SURFACES GAUCHES

Générations. — Nous avons vu que le déplacement d'une droite, indépendamment de ses points, est défini au moyen de trois conditions. Pour engendrer une surface gauche, on peut alors se donner

trois courbes ou surfaces directrices. Lorsque l'on donne trois courbes directrices, on construit les génératrices qui parlent d'un point a ijig. aSa) de l'une d'elles, en prenant les intersections des cônes ayant pour sommet le point a et pour directrices les deux autres courbes directrices données.

Si, pour un point m, la génératrice^ ainsi construite est telle qu'aux points e, g les plans tangents à la surface réglée se con-

fondent, elle est appelée génératrice singulière. Le plan tangent le long de celte génératrice est alors le même pour toiis les points de la surface, excepté pour le point m, car le plan tangent en ce point est le plan de la génératrice mg et de la tangente mt k la courbe directrice, c'est-à-dire un plan bien défini et qui n'est pas nécessairement confondu avec le plan tangent en. e ou en g; le point m est alors le point central sur cette génératrice.

On peut définir une surface gauche en donnant une courbe directrice et deux surfaces directrices; on construit la génératrice qui part d'un point de la courbe directrice en prenant les intersections des cônes dont les sommets sont en ce point et qui sont circonscrits aux deux surfaces directrices.

On peut définir une surface gauche en donnant deux courbes ou surfaces directrices et un cône directeur. Supposons donnés deux courbes directrices et un cône directeur, pour construire les génératrices qui partent d'un point d'une des courbes directrices, on transporte en ce point le sommet du cône directeur, on prend les points de rencontre de ce cône avec la seconde courbe directrice et l'on joint ces points au sommet de ce cône.

Lorsque l'une des courbes directrices se réduit à une droite et que le cône directeur est un plan, on a une surface réglée que l'on désigne sous le nom de conoïde. Lorsque la directrice rectiligne du conoïde est perpendiculaire au plan directeur, on dit que le conoïde est droit.

TARABOLOÏDE H VPERB OLIOUB . 49.3

Enfin on peut définir une surface réglée en considérant îa droite qnj l'engendre comme faisant partie d'une figure de forme invariable et en donnant les conditions qui définissent le déplacement d'une pareille figure.

Paraboloïde hyperbolique. Plan tangent. — Prenons un paraboloïde hyperbolique comme premier exemple d'une surface gauche {^fig- 233). Supposons que son plan directeur soit horizontal et que ses directrices aient pour projections (A', A), (K, B).

Menons l'horizontale «'&'; cette droite est la projection verticale d'une génératrice de la stirface, génératrice que nous appelons du pfémiëi* système .• a' se projette 3U point a sur A, b' au point h sur B; ab est la projection horizontale de cette génératrice du premier système.

Cherchons le plan tangent au point [m', m) de cette génératrice. Ce plan est déterminé par a'b' et par la génératrice du second système qui passe par le point (m', m). Pour construire cette génératrice du second système, nous n'avons qu'à mener par le point (m', m) une droite qui rencontre deux des génératrices du premier système.

Comme génératrices du premier système, prenons cd qui est la trace du paraboloïde sur le plan horizontal (H') et o', qui représente une génératrice du premier système, car c'est une droite

horizontale qui rencontre les deux directrices. On a alors tout de suite la projection verticale o'm' de la génératrice du second système qui passe par m', et, en élevant par le point i , oii la droite o'm' rencontre (H'), la perpendiculaire t'i à cette ligne, on a surci^ le point ï, qui est la trace sur (H') de cette génératrice du second système; mt est alors la projection horizontale de cette droite: mt, mit' sont les projections horizontale et verticale de la génétrice cherchée. Cette droite et {d6, a' b') donnent le plan tangent demandé.

Par une construction inverse, on détermine le point oii un plan mené par {ab, a'b') touche le paraboloïde.

Si le plan mené par («6, a'b') est vertical, ce plan est alors un plan central pour cette génératrice, et le point où il touche le paraboloïde est le point central sur a'b' .

Le lieu de ces points centraux est la ligne de striction du paraboloïde; cette ligne de striction peut être considérée comme la ligne de contact du paraboloïde et d'un cylindre circonscrit dont les génératrices sont verticales. Cette courbe est alors une parabole.

La tangente en un point de cette ligne de striction est la tangente conjuguée, par rapport aux deux génératrices du paraboloïde, de la verticale qui passe par ce point.

Le cylindre circonscrit au paraboloïde a pour contour apparent, sur le plan vertical de projection, la perpendiculaire o'p à la ligne de terre. La parabole, projection verticale de la ligne de striction, touche cette perpendiculaire au point o' . Si n' est ie point central sur a'b', la tangente en ce point à cette parabole est la droite n'i qui passe par le point i, milieu du segment intercepté sur la verticale o'p par les projections des deux génératrices du paraboloïde qui passent en n'. Les diamètres de la parabole, projection verticale de la ligne de striction, sont parallèles à la droite qui joint le point! au milieu de o' n' ; ils sont donc parallèles à la ligne de terre. On voit aussi que o' est le sommet de cette parabole.

Mener à un paraboloïde un plan tangent parallèlement à un plan donné (Q)-

On prend la trace de ce plan sur le plan directeur donne ; par chacune des directrices on mène un plan parallèle à cette trace. Ces deux plans se coupent suivant une droite qui est une généra-

trice duparaboloïtlc. Le plan mené par celte génératrice parallèlement au plan (Q) est le plan tangent demandé.

Projections diverses d'une portion de paraboloide. — Prenons {fig- a34) pour plan horizontal un plan perpendiculaire à l'axe du paraboloïde, axe que nous plaçons verticalement, et pour plan vertical un plan parallèle à l'un des plans principaux. Limitons la portion que nous voulons représenter à des génératrices également distantes de l'axe; ces droites forment en projection hori-

zontale le losange ahcd\ les points a et c se projettent verticalement en «'et </, qui sont à la même hauteur; les points 6 et <i se projettent verticalement en un seul point 6', et les quatre côtés du losange abcdse projettent verticalement suivant a'b', AV.

Traçons un certain nombre de génératrices de chacun des systèmes. Pour cela, divisons ad en parties égales ainsi que ab, el par les points de division menons les génératrices du paraboloïde. Les projections de ces droites sur le plan vertical de projection enveloppent la ligne de contour apparent du paraboloïde, c'està-dire une parabole.

Projetons le paraboloïde sur un plan vertical parallèle à de, c'eslà-dire parallèle à l'un des plans directeurs. Le point a se projette

en a". Le point c", nouvelle projection verticale du point c, est toujours à la même hauteur que le point «", et les points b et cî se projettent en 6" et d", au-dessous de a"c", d'une distance égale à b'e.

Joignons d" el è" aux points «"elc", nous obtenons les nouvelles projections verticales des génératrices qui limitent la portion du paraboloïde que nous représentons. En prenant encore les projections des génératrices du paraboloïde sur le plan vertical de projection, on a des droites qui enveloppent la ligne de contour apparent du paraboloïde sur le nouveau plan vertical de projection. Cette courbe est encore une parabole, puisque nous avons dit que la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un paraboloïde est une parabole ou, en d'autres termes, le cylindre circonscrit à un paraboloïde est toujours un cylindre parabolique.

Si l'on projette le paraboloïde sur un plan perpendiculaire à l'un de ses plans directeurs, comme il y a nécessairement une génératrice g perpendiculaire à ce plan directeur, toutes les génératrices du paraboloïde se projettent, les unes perpendiculairement a la nouvelle ligne de terre, et les autres suivant des droites qui passent par !e point g.

Perspective cavalière d'une portion de paraboloïde. — Il est facile de tracer la perspective cavalière de la portion du paraboloïde représentée.

Prenons comme plan de front un plan parallèle au premier plan vertical de projection que nous venons d'employer. AC est une droite de iront qui correspond à a'c'. Sur une perpendiculaire élevée du milieu de AC et à partir de ce point milieu, portons un segment égal à fe.

Par l'extrémité de ce segment menons une ligne fuyante et portons sur cette droite des longueurs réduites correspondant à ob et od; nous obtenons les points B et D.

Joignons deux à deus les points A, B, C, D, nous avons les projections des quatre côtés du losange; partageons AB et CD en huit parties égales, nous n'avons qu'à joindre les points de division ainsi obtenus pour avoir les perspectives cavalières des génératrices de la surface.

Il faut avoir soin de joindre d'abord le point de division le plus

rapproche du point A au point de division le plus rapproché du point D, puis successivement on passe aux points de division voisins du premier point considéré, et l'on a alors, par l'enveloppe de ces droites, la parabole ligne de contour apparent du paraboloïde en perpective cavalière. On peut tracer les autres génératrices en divisant BC et AD en un même nombre de parties égales et en joignant convenablement tes points correspondants.