SUPPLÉMENT A LA VINGT-NEUVIÈME LEÇON

Génératrices singulières de surfaces gauches. — Prenons {fig. i(}fi) une surface gaucho qui a pour plan directeur le plan veitical de pro-

Fig. ajo. ^1

Fi g. ï4o,.

l'ig- 240.- "^

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Fig' ^Of "

jection et qui est définie au moven de dou'c directrices horizontales rfa', eb' . Soit de une génératrice verticale de la surface. Supposons que les deux directrices soient deuv courbes quelconques ; elles se pro-

jcLLent liorizontalenient {fig. 34oi), suivant les deux lignes oit, ob qui passent par le point o.

Puisque le plan vertical est le plan directeur de la sui-face, nous obtenons une génératrice en menant un plan pab parallèle à ce plan vertical ; le point a est la projection horizontale du point a' , le point b du point b' , et la génératrice de la surface qui est dans ce plan vertical est la droite a'b'. Cette projection a' b' rencontre la projection de la génératrice verticale o en un point c, et, lorsque a' b' est une génératrice infiniment voisine de la verticale o, le point c est le point central sur cette verticale.

Calculons la distance cd. Appelons h la dislance verticale qvii sépart; les plans des deus directrices horizontales.

On a

Le paramètre de distribution k des plans tangents pour la génératrice verticale est égal à la plus courte distance op divisée par la tangente de l'angle n compris entre les deux génératrices; mais

ah

i" Les doux courbes oa et ob {Jig. 34oi) se coupent sous un certain angle : op, ap et ab sont des infiniment petits du même ordre. Alors ^ est un rapport fini; il en est de même de -A-- Par conséquent, la distance cd donnée par la relation (i), c'est-à-dire la distance du point d au point central, est une dislance finie, et le paramètre donné par (a) est fini. Nous sommes dans le cas d'une génératrice ordinaire d'une surface gauche.

a" Les courbes se projettent horizontalement {fig. a^Oa) suivant des lignes tangentes entre elles au point o, alors ab est infiniment petit par rapport à op et par rapport k ap; la distance cd donnée par (i) est infinie, et le paramètre de distribution donné par l'expression (a) est infini. Les plans tangents aux différents points de la génératrice sont confondus avec le plan langent qui a pour trace horizontale la

tangente commune aux projections des deux lignes directrices. 11 faut remarquer que ce plan tangent unique n'est ni parallèle au plan directeur ni confondu avec le plan central.

3° La tangente aux projections horizontales des deux directrices est la droite op {fig- 2403), alors ap et ab sont des infiniment petits fin même ordre et sont infiniment pelits par rapport à op. La distance cd est finie, et le paramètre est infini. Nous avons là encore une génératrice singulière; mais, dans ce cas, le plan tangent aux différents points de la génératrice est confondu avec le plan central.

4° Les projections horizontales des directrices sont (fig. 2401) tangentes entre elles à la parallèle à la ligne de terre menée par le point o ; np est alors infiniment petit par rapport à œp et à ab; la distance cd est une distance finie, el le paramètre est nul. Nous avons une génératrice singulière pour laquelle le point central est à distance finie; les plans tangents aux différents points de la génératrice sont confondus avec le plan tangent au point qui est à l'infini sur celte droite.

5" Les courbes directrices se projettent {fig. a40i) suivant des lignes osculatrices entre elles en o, leur tangente en ce point étant toujours la parallèle à la ligne de terre menée par o; o/» et ab sont maintenant infiniment petits du second ordre. La distance crf est alorr; infinie, et le paramètre est fini; le plan tangent, aux différents points de la génératrice qui sont à dislance finie, est confondu avec le plan parallèle au plan directeur.

6" Les courbes {fig- il^o^) sont tangentes entre elles à la parallèle à la ligne de terre menée par le point 0; elles sont osculatrices entre elles, en ce point, lequel est un point d'inflexion sur ces courbes. (On conçoit la possibUité d'arriver à de pareilles courbes en prenant deux courbes gauches osculatrices et en projetant ces deux courbes sur un plan perpendiculaire à leur plan osculaleur commun. Les projections de ces courbes présentent un point d'inflexion, et en ce point ces projections sont des courbes osculatrices.) Ici op est un infiniment petit du troisième ordre et ab du deuxième. La distance crf est alors infinie, et le paramètre est nul.

Les différentes données que nous venons d'examiner sont au nombre de six; pour trois d'entre elles, le point central étant à distance finie, le paramètre présente toutes les valeuis depuis zéro jusqu'à l'infini; puis, pour les trois autres, le point central étant à l'infini, le paramètre présente aussi toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'infini.

TRENTIEME LEÇON.

SURFACES GAUCHES (suetb). — PROBLÈMES KELATIFS AUX SURFACES GAUCHES (al'pl, de gÉoat. cenëm.)-

Suïface gauche diifinie par Iroîs courbes directrices ; Biais passé gauche. — Cûnc directeur. — Plan tangent eu un point ■ différentes solutions — Génératrices singulières.— Pjy)6/e)nei i elati/s aux 3Ui faces gaucltes { appl de Géom. ciném.). — Surfaces réglées engendrées pendant le déplacement d une figure de forme invariable. — Diedru mobde — Dioite mobile dont quatre points restent sur quatre surfaces données — ConstiuutLon de la tangente à la courbe de contact de la surface engendiee par une droite, tjngente à trois surfaces directrices, avec l'une de ces surfaces — Lieu des droites liées i une figure, dont les déplacements sont assujettis i quatre conditions Lt qui i p 1 1 de leurs iio5ilions primitives, nciigeniUent pas de pmceauv

SippLÉMENT. — Applications de Géométrie cinématique. — Déplacement d'un dièdre de grandeur invariable dont l'arête est tangente à deux surfaces données et les faces tangentes à ces mêmes surfaces. — Hyperboloïde osculateur le lon^ d'une génératrice d'une surface réglée définie par trois courbes ou surfaces directrices. — Construire S'hyperboloVde osculateur d'une normalie. — Sur les trajectoires des points d'une droite mobile.

Surface gauche définie par trois courbes directrices : biais passé gauche. — Comme exemple de surface gauche définie par trois courbes directrices, nous allons prendre une surface que l'on rencontre dans le Cours de Stéréotomie et qu'on appelle biais passé gauche. Les trois directrices de celte surface sont deux circonférences égales, dont les plans sont parallèles, et la perpendiculaire aux plans de ces circonférences qui passe parle milieu du segment de droite compris entre les centres de ces courbes.

Prenons {Jig- a^i) le plan vertical de projection parallèle aux plans des circonférences directrices C,, Cs et le plan horizontal parallèle au pian (H') perpendiculaire à celui-ci et mené par la ligne

des ceiïtves de C, el de Cj. Les cifconférences se projettent verticalement suivant les circonférences égales C\ , C'^ , et la directrice D a pour projection verticale le point o' qui est à égales distances des centres des circonférences. Les génératrices de la surface gauche se projettent verticalement suivant des droites qui passent par o', puisqu'elles rencontrent toutes la directrice D.

Soit a'b'c'd' l'une de ces génératrices; les quatre points «', b', c', d' se projettent horizontalement en a, l>, c, d. Comme le point o' est à égales distances des centres des deux circonl'ére

les points a el b sont à égales distances de la projection horiKOnlale de D; il en est de même des points c et d. En joignant deux à deux les quatre points a, b, c, d, on obtient un parallélogramme et ses diagonales; le point de rencontre o de ces diagonales est sur la directrice rectiligne D et sur la droite qui joint les centres des deux circonférences.

Une droite telle que a'b', qui passe par o', correspond à quatre droites qui rencontrent les trois directrices données. Mais parmi CCS droites il j rn a loujours deux qui pussenl par le même point o;

l'ensemble de ces dernières droites forme un cAne ayant pour sommet ce point o et pour directrices les circonférenees données. Le biais passé gauche est la surface engendrée par les deux autres droites telles que ad, bc.

Par le point o menons ol parallèlement à ad et bc\ le point l est alors le milieu de bd. En projetant le point l en V sur la droite o'b', on obtient le point V qui est le milieu de b'd'. Pour une génératrice quelconque du biais passé, on a un point tel que /'. Le lieu de ces points est une circonférence de cercle qui passe par le centre de C, ; cette circonférence n'est autre que la trace du cône directeur de la surface sur le plan de cette circonférence directrice.

Cône directeur. — On voit ainsi qu'en plaçant en o ie sommet du cône directeur du biais passé gauche, ce cône a pour trace, sur le plan de G) ou de C;., une circonférence de cercle.

Plan tangent en un point. ^ Prenons un point {m, m') sur la génératrice {bc, b'c') et proposons-nous de construire le plan langent en ce point au biais passé gauche. Nous allons employer un hjperboloïde de raccordement à celte surface le long de la génératrice bc. Menons au point c' une tangente à C'^; cette tangente se projette horizontalement sur le segment de droite Cj suivant lequel se projette cette circonférence; de même, menons au point b' une tangente à C',. Les projections verticales de ces tangentes se rencontrent en un point e' qui est sur le prolongement de D. Cela résulte de la situation de la directrice rectilîgne par rapport aux circonférences directrices qui ont des rayons égaux.

L'iiyperboloïde de raccordement que nous allons employer a pour directrices les tangentes en c', b' aux deux circonférences directrices du biais passé et la directrice rectiligne D de cette surface.

Pour construire le plan tangent au point (m, m'), on doit chercher une génératrice de cet hyperboloïde qui rencontre deux droites de cette surface du même système que bc. Prenons pour l'une de ces droites la trace de l' hyperboloïde sur le plan hori- Mntal (H'), qui contient déjà la directrice rectiligne D. Cette trace s'obtient en joignant par nne droite les traces sur ce plan

(les Langentes ans circonférences directrices, tangentes qui =0iU les directrices de l'hjperboloïde.

La perpendiculaire e' au plan vertical rencontre les directrices de l'hyperboloïde projetées suivant eV, e'b' et la droite D à laquelle elle est parallèle. Celte perpendiculaire au plan vertical est donc aussi une droite de l'hyperboloïde du même système que la génératrice qui contient le point m. En joignant le point e' au point ?»', on a la projection verticale d'une génératrice de cet hyperboloïde, et, comme la trace de celte droite sur (H') doit être sur la trace de l'hyperboloïde sur le même plan, cette trace est au point t. En joignant le point m au point (, on a alors la projection horizontale de la ligne e' m' . Les droites mt el m'i' sont les projections d'une droite qui, avec la génératrice de l'hyperboloïde, définissent le plan tangent demandé. La trace sur (H') de ce plan tangent est la droite rt.

Autres solutions pour déterminer le plan tangent. — Le plan tangent en un point d'une génératrice d'une surface gauche est le plan déterminé par celte génératrice el par une tangente menée par ce point à la surface. On a alors facilement le plan tangent, après avoir construit en (m, m') la tangente à une courbe tracée sur le bisls passé.

Or il est très aisé de construire la tangente à !a section faite dans le biais passé par un plan mené par le point (»î, m') parallèlement au plan vertical de projection.

Ce plan sécant étant parallèle aux plans des courbes directrices détermine avec les circonférences 0,, Gj trois plans qui partagent toutes les génératrices de la surface en segments proportionnels ; ces segments se projettent sur le plan vertical de projection suivant des segments dont le rapport est égal au rapport dans lequel se trouvent partagés les segments des génératrices dans l'espace. Pour une génératrice quelconque de la surface, les segments tels que c'm' , in'b' sont donc dans un rapport constant.

Sur le plan vertical de projection, la courbe lieu des points tels que m' partage alors dans un rapport constant les segments interceptés par C|, Cj sur des droites relies que c'V, qui passent constamment par le point o'.

Nous savons construire la normale à la courbe lieu des points

lels que m'. Pour déiermmer cetLe droite, élevons au point o' {fig- 242)0 une perpendiculaire à o'in'\ menons au point c' la normale à C',; elle rencontre en un point y 1^ perpendiculaire que nous venons de mener; traçons de mfimc la normale an point // à

C'jî elle rencontre la perpendiculaire o'y an point ^ : la normale demandée passe par le point |a, qui partage le segment yf! de

façon que -Ht =^ — tt: ■

• ^ [iji m b

Pour déterminer le point ij., il suffit de prendre le point de rencontre e des droites c'~{, b'^ et d'abaisser de ce point e une perpendiculaire sur la droite ém' ' cette perpendiculaire coupe o'y au point [*, En effet, les triangles b'c^^, ^ys sont semblables, puisqu'ils ont leurs côtés respectivement perpendiculaires; en abaissant du point s une perpendiculaire sur ém', on a l'homolog:ue de cette droite ; elle partage le côté yp comme le point m'' partage le côté c'b'. Ky-AXil le point ji, on a la normale m'jji, et la perpendiculaire à cette droite menée par le point m! est une droite de front du plan tangent demandé.

Nous venons de déterminer le plan tangent en construisant la tangente en m' à la section faite dans le biais passé par un plan mené par ce. point parallèlement au plan vertical de projection et

ONous compliquer

en donnant de cette section plane une certaine définition. Nous allons montrer que la projection verticale de cette section plane peut être engendrée d'une autre façon ('). Il en résulte une construction de la normale à la projection verticale de cette courbe et une autre construction du plan tangent.

Le plan sécant mené par le point m rencontre (Jîg- 241) la génératrice ol du cône directeur au point (c, i''); ce point appartient à la trace du cône directeur sur ce plan. Cette trace est une circonférence de cercle qui se projette verticalement suivant une circonférence tangente au point o' à la projection verticale de la circonférence lieu des points tels que l'.

Puisque la droite ol est parallèle à la génératrice bin, on a

hm = ol et, par suite,

/ym'=o-l-.

On obtient donc la projection verticale de la section plane en portant sur des droites partant du point fixe o' et à partir des points où elles rencontrent C, des segments tels que b'm', égaux aux segments tels que cY, interceptés par deux circonférences fixes.

II résiilte de là un moyen de construire la normale en ?n' à la

courbe ainsi obtenue. Élevons (fig. 243) (^) au point o' une perpendiculaire à o'I/ ; appelons i' le point milieu du segment t^Z»'. Le

( ') Traité de Géométrie descriptive de M. 1 ('] IS0U5 avons fait une figure partie Lilière p(

lE, II" Partie, p.

mpliquerla/o-.

yGoosle

point i' est aussi le milieu du segment l'm', puisque nous supposons que le segment Um' est égal à v' V. La normale au point c', à la circonférence qui contient ce point, rencontre au point i la perpendiculaire à la droite o'V que nous venons de mener par le point o' . La normale au point i' à la circonférence directrice donne le point 2 sur cette perpendiculaire ; la normale au point /' à la trace du cône directeur donne le point 4! enfin la normale clierchée vient donner le point [jl sur o' 1.

Puisquelepoint i' est lemiiieudec'ô', le seg-ment 1-3 est égal au

segment 3-2.

Puisque le point (' est le milieu du segment i' m' , le segment 4-3 est égal au segment 3-[a.

llrésultede là que le segment 2-[A est égal au segment i-4,et que, par conséquent, il est aussi facile de construire le point yqu'il a été facile de déterminer le point m' sur la droite o'b' . Connaissant la droite m')>., il suffit d'élever une perpendiculaire à cette droite pour avoir une droite de front du plan tangent demandé : ce plan est donc déterminé.

s singnlières. — H J » sur le biais passé gaucbe des génératrices singulières. Telles sont les génératrices situées dans le plan horizontal (H') ; elles rencontrent la directrice rectiligne {fèg- 24') aux points s. II. Ces génératrices rencontrent les circonférences directrices en des points pour lesquels les plans tangents sont verticaux et confondus. Le plan tangent est unique tout le long de ces génératrices; il est différent aux points s et u, qui sont les points centraux sur ces génératrices.

On a encore des génératrices singulières en prenant les génératrices qui se projettent verticalement suivant les droites menées par le point o' tangentiellement aux projections verticales des circonférences directrices ; aux points où ces droites rencontrent ces circonférences directrices, on a, pour chacune de ces droites, un même plan tangent.