MA = *^"S

et qui appartiennent toujours à une ellipse dont deux sommets sont aux foyers F, F'.

Transportons cette courbe parallèlement à elle-même, de façon que son axe FF' coïncide avec la projection verticale de l'ellipse directrice, le point Q vient au point M'; le lieu des points Q est alors la projection verticale de la trace de la surface sur le plan vertical mené par le grand axe de la courbe directrice. On voit donc que la trace de la sur/ace sur le plan de symétrie mené par te grand axe OM. est une conique. (On a un résultat analogue pour le plan de symétrie mené par le petit axe de l'ellipse directrice.)

Le plan de cette courbe rencontrant l'ellipse donnée, celle-ci contient deux arcs doubles. On obtient les deux extrémités d'un de ces arcs en menant, par les extrémités du grand axe de l'ellipse donnée, les tangentes à la conique lieu des points tels que M'; ces droites sont parallèles aux génératrices de contour apparent du cône directeur. Pour avoir sur ces génératrices les points qui appartiennent à l'arc double, il suffit de prendre ceux qui se projettent aux centres de courbure de l'ellipse donn<;e correspondanl aux extrémités du grand axe de cette courbe.

Appelons E, G ces deux points; faisons passer par les points E, M', G un arc de conique tangent en E et G aux génératrices menées parallèlement aux lignes de contour apparent du cône directeur. Les projections des génératrices de la surface sur le plan vertical sont des droites tangentes à la projection de l'arête de rebroussement; cette projection verticale doit arriver aux points E et G tangenticllcment à l'arc double E M', G.

4l8 SECONDE PARTIE, — VIN GT -HU ITIEM E LEÇON.

Sections planes. — La section de la surface d'égale pcnLe par un plan horizontal est, en projection sur le plan horizontal, une courbe parallèle à l'eUipse directrice, car les portions des génératrices comprises entre le plan sécant et le plan de l'ellipse directrice sont égales; elles se projettent suivant des segments égaux, et, comme ces segments sont comptés sur les normales à l'ellipse directrice, on voit que le lieu des extrémités de ces segments est une courbe parallèle à cette ellipse.

Si le plan sécant est le plan horiiontal (i), on a une section dont la forme rappelle celle d'une ellipse.

Si l'on coupe par le plan horizontal (a), qui rencontre la conique double et l'arête de rebroussement , la section est une courbe qui a deux points doubles et des points de rebroussement sur l'arête de rebroussement.

Enfin, le plan horizontal (3), qui ne rencontre plus la conique double, mais qui rencontre toujours l'arête de rebroussement, donne lieu à une courbe sur laquelle il y a encore quatre points de rebroussement.

Cherchons la section faite dans la surface par un plan quelconque.

Soit CT la trace du plan sécant, sur le plan de l'ellipse, et, au lieu de nous donner l'inclinaison de ce plan, menons une droite et qui représente la 'trace, sur le même plan, d'un plan mené par le sommet s du cône directeur parallèlement au plan sécant. Menons la tangente at à la base du cône directeur prise sur le plan de l'ellipse, et joignons le point t au point s. La tangente au point A à l'ellipse directrice est parallèle à at et rencontre la trace du plan sécant au point T; menons du point T une parallèle à ts, cette droite détermine sur la normale AN un point N. Ce point N est la projection du point où la génératrice AN de la surface rencontre le plan sécant; TN est la tangente en N à la section de la surface par ce plan.

En effet, le point où la génératrice AN rencontre le plan sécant est un point de la trace, sur ce plan, du plan tangent suivant AN à la surface d'égale pente. Cette trace est parallèle à ts, et, comme elle passe par le point T, c'est la droite TN menée parallèlement à ts. On obtient ainsi le point N, et la tangente en ce point à la seclion plane de la surface est la droite TN.

On peut construire un point de cette courbe pour lequel la tangente est parallèle à une droite donnée. Par le point s on mène une parallèle à celte droite; celte parallèle rencontre et en uu poini à partir duquel on mène les tangentes à la base du cône. Les génératrices du cône, qui passenl par les points de cootacl de ces tangentes, sont parallèles aiix génératrices de la surface d'égale pente qui contiennent les points demandés,

La génératrice de la surface, qui est parallèle à se, est parallèle au plan sécani; elle rencontre alors ce plan à l'infini; elle est parallèle à une asymptote de la courbe d'intersection. Pour avoir cette asymptote, il suffit de prendre la droite d'intersection du plan sécant et du plan tangent à la surface développable le long de la génératrice parallèle à^e.

Menons icperpendiculairemcnl à cï et NC perpendiculairement k CT, on a

et, comme ce dernier rapport est constant, on voit que la courbe d'intersection de la surface d'égale pente par un plan quelconque est, en projection horizontale, le lieu des points dont le rapport des distances à la trace du plan sécant et à l'ellipse directrice est constant.

Remarques. — Cette propriété s'étend à deux surfaces d'égale pente quelconques. Si l'on a sur un plan (fig- 23o) les directrices

lurfaces d'égale pente, la pi'ojection de la courbe ; ces surfaces sur ce plan est toujours telle que

et, pour avoir la tangente en N à la. projection de celte courbe, il suffit de prendre le point de rencontre des tangentes aux courbes directrices issues des points A cl C et de joindre le point JV à ce point de rencontre.

Si l'une des directrices est une droite AT (yï^, 23i) et l'autre

directrice un point F, auquel cas les surfaces sont l'une un plan

Fig. ^3./

et l'autre un cône de révolution dont le sommet est F, on a toujours ^rp = const., et l'on voit que la projection de la section conique, intersection du cône de révolution parle plan sécant, est ie lieu des points dont le rapport des distances à une droite fixe et à un point fixe est constant.

En appliquant ce que nous venons de dire pour la construction de la tangente, on trouve qu'il faut mener par le point F la trace du plan tangent au cône de révolution, c'est-à-dire la perpendiculaire FT à NF, prendre le point de rencontre de cette droite avec AT et joindre ce point de rencontre au point N : on a ainsi la tangente à la conique en N.

D'un point donné mener un plan tangent à la sur/ace d'égale pente.

Transportons le cône directeur de manière à lui donner pour sommet le point donné et prenons la trace de ce cône sur le plan de l'ellipse directrice. Les plans tangents demandés doivent avoir pour traces des tangentes communes à cette circonférence et à l'ellipse directrice; mais il faut choisir parmi ces tang^entes celles qui correspondent à des génératrices de la surface d'égale pente et do cône directeur parallèles entre elles. Ainsi, aux points V et p {Jîg- 239) Oïl 3 bien pour la surface d'égale pente et pour le cône des génératrices parallèles entre elles, tandis que pour les points t et i cela n'a pas lieu.

La parallèle menée du poi'ntl à la génératrice du cône qui passe par le point i est relaùve à une nappe de la surface qui est, par rapport au plan de l'ellipse directrice, la symélrique de celle que nous avons considérée. C'est la surface formée par ces deux nappes qui donne lieu, dans les plans de symétrie, aux coniques doubles traces de la surface, et c'est cette surface complète qui a quatre lignes doubles : l'ellipse directrice donnée, les deux coniques situées dans les plans de symétrie et enfin une ligne à l'infini.

La marche que nous venons d'indiquer pour la construction du pian tangent mené d'un point est applicable dans le cas d'une surface développable quelconque.

Mener à la surface d'égale pente des plans tangents parallèlement à une droite donnée.

Par le sommet s du cône directeur menons une droite parallèle à la droite donnée et par cette droite menons des plans tangents au cône directeur. Ces plans sont parallèles aux plans demandés, et leurs traces sur le plan de l'ellipse sont parallèles aux traces des pians cherchés. Il suffit donc de mener à l'ellipse directrice des tangentes parallèles à ces traces pour avoir des horizontales des plans tangents demandés. Il faut toujours avoir soin d'examiner parmi ces tangentes celles qui répondent à la question.

Celte solution est applicable au cas d'une surface développable dont le cône directeur n'est pas de révolution.

En effectuant le développement de la surface d'égale pente, on peut remarquer que l'ellipse directrice et l'arête de rebroussemenl se transforment en un arc et sa développée.