SURFACE D'ÉGALE PENTE. — SURFACES GAUCHES
DéGnition et remarques. — Surface d'égale pente lorsque la directrice est i ellipse horizontale. — Sections planes. — Plan tangent mené d'un point don — Plan tangent parallèle à uoe droite donnée. — Surfaces gauches. — Gé calions. — Paraboloïde hyperbolique. — Plan tangent. — Représentation, i'ersppctive cavalière d'une portion de paraboloïde.
Définition et remarques. — On donne le nom de sur/ace d'égale pente à une surface dont tous les plans tangents sont également inclinés sur un plan horizontal. Ces plans sont assujettis à deux conditions : l'une d'être tangents à la surface, l'autre de faire un angle donné avec un plan fixe. Comme il ne reste pour ces plans qu'un seul paramètre variable, ils enveloppent une surface développable. Le cône directeur de cette surface est un cône de révolution dont l'axe est vertical.
Il résidte de là que les génératrices de la surface d'égale pente sont des lignes de plus grande pente des plans tangents de cette surface; leurs projections sur un plan horizontal sont des normales à la trace de la surface d'égale pente sur ce plan horizontal. L'enveloppe de ces normales, c'est-à-dire la développée de celte trace, est la projection horizontale de l'arête de rebroussement de la surface d'égale pente. Sur le cylindre droit qui a pour base cette développée, cette arête de rebroussement est une hélice, puisque ses tangentes, c'est-à-dire les génératrices de la surface d'égale pente, sont également inclinées sur le plan horizontal.
Surface d'égale pente qui a pour directrice une ellipse horizontale. — Nous allons représenter la surface d'égale penle qui a pour directrice une ellipse horizontale (fig- 229); prenons pour plan vertical de projection un plan vertical parallèle au grand axe de cette courbe. Donnons-nous le cône directeur de révolution.
La génératrice qui passe par le point A se projette horizontalemenl suivant la normale au point A à l'ellipse directrice; elle est parallèle à la génératrice du cône directeur projetée suivant sa. La projection verticale de la génératrice est parallèle à la projection verticale ^ a' de la génératrice du cône.
La génératrice qui passe par le point A rencontre le plan vertical mené par le grand axe de l'ellipse en un point (M, M'). Ce point est aussi la trace, sur le même plan, de la génératrice de la siirface qui se projette horizontalement suivant A"M, symétrique-
ment placée avec AM par rapport au plan vertical OM. Le lieu des points tels que (M, M') est donc une ligne double de la surface.
Nous allons démontrer que celte courbe est une conique. Puisque les génératrices de la surface sont également inclinées, en appelant a l'angle que ces génératrices font avec le plan hori- Konlal, on a
MA -'-^'^^'i''- " ''""'^-
Redressons la normale MA", qui est égale à MA. Nows obtenons, sur la perpendiculaire élevée du point M au grand axe de l'ellipse, un pointR qui appartient, comme nous l'avons démontré, page i a5, à une conique (R) dont deux des sommets sont aux foyers F, F' de l'ellipse donnée.
Lorsqu'on modifie dans un rapport constant les ordonnées de cette courbe (R), on a toujours une ellipse ayant pour sommets les deux foyers de l'ellipse donnée. Prenons ce rapport constant égal à langa; nous avons des points tels que Q, pour lesquels on a
QM
