VINGT-NEUVIÈME LEÇON

SURFACES GAUCHES (suite).

Surface gauche définie par deuï courbes directrices et uq plan rfirecteur. — Conoïde droit circonacrîl à une sphère. — Plan tangent au conoïde en un point. — Plan tangent au conoïde parallèle à un plan donné. — Génératrices singulières du conoïde. — Conoïde de Plucker. — Surface gauche définie par deui courbes directrices et un cône directeur. ~ Cas particulier ois le cône directeur est de révolution. — Surface gauche définie par trois courbes directrices.

;5 de surfaces gauches

Surface gauche définie par deux courbes directrices et un plan directeur. — Une surface gauche est définie par deux directrices et un plan directeur; on demande le plan tangent en un point d'une génératrice de cette sur/ace.

Les directrices données sont (A, A'), (B, B') (fig- 235). Le plan directeur est horizontal.

Soit (m, m') le point pour lequel on demande le plan tangent.

On a immédiatement, pour la génératrice a'b' qui contient ce point, un paraboloïde de raccordement : il suffit de prendre le paraboloïde qui a pour plan directeur un plan horizontal et pour directrices les tangentes en af et b' aux courbes directrices données. Ce paraboloïde est de raccordement, puisque, aux points a', b' et au point qui est à l'infini sur la droite a'I/, il a les mêmes plans tangents que la surface gauche. On construit alors pour le point (m, m') le plan tangent à ce paraboloïde el l'on a le plan demande.

On sait que le long d'une génératrice a'b' on peut construire une infinité de paraboloïdes de raccordement; tous ces paraboloïdes ont pour plan directeur le plan directeur de la surface gauche et pour directrices des droites tracées par les points a' et 6'respcc-

tivement dans les plans tangents en ces points à la surface gauche. Menons dans ces plans tangents, par a' et b', des droites de front ; ces droites se projettent horizontalement suivant des parallèles à la ligne de terre. Le paraboloïde, dont ces droites sont les directrices, a alors les plans de projection pour plans directeurs; sur chacun de ces plans les projections des génératrices forment des systèmes rayonnants. Sur le plan vertical, par exemple, on a des droites qni passent par le point t' , projection verticale de la génératrice du paraboloïde perpendiculaire au plan vertical de projection. Cette génératrice se projette horizontalement suivant une droite qui rencontre ab au point c ; le point c est la projection lioriKontaie de la génératrice de ce paraboloïde particulier, généra-

triée qui est perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sur le plan horizontal, les génératrices se projettent suivant des droites qui passent par le point c. Le point de la droite aô, qui se pro-

jette au pomt c,

t donc le p

t pour lequel le plan vertical qui

fojette ab est tangent au paraboloïde ; le point c est alors le point central sur la génératrice ab. On voit ainsi que le point central sur ab est au point de rencontre de cette droite et de la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point de rencontre des projections verticales des directrices du paraboloïde de raccordement qui a le plan vertical pour plan directeur.

Si les directrices a' t' , b' t! sont parallèles entre elles, le point c' est à l'infini, et le point central c est aussi à l'infini.

Voilà une circonstance où le point central sut- une génératrice

est à riûfiiii; il est facilfi d'ohlenlr des surfaces gauches pour lesquelles cette particularité se présente (').

Conoîde droit circonscrit à une sphère. — Considérons comme exemple de surface g-auehe à plan directeur un conoïde droit circonscrit à une sphère.

Prenons {fig- 236) pour plan horizontal de projection le plan directeur du conoïdcj et pour plan vertical un plan parallèle au

plan mené par la directrice reciiligne et par le centre de la sphère directrice. La directrice reetiligne est la verticale qui se projette horizontalement au point a; le centre de la sphère se projette au point (o, o'); la droite ao est parallèle à la ligne de terre.

Pour construire une génératrice du conoïde, coupons par un plan horizontal. Ce plan rencontre la directrice reetiligne au point a' et la sphère suivant un petit cercle ajant pour projection horizontale une circonférence dont le centre est au point o. Les tangentes ae, ah à cette circonférence menées du point a sont les projections horizontales des génératrices du conoïde situées dans

(>) Voir sur les gtnéfatrices singulières le Siipplénient à cette Leçon.

GONOÏDE DROIT CIRCONSCRIT A UNE SPHÈRE. 43l

ce plan horizontal. Les points de contact fe, e de ces tangentes sont sur la circonférence décrite sur ao comme diamètre ; les génératrices de la surface se projettent alors horizontalement suivant ae etab.

Les points de contact b, e sont symétriquement placés par rapport à la droite ao et se projettent verticalement en un seul point b'. Quel que soit le plan sécant horizontal que l'on prenne pour construire des génératrices de la surface, on a toujours à tracer la même circonférence décrite sur ao comme diamètre. Les points de contact avec la sphère directrice des génératrices du conoïde se projettent donc en des points de cette circonférence et forment alors la ligne d'intersection de celte sphère avec le cylindre droit dont la base est la circonférence décrite sur ao comme diamètre. Cette ligne d'intersection est une courbe du quatrième ordre ; mais, par suite de la position du plan vertical qui est parallèle au plan vertical de symétrie ao, cette courbe se projette suivant un arc de section conique.

En la considérant comme l'intersection d'un cylindre de révolution et d'une sphère, nous pouvons appliquer ce que nous avons dit précédemment pour déterminer l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent.

SI l'on veut le point de la courbe qui se trouve sur l'horizontale a'b', on considère cette droite comme la projection d'une section droite du cylindre; on inscrit dans ce cylindre une sphère le long de cette section droite, et l'on prend l'intersection de cette sphère avec la sphère donnée : cette intersection est un petit cercle qui se projette verticalement suivant la droite gh. Cette droite rencontre la projection verticale de la section droite du cylindre au point !/; le point b' est le point cherché, et la corde gk est la tangente en ce point à la projection verticale de la courbe qui résulte de l'intersection du cylindre et de la sphère.

On peut, au moyen de cette construction, démontrer que cette courbe est un arc de parabole. La tangente au point b' à cet arc de courbe étant la corde gh, la normale au point b' est parallèle à la ligne qui joint le centre o' de la sphère donnée au centre c de la section droite du cylindre qui contient le point b'; cette normale rencontre en p la parallèle à la ligne de terre qui passe par le point o' : on a o'p ^ cb'. Abaissons" du point b' la perpendicu-

432 SECONDE rAllïIE, - V INGT - ft E II V I È« E LEÇON.

lairc b'q sur o'/) ; comme ço' est égal à b' d, ona alors pq = cd, c'est-à-dire que le segment pg, compris entre le point q, pied de l'ordonnée du point b', et le point p, pied de la normale l/p, est égal au rayon de la section droite du cylindre, c'est-à-dire qu'il est constant : la courbe est donc une parabole.

Plan tangent au coaoide en nu point. — Cherchons le plan tangent au conoïde au point [m, m') de la génératrice [ah, a'b'). Prenons le paraboloïde de raccordement qui a pour plan directeur le plan horizontal, et dont les directrices sont la directrice rectiligne du conoïde et la parallèle au plan vertical de projection tracée du point b' sur le plan tangent en ce point à la sphère. Cette droite se projette verticalement suivant la perpendiculaire h't' au rayon b'o', puisque le plan tangent à la sphère est perpendiculaire à I/o'.

Ce paraboloïde a même plan tangent que le conoïde, au point qui est à l'infini sur a' 6' : c'est le plan horizontal qui contient cette droite. Au point a', il a même plan tangent que le conoïde : c'est le plan vertical mené par a'b'. Au point b', le plan tangent à la sphère est aussi le plan tangent au conoïde ; car le plan tangent au conoïde au point b' est, comme le plan tangent à la sphère, déterminé à la fois par t^b', qui est tangente à la sphère, et par la tangente au poinî b' à la courbe de contact du conoïde et de la sphère.

La projection b't' de la directrice de ce paraboloïde rencontre au point t' la projection de la directrice rectiligne du conoïde, et, comme les génératrices du paraboloïde se projettent verticalement suivant des droites passant par le point ^, il suffit de mener la droite t'rn' pour avoir la génératrice qui contient m'; la projection horizontale de cette droite est la ligne menée par le point m parallèlement à la ligne de terre. Le plan déterminé par cette droite et par «7/ est le plan tangent demandé (').

[ ' ) Paraboloïde osculateur. — La normalie au conoïde, qui a pour directrice la ligne de contact de cette surface avec la sphère, est une normalie développable. Celte ligne de contact est aloi's une ligne de courbure du conoïde.

Pour avoir l'asymptote de l'indicatrice en (b, b'), il suffit de construire une droite du plan tan;;ciit en ce point'à l:i sphère directrice, telle que l'angle, qu'elle

Plantangentauconoïde, parallèle à un plan donné.— Si l'on dcmaniJe de mener au conoïde un plan tangent parallèle à un plan donné, une horjïonlale du plan donné est alors parallèle à la génératrice du conoïde qui contient le point de contact demandé. On mène [jar le point a une parallèle à une horizontale du plan donné, et l'on a la projection horizontale de la génératrice qui contient ce point de contact. De cette projection horizontale, on déduit facilement la projection verticale, puis on achève en employant, comme précédemment, un paraboloïde qui a pour plans directeurs les deux plans de projection.

Génératrices singulières du conoïde, — Ce conoïde possède des génératrices singulières. Prenons la génératrice qui se projette verticalement suivant V i' . Le plan langent au point i' au conoïde est le plan horizontal qui est tangent en ce point à la sphère donnée et il est le même que le plan tangent au point qui est ù l'inlini sur la génératrice V V . Cette génératrice est alors une génératrice singulière.

Le point central est le point V; car, toutes les génératrices du conoïde étant perpendiculaires à la directrice rectiligne donnée, cette directrice est la ligne de striction du conoïde.

Les plans tangents au conoïde aux différents points de l' i' sonl

forme avec la géoéi'at ( h a cette ligne de courbui

On peat effectuer le horizontal; on peut au | I

Prenons sur le plan li tal (

trace de la tangente {l> 1/ ) I

Sur la projection h tal 1:

cette droite et prolong 1 i

o(i elle renconu-e la t 0

La iji'oite qui joint le point û ù 1' jeetion horiioniale de l'asymptote de de l'indicatrice au point (6, fr) ut, de l'indicatrice au point (a, a'), on leur, qui a du reste pour plan dire< e l'asymptote de l'indici

en (û, b-)

{!>,//), >\èii

la sphci-e, 1

diculaire su

alors facile de déterminer la tangente en un point d'ui

émtté du segment ainsi porté est la proidicatrice en 6. On n par suite l'asymptote me la directrice rectiligne est l'asymptote !s deux directrices du paraboloïde osculu- : le plan directeur de la surface. Sachant 1 pour un point quelconque

arbe d'omlire si

confondus avec le pian tangent an point qui est à l'infini sur celte génératrice singulière; le paramètre de distribution des plans tangents est nul. Cela se voit aussi immédiatement en remarquant que la distance, entre la génératrice infiniment voisine de VU et cette droite, est infiniment petite par rapport à l'angle que ces deux droites font entre elles ; car cette distance est égale à la dislance au plan tangent en j' d'un point de la courbe de contact du conoïde et de la splière, infiniment voisin de ï'.

La génératrice du conoïde qui se projette verticalement suivant la droite r' o' est telle, que le plan tangent au point central Z sur cette génératrice est le même qu'au point de contact de cette génératrice avec la sphère. Pour ces deux points, le plan langent est le plan vertical qui projette la génératrice ; les plans tangents aux différents points de cette droite sont confondus avec le plan tangent au point central. On a «ne génératrice singulière pour laquelle le paramètre est infini. On arrive immédiatement à ce dernier résultat en remarquant que, si le point r' s'élève infiniment peu sur la directrice rectiligne, la génératrice tourne d'un angle qui est infiniment petit par rapport au chemin parcouru par/-'.

On trouve donc sur le conoïde des génératrices singulières, les unes déterminées par les plans tangents à la surface directrice, menés parallèlement au plan directeur, les autres par les plans tangjents à la surface directrice, menés par la directrice rectiligne.

On trouve de même des génératrices singulières sur un conoïde quelconque en menant des plans tangents à la surface directrice parallèlement au plan directeur, ou, en menant par la directrice rectiligne des plans tangents à la surface directrice ; dans ces plans tangents, les génératrices du conoïde sont des génératrices singulières de cette surface.

Entre la génératrice singulière du conoïde droit pour laquelle le paramètre est nui et la génératrice singulière pour laquelle le paramètre est infini, on peut trouver sur le conoïde droit une génératrice pour laquelle ie paramètre a une valeur arbitraire ; mais, pour toutes ces génératrices du conoïde droit, le point centrai est à dislance finie, puisqu'il est toujours sur la directrice rectiligne du conoïde. On peut rencontrer sur les surfaces gauches, non seulement de pareilles génératrices, mais des génératrices singulières

pour lesquelles le paramètre peut avoir une valeur qiiel conque, le point central étant à l'infini ('),

Voici un dernier exemple de surface gauche à plan directeur.

Conoide de Plùcher {"-]. — Soient (yî^. ^.5-j)i) et A les projections horizontales de deux horizontales données O', A'. La perpendiculaire commune O à ces droites se projette au point de rencontre o de Del A.

Fis- 237.

Par 0, menons ud plan arbitraire. Le paraboloïde hyperbolique, qui a ce plan pour plan directeiir et dont les directrices sont les deux droites données, a l'une de ses génératrices X' qui est perpendiculaire à ce plan directeur. Cette droite X' est perpendiculaire il toutes les génératrices qu'elle rencontre, et elle est la hgne de striction de ce paralioloïde.

(') Voir le Suppliimcnt à cette Leçon.

(') PmcKKa a trouvé cette surface en étudiant les compJeïes linéaires (JVeiie Géométrie des Baumes, p. 97). Elle joue un grand rùle dans Tlie theory of sci-eivs de R.-S. Bajj., où elle est appelée cylindroïde, du nom que lui a donné M. A. GiTLEï. Voir aussi : F. Ludeuasn, Ueber unendlich kleine Bewegungen uiid iiber Kraftesysteme bei allgemeiner projectiviacker Massbestimmung (Mallt. Aim., VII» Vol., p. 56); Picqoei, sa Communication du 4 novembre i885 à la Société Mathématique de France, et les Notes que j'ai publiées dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 6 novembre iS^iet a février i8Sj.

Lorsqu'on fait tourner aitlour de O le plan menu par celle droite, les droites X' engendrent une surface : c'est !e conoïde de Plùcker. Ainsi :

Le lieu des perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur D', i' est le conoïde de Pliic/cer (').

Le lieu des lignes de striction des paraboloïdes îsoscèles qui contiennent D' et A' est un conoïde de PUicker.

Pour construire les droites X', il suffit de prendre les perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur l'une des directrices, et qui passent par un même point de l'autre.

Prenons, par exemple, comme point fixe le point a' de i'. Parmi les droites menées de ce point, et qui s'appuient sur D', il y en a une perpendiculaire à â'. Cette droite donne A' comme génératrice du conoïde; de même D' appartient au conoïde. Sur une droite quelconque a' U , on a le point c' (le la génératrice X', et les poinis de D' et i'. Cette droite rencontre alors te conoïde en trois points.

Le conoïde dePUicker est donc une surface du troisième degré.

Vnv suite, un plan mené par une génératrice, c'est-à-dire un plan tangent au conoïde, coupe celle surface suivant cette génératrice et une conique.

Je dis que, quel que soit le plan tangent, la projection horizontale de cette conique est une circonférence de cercle.

Prenons le plan déterminé par X'et dU . Appetons C la conique suivant laquelle ÎL coupe le conoïde, et C la projection liorizontalc de cette courbe.

Les points «, h, 0 appartiennent à C; cherclions deux autres points de cette courbe. Par cf', menons une parallèle à D'. La per-

(') Si, piirini les droiles (|iii s'appuient sur D' et A', on prend celles qui i contrent une coiirije ([uelconquc, elles forment une surface réglée qui duniio i â celle propriété :

Si une sur/ace réglée a'deux directrices rectiligites et que l'on prenne perpendiculaires communes à ses génératrices et à la perpendiciUaire ci mane aux deux directrices recliligiies, on obtient des droites qui appartt nent à un conoïde de Pldcker.

D'après cela les perpendiculaires communes à une génératrice d'un ttyp boldide et aux génératrices du même sj/slèiiia appartiennent à un conoïde Plucl:er.

pendiculaire commune à celte droite et à O est la génératrice du conoïde projetée suivant la perpendiculaire oe à D.

Cette droite rencontre en e la trace ae du plan (X', a'b') sur le plan horizontal mené par A'. Le pointe est alors un point deC. De même, au moyen du point b, on obtient le point g.

Il résulte de la construction des points e et ^ qu'ils soDt sur la circonférence circonscrite au triangle oab; donc ; C est une, circonférence de cercle.

Ainsi : un plan tangent au conoïde coupe cette surface siiwant une génératrice et une conique dont la projection sur un plan parallèle aux deux directrices données est une circonférence {').

On peut définir le conoïde au moyen de la directrice O, de la conique C, et d'un plan directeur perpendiculaire à O, Un plan parallèle au plan directeur coupe O en un point par lequel passent deux génératrices du conoïde, donc :

La directrice O est une droite double du conoïde (-).

Reprenons la génératrice X', menons un plan par cette droite el faisons-le tourner autour de X'.

Dans chacune de ses positions, il coupe le conoïde suivant une conique C, dont la projection est une circonférence C; je vais démontrer que :

Toutes ces circonférences C sont tangentes entre elles en o, et que leurs centres sont sur une droite symétrique de X, par rapport à la bissectrice de l'angle (D, A).

Quel que soit le plan sécant mené par X', il coupe D' et A' cha-

(*) La consti'uclion de la trace d'une gûnéralrice qiiclcoiiqQe sur le plan

( X.', a'b') conduit facilement à celte propriété. (') Les plans horizontaux tangents à G' contienneat les giinératrices eMïiimes

rlu conoïde. Il est facile de voir que ; Les généixitrices extrêmes sont perpendiculaires l'une à l'autre; elles sont

à égales distances du point milieu du segjnent de la perpendiculaire commune

à D' et A' limitée à ces droites.

Les gënèi-atrices qui partent d'un même point de O font des angles égaiLx

avec les génératrices extrêmes.

Deux génératrices à égales distances des génératrices extrêmes font respectivement des angles égau/n avec ces droites- La plus courte dislance entre D' et A' est égale à la plus courte distance

entre les génératrices extrêmes multipliées par le sinus de l'angle (D', i').

438 SERONDE PARTIli. — VINGT-NBUVIÈHE LEÇON.

cune en un poinL, cl la droite qui joint les projections de ces points est parallèle à ab; donc les circonférences C, qui sont circonscrites aux triangles tels que oab, sont tangentes entre elles en o.

La tangente en o à ces circonférences fait, avec D, un angle égal à l'angle bao. La ligne des centres fait alors, avec D, un angle complémentaire de celui-ci, c'est-à-dire égal à l'angle (X, A). Par suite, celte droite est la symétrique de X par rapport à la bissectrice de l'angle (D, i).

Dans le cas particulier où les plans sécants sont menés par l'une des directrices, les circonférences correspondantes ont leurs centres sur la projection de l'autre directrice.

Plan tangent. — Sur X', on prend le point m' qui se projetie en m : on demande le plan langent en m' au conoïde.

Par m, faisons passer une circonférence G. Le centre de cette courbe est sur la ligne des centres que nous savons construire, et sur la perpendiculaire élevée à X du milieu de om. Cette circonférence C coupe A au point a : la parallèle at kH. est la projection de la trace du plan tangent demandé sur le plan horizontal mené par A'.

Ce plan est, en effet, le plan mené par X', qui coupe le conoïde suivant C, et il contient la tangente en m' à cette conique.

Autrement. — Élevons au point m la perpendiculaire ma, à X. Décrivons sur oa, une circonférence de cercle. Cette courbe et la projection de la conique, section du conoïde par le plan {m', D'). La tangente en m' à cette conique, qui est dans le plan tangent demandé, se projette suivant la tangente mt à la circonférence ornai- La trace de cette droite sur le plan horizontal mené par A' se projette au point (, oii mt est coupée par la parallèle fl| ï à D, parallèle qui est la trace du plan sécant sur le plan horizontal (A').

Il suffit maintenant de mener du point l la parallèle to à X pour avoir la trace du plan tangent demandé sur le plan horizontal (A'). On trouve une consti-uction analogue en employant b,. Paraboloïde oscillateur. — La conique G' est l'intersection du conoïde par son plan tangent en m'. La tangente en m' à G' est alors une asymptote de l'indicatrice du conoïde en m'. Le lieu des tangentes analogues à celle-ci, lorsqu'on fait tourner le plan se-

SURFACES fiAUCIlES. 439

cant autour de X', est le paraboloïde osculaleiir du conoïde par la génératrice X'.

Sur le plan horizontal (i'), k trace de ce paraboloïde est la droite op (').

Surface ganche définie par deux courbes directrices et un cône directeur. — Une surface gauche est définie par deux courbes directrices et son cône directeur. Pour construire une génératrice de la surface, celle qui passe, par exemple, par le point a de l'une des courbes directrices, on Iransporle le cône directeur de façon à lui donner pour sommet le point a; il est coupé par l'autre courbe directrice en un certain nombre de points; les droites qui joignent ces points au point a sont des génératrices de la surface. Si, pour l'une de ces droites ab, on demande le plan tangent au point m, on emploie un paraboloïde de raccordement qui a pour plan directeur le plan tangent au c6ne directeur le long de ab et les mêmes plans tangents que la surface aux points a et b.

Cas particulier où le cône directeur est de rérolntion. — Examinons en particulier le cas où le cône directeur est de révolution. Prenons comme plan horizontal (Jig- 238) un plan perpendiculaire à l'axe de ce cône de révolution. Pour une génératrice quelconque de la surface, le plan central, étant parallèle à un plan méridien du cône, est un plan vertical. Le plan central de la surface gauche pour une génératrice ab est l'un des plans directeurs du paraboloïde des normales à cette surface pour cette génératrice. Les génératrices de ce paraboloïde, qui ne sont pas parallèles au plan central, c'est-à-dire les normales de la surface gauche, se projettent alors horizontalement suivant des droites qui passent par un même point. On connaît le plan tangent à la surface réglée au point «, où ab rencontre l'une des directrices données, et la normale en ce point à cette surface ; de même au point b. Le point de

{ • ) On connait les asymptotes de l'indicatrice en m'. Les bissectriees des angles ximpris entre ces droites donnent les axes de cette indicatrice.

Par suile, on a les plans des sections principales du conoïde en m'. Les points o(i ces plans touchent le paraboloïde des normales au conoïde relatif à X' sont les centres de courbure principaux du conoïde pour ni'.

Il est alors facile de construire ces centres de courliure principaux.

4iO SECOMPE PiBriE. — VlNC.T-^EUVEKJIE LEÇON.

rencontre c des projections horizontales de ces deux normales esf le point par lequel passent les projections horizontales des normales à la surface réglée pour les différents points de la génératrice ab. Par suite, pour un point {m, m'), la normale à la surface se projette horizontalement suivant la droite cm, et la, trace du plan tangent en m sur le plan horizontal (H') est la perpendiculaire abaissée sur cm de la trace (, sur ce plan, de la génératrice «i.

On peut encore arriver à ce résultat de la manière suivante.

Supposons que la génératrice ab soit liée invariablement à un ])lan horizontal. On peut faire glisser ce plan horizontal sur luimême, de façon que la génératrice qui lui est liée se déplace en rencontrant constamment les deux directrices données. Pour un déplacement infiniment petit de «6, ainsi lié à ce plan horizonial, le point a décrit une trajectoire parallèle au plan horizontal et pour laquelle le plan normal est le plan vertical projeté suivant ac. De même pour le point b, le plan normal à la trajectoire de ce point se projette suivant ôc; le point c est alors la projection horizontale de l'ase instantané de rotation relatif a» déplacement infiniment petit de ab. Pour un point quelconque m de ab, la trajectoire de ce point a pour plan normal le plan vertical me; ce plan vertical contient la normale à la surface réglée, et, par suite, la trace du plan langent en m à celte surface sur (H') est la perpendiculaire abaissée du point t sur la droite me.

Celte construclion n'est autre que celle à laquelle nous étions arrivés pour l'hélicoïde réglé, et l'on voit ainsi que, si, pour l'hé-

licoïde réglé, la construction du pian tangent en un point d'une génératrice s'obtient simplement, c'est parce que le cûne directeiir de celte surface est un c6ne de révolution.

Surface gauche définie par trois courbes directrices. — EnlSn, supposons cpie la surface gauche soit définie par trois courbes directrices {fig. 239). Pour la génératrice abc qui rencontre les directrices données aux points c(, b et c, nous connaissons les plans

tangents à la surface en ces points : ce sont les plans déterminés par la génératrice et par les tangentes aux courbes directrices aux points «, b, c- En traçant respectivement par a, b, c des droites A, B, G dans ces plans tangents, nous avons les directrices d'un liyperboioïdc de raccordement à la surface.

Afin, de déterminer le plan langent à la surface gauche au point m de la génératrice abc, nous n'avons qu'à construire le plan tangent en ce point m à cet byperboloïde de raccordement. Pour cela, menons deux génératrices Gj, Gj de cet hyperboloïde du même système que la génératrice abc. La droite partant du point m et qui rencontre G, et Gj est la génératrice de l'hyperboloïde du même ^iystème que A, B, C. Cette droite et la génératrice abc déterminent le plan langent demandé.

Inversement, si par la génératrice abc on mène un plan quelconque, on obtient le point où ce plan louche la surface réglée en ])renant le point de renconli'e de la génératrice abc avec la droite .suivant laquelle ce plan coupe l'hyperboloïde de raccordement.

La droite d'intersection de ce plan et de l'hyperboloïde n'est autre que la droite qui joint les traces de G, et de Gj sur le plan donné mené par abc. On a donc facilement le point de contact de ce plan avec îa surface réglée.

Il est clair que, pour les tracés, on doit choisir convcnablemenL les génératrices auxiliaires G,, G^. Dans la Leçon suivante, nous verrons que l'on peut, par un choix convenable de ces génératrices, arriver à des traces très simples.