématique de France, 21 novembre 1877).

conque de l'ellipse : cette droite rencontre toujours l'arète de rebrou s sèment, de la surface développable (').

On peut énoncer ce résultat de la manière suivante ;

La perspective de l'arête de rebroussement de la surface développable sur le plan de l'ellipse, en mettant l'œil au centre du cercle lumineux, est la développée de cette ellipse ; les points de rebroussement de cette développée sont les perspectives des points de rebroussement de l'arête de rebroussement.

Cherchons la section faite dans la surface par un plan parallèle aux deux courbes directrices. Un pareil plan partage en segments proportionnels les portions des génératrices de la surface qui sont comprises entre les courbes directrices. Cette propriété subsiste en projection : la courbe qui passe, par exemple, par le point r' , et qui est obtenue en coupant la surface par un plan (i) parallèle au plan vertical, est la courbe lieu des points, tels que /■', qui partagent les segments analogues à p'q' dans le même rap- . /'''■'

Cette courbe est parallèle à une ellipse. En effet, puisqu'elle résulte de l'intersection de la surface développable et d'un plan parallèle au plan vertical, sa tangente en r' est la trace de son plan sur le plan tangent en ce point à la surface développable. Cette Tangente est alors parallèle à la tangente au point p' à l'ellipse donnée, et la normale à la courbe en / est la parallèle r'v' à o'q' ; cette parallèle rencontre o' p' en un point v' , et l'on a -;— ; =^ ^^j—, > c'est-à-dire un rapport constant. Le point c' appartient donc à une ellipse semblable à l'elKpse donnée.

Quel que soit le point de la courbe de section, tel que r', on a toujours, correspondant à ce point, un point, tel que c', appartenant à une ellipse homotbétique à l' ellipse donnée; comme la tangente au point v' à cette ellipse est parallèle à la tangente au point p', la droite r'c' lui est normale.

(' ) Ainsi, sur la projection Terticale, en joi^ bure de l'ellipse correspondant au point />', on où q'p' touche la projection de l'arÉte de rebi

Au moyen des triangles semblables o'q' p' , \>' p' r' , oq voit C|i]e -r-, est un rapport constant, et, comme le rayon o'f/ est constant, c'/ est \\n segment de longueur constante. La courbe lieu des points, tels que r' , peut donc être considérée comme obtenue eii portant une longueur constante e'r' sur les normales à l'ellipse lieu des points, tels que i^; elle est donc parallèle à cette ellipse.

Selon la position du plan sécant, cette courbe présente les différentes formes que nous avons trouvées en cberchant les développantes de la développée d'une ellipse.

Le plan sécant (i) donne comme section une courbe dont la forme est celle d'une ellipse.

Le plan sécant (a), qui rencontre la projection de l'arête de rebroussement et la ligne double eg, donne une courbe qui a deux points doubles aux points où le plan sécant rencontre la ligne double et quatre points de rebroussement aux points où ce plan sécant rencontre l'arête de rebroussement.

Enfin la courbe résultant de l'intersection de la surface par un plan (3), qui ne rencontre que la projection de l'arête de rebroussement, a seulement quatre points de rebroussement.

Nous n'avons parlé que de la trace de la surface sur le plan (H'), mais il est clair que nous aurions pu parler de la ti-ace de la surface sur le plan perpendiculaire au plan vertical et mené par le petit axe de l'eUipse directrice; nous aurions encore trouvé sur ce plan une conique double, La développable circonscrite aux deux courbes données a donc en tout quatre lignes doubles ; les deux bgnes données et les deux lignes que nous venons de trouver dans les plans menés perpendiculairement au plan vertical par les axes de l'ellipse donnée.

Au lieu du cercle lumineux, supposons qu'on donne un cône de révolution ayant pour base ce cercle. Le sommet du cône est alors un point qui se projette verticalement au point o' . Transportons maintenant le plan du cercle lumineux parallèlement à lui-même. Pour chacune des positions de ce plan, la surface développable précédente est changée, et, lorsque le plan sécant est à l'infini, on a une surface développable circonscrite à l'ellipse et à une circonférence de cercle d'un rayon infini et tout entière à l'infini. La surface est alors la surface développable définie au moyen de

l'ellipHe el du cône de révolution qui est maintenant un cône directeur; les plans tangents à cette surface sont parallèles aux plans tangents de ce cône, c'est-à-dire qu'ils sont également inclinés sur le plan de l'ellipse.

Comme cas particulier de la surface développable circonscrite à deux coniques, nous sommes ainsi conduits à une surface dont tous les plans tangents sont également inclinés sur le plan de l'ellipse directrice. Si le plan de l'ellipse directrice est horizontal, cette surface développable prend le nom de surface d'égale pente. La surface d'égale pente qui a pour directrice une ellipse esc donc un cas particulier de la surface d'ombre que nous avons représentée. Nous étudierons directement la surface d'égale pente qui a pour directrice une ellipse horizontale, et nous retrouverons les résultats auxquels nous sommes arrivés pour le cas plus général examiné dans cette Leçon.