PROBLEMES RELATIFS AUX SUBFACES GAUCHES

Surfaces réglées engendrées pendant le déplacement d'une figure de forme invariahle ('). — Nous allons considérer maioLeriHiii. les surfaces réglées engendrées par des droites faisant partie de iîgures mobiles de forme invariable.

Quatre plans (A), (B), (G), (E), liés iin'ariablement, se coupent suivant une droite D ; chacun de ces plans est tangent à une surface donnée. Lorsqu'on déplace ce faisceau de plans de façon que ces quatre plans restent respectivement tangents aux surfaces données, la droite D engendre une surface (D). Nous nous proposons de construire le plan tangent à (D ) pour un point de la droite D.

Soit a {fig- a44) 1^ point de contact du plan (A) avec l'une des

Fis- '45-

surfaces dlrecl.riccs données. Lorsc[u'on déplace la figure de forme invariable, le plan (A) a une caractéristique qui passe par le point a; mais la caractéristique d'un plan qui passe par une droite D est la projection de l'adjointe au plan perpendiculaire à cette droite; la normale A au point « à la surface directrice donnée doit donc rencontrer cette adjointe.

(') Étude sur le déplacement {toc. cit., et Comptes rendus des séances de l'Académie rfes Sciences, 6 et i3 juin 1870, 3 et 10 mars iS^S). Ces deux dernières Communications ont été reproduites dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t, I, p. 106. Dons le même volume, page tii, on trouve une intéressante Note de M. Halphen, Sur le mouvement d'une droite.

PROBLÈSIES RELATirS A IT S SURFACES GAUCHES, 453

Ce que nous venons de dire pour t'un des plans, on peut le répéter pour les trois autres; on voit donc que, en menant aux surfaces directrices données des normales issues des points où ces surfaces sont touchées par les quatre plans (A), (B), (C), (E), on obtient quatre droites qui doivent rencontrer l'adjointe au plan perpendiculaire à D. Ces quatre droites A, B, C, E sont parallèles à un plan perpendiculaire à D; par suite elles rencontrent la droite à l'infini sur ce plan, II n'y a alors qu'une seule droite à dislance finie qui rencontre A, B, C, E, et cette droite L est l'adjointe demandée.

Construisons L. Considérons le paraboloïde qui a pour directrices les normales Â, B, C. Coupons ce paraboloïde par le plan mené, par la normale E, perpendiculairement à la droite D, c'està-dire par un plan parallèle à l'un des plans directeurs de ce paraboloïde ; la section est une droite G, qui rencontre E en un point g : la génératrice du paraboloïde (A, B, C), qui passe par le point g, est la droite L qu'il s'agissait de construire,

La droite L, adjointe au plan perpendiculaire à D, est, comme on le sait, une droite qui appartient au paraboloïde des normales de la surface (D) engendrée parD; on obtient donc le plan tangent en un point quelconque m de D à la surface (D) de la manière suivante ." on mène par m un plan perpendiculaire à D, ce plan rencontre L en un point jj., la droite m,<^ est la génératrice du paraboloïde des normales, et, par conséquent, c'est la normale au point m à (D)-, le plan langent demandé lui est perpendiculaire.

On peut encore dire que ce plan tangent est le plan mené parD perpendiculairement au plan déterminé par le point m et par la droite L.

Au moyen de la droite L, on obtient la caractéristique de l'un quelconque des quatre plans du faisceau mobile en projetant cette droite L sur ce plan.

On peut remarquer que ce paraboloïde des normales à la surface (D) par la droite D est déterminé; par conséquent, cette droite engendre un élément de surface réglée, quoique les conditions qui définissent le déplacement de la figure de forme invariable ne soient qu'au nombre de quatre seulement, et que, en générai, dans ces circonstances, les points admettent des surfaces Irajoctoires et les droites engendrent des pinceauii. Dans une

figure de forme invariable, dont les déplacements sont assujettis à quatre conditions, il y a une infinité de droites, telles que D ( ' )• Prenons {fig- a45) le cas particulier où l'on n'a plus que deux plans assujettis à rester tangents à une sur/ace donnée, la droite D étant en outre assujettie à toucher deux autres surfaces données. Des points de contact a ni b des deux plnns avec

la surface directrice, menons des normales à cette surface; des points, oij la droite D touche les autres surfaces directrices, menons les normales C, E à ces surfaces. L'adjointe au plan perpendiculaire à D rencontre A etB, comme nous l'avons montré, et, comme cette droite appartient au paraboloïde des normales de la surface (D) engendrée par D, elle rencontre aussi C et E; elle doit donc rencontrer A, B, C, E. On la détermine comme nous venons de le dire et, lorsqu'elle est construite, on achève comme précédemment pour déterminer soit le plan tangent en un point quelconque m de £>, soit la caractéristique de l'une des faces du dièdre mobile.

Supposons {Jîg. 246) que l'angle du dièdre formé par les plans {A)et(B) diffère infiniment peu de deux angles droits; alors a et b sont infiniment voisins de D, et la droite qui joint ces deux points est la tangente conjuguée de D par rapport à la surface directrice à laquelle la droite D est maintenant tangente. Cette droite est toujours assujettie, en outre, à toucher deux autres surfaces directrices données. En définitive, la droite D doit rester maintenant tangente à trois sur/aces direetrices, et un plan (A) mené par cette droite reste tangent à l'une de ces surfaces successivement aux points de contact de D avec cette surface.

{') Voir à la fin de

l'UOUI.KMES BRLATirS AU\ SURFACES GAUCHES, 455

Le paraboloïde employé pour déterminer la droite L, adjointe au plan perpendiculaire à D, est le paraboloïde des trois droites A, B, C. Mais A et B sont deux droites infiniment voisines ; ce paraboloïde est donc le paraboloïde qui est mené par G et qui se raccorde avec la normalie ayant pour directrice une courbe passant par les points a et b.

Ce paraboloïde de raccordement a pour plans tangents , aux

Fig. 246.

centres de courbure principaux yi 6t y, situés sur la normale A, les plans des sections principales de la surface directrice. Les directrices de ce paraboloïde sont les droites qui joignent les points Yi, Ya aux points de rencontre de la droite C avec ces plans des sections principales. Ce paraboloïde est déterminé par ces deux droites et par son plan directeur, qui est toujours le plan perpendiculaire à D.

En prenant le point de rencontre g de la droite E avec ce paraboloïde, la génératrice L qui passe par g est l'adjointe à l'aide de laquelle on construit, comme précédemment, le plan tangent en un point quelconque m de la droite D.

En projetant L sur le plan (A) tangent en « à la surface directrice donnée, on obtient la caractéristique de ce plan mobile. Comme cette droite est conjuguée de la tangente à la ligne de contact de (D) avec la surface directrice, il suffit de prendre la tangente conjuguée de cette projection de l'adjointe h pour avoir, au point a, la tangente à la courbe de contact de la surface réglée (D) avec la surface directrice à laquelle le plan (A) reste tangent.

Dièdre mobile. — La propriété de l'adjointe au plan perpendiculaire à D de se projeter sur les faces d'un dièdre de forme inva-

riable, qui a pour arête cette droite, suivant les caractéristiques de ces faces, montre comment on construit celte adjointe lorsque l'on donne les caractéristiques des faces d'un dièdre mobile. 11 suffit de mener suivant les caractéristiques des faces de ce dièdre des plans normaux à ces faces; leur intersection est l'adjoinle cherchée. Au mojen de celte adjointe, on construit, comme précédemment, les plans tangents à la surface réglée engendrée par l'arête du dièdre. Par exemple, nous avons déjà dit que, lorsqu'un dièdre droit se déplace de manière que ses faces contiennent deux droites, l'arête du dièdre engendre on hyperboloïde ; la remarque que nous venons de faire permet donc de construire les plans tangents à un pareil lijperboloïde.

Puisque la droite L appartient au paraboloïde des normales engendré par l'aréle du dièdre mobile, on peut la prendre comme droite conjuguée de cette arête; ou voit alors que le déplacement de ce dièdre mobile peut être obtenu au moyen d'une simple rotation autour de cette adjointe.

Dans le cas particulier où la caractéristique d'une des faces du dièdre mobile est perpendiculaire à la génératrice D de la surface gauche (D), l'adjointe L est à l'infini et ne peut pas être prise comme axe de rotation permettant le déplacement du dièdre; le déplacement autour de cet axe à l'infini est une simple translation dans la direction de D, ce qui ne déplace pas le dièdre.

On voit également que, dans ce cas particulier, la caractéristique de l'autre face est aussi perpendiculaire « D et que ces deux caractéristiques ne rencontrent pas D au même point ('). Si (D) est une surface développable, les caractéristiques des faces du dièdre rencontrent D au même point; elles peuvent être l'une et l'autre perpendiculaires à D et le déplacement du dièdre peut s'effectuer au moyen d'une rotation infiniment petite.

Droite mobile dont quatre points restent sur quatre surfaces données. — Nous venons de considérer le déplacement d'une droite indc-

(') Voir mes Notes suivantes ; Sur le déplacement infirtiment petit d'un dièdre de grandeur invariable {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, ii juin 1877); Nouvelle démonstration d'an théorème relatif au déplacement infiniment petit d'un dièdre, et nouvelle application de ce théorème {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI. p. 5); Démonstrations géométriques d'un titeorème relatif aux surfaces réglées {Id., p. 7 ).

pcndaminent de ses poinls ; examinons le cas où la droite mobile se déplace de façon que quatre de ses points «, b, c, e {fig- 24?) restent sur quatre surfaces données.

On ne connaît pas les trajectoires décrites par les quatre poinls a, b, c, e, mais on sait que le plan normal à la trajectoire décrite par le point a contient la conjuguée A de la droite D; la normale A à la surface sur laquelle reste le point a rencontre donc la conju-

guée de D, Il en est de même des normales aux trois autres surfaces directrices élevées respectivement des points b,c,e\ donc la conjuguée de D est la droite i qui rencontre les quatre normales A, B, C, E aux surfaces directrices.

11 n'y a qu'une seule droite rencontrant A, B, C, E, puisque D rencontre déjà ces quatre droites. Pour construire A, coupons l'Iiyperboloïde, défini par A, B, Cj par le plan (D, E), qui le rencontre suivant la droite D; alors la section est «ne droite H. Cette droite rencontre E en un point h, et la génératrice de l'hyperboloïde qui passe par h est la droite A. Connaissant A, on obtient tout de suite la tangente à la trajectoire d'un point quelconque m de D : c'est la perpendiculaire élevée de ce point au plan (m, A). On a aussi le plan tangent en ce point à la surface engendrée par D : c'est le plan mené par D perpendiculairement au plan (,»,A).

Supposons, comme cas particulier, que les points a et b soient sur une même surface, et que la droite mobile soit en outre assujettie à toucher deux autres surfaces données.

Les normales élevées des points a et 6 {fig- 248) à la surface sur laquelle restent ces points rencontrent la conjuguée de D, et, comme cette conjiiguée appartient an paraboloïde des normales à la surface eng^endrée par cette droitCj elle rencontre aussi les normales C et E aux deux autres surfaces directrices; A est alors

déterminé, comme précédemment, au moyen de quatre droiles A, B, C, E.

Si les points a et 6 sont infiniment voisins, la droite D est tangente à trois surfaces directrices, et le pointa décrit sur la surface directrice [a\ la courbe de contact de cette surface et de la surface réglée engendrée par D. Dans ce cas, l'hyperboloïde défini par A, B, C est l'hyperboloïde mené par C, et qui est de raccordement avec l'élément de nonnalie qui contient A et B. Aux centres de courbure prlncipau;; -f, et j.^, les plans tangents à cette normalic

senties plans des sections principales de la surface [ci]. Les trois directrices de cet liyperboloïde sont alors D ei les droites partant des points y, , y^ et aboutissant aux points où la droite C rencontre les plans des sections principales de [«], Cet hyperboloïde de raccordement étant défini au moyen de ces trois droites, on sait construire, comme précédemment, la génératrice de cet liyperboloïde qui rencontre E, et obtenir ainsi la droite A. Connaissant A, on peut déterminer la tangente à la trajectoire! du point a, ce qui donne une autre solution de cette question, précédemment résolue : Une droite tangente à trois sur/aces directrices engendre une surface réglée; construire la tangente à la courbe de contact de cette surface avec l'une des surfaces directrices.

Les points a et 6 peuvent être confondus sans que les surfaces directrices de ces points soient confondues. Les points a el b confondus décrivent alors la ligne d'intersection(rt) des surfaces directrices; par suite, la droite D est assujettie à avoir un point a sur une courbe (n) pendant que les points c, e restent sur des surfaces données. La solution, dans ce cas, est très simple : la droite conjuguée est dans le plan normal en C! à la trajectoire (a) de ce point, et elle rencontre C, E;par conséquent, c'est la droite

rnOBLÈMISS RELATIFS AUX SUIIFACES GlUCHES. i^l)

qui joint les traces des normales C, E sur le plan normal en o à la trajectoire (a).

Enfin, dans le cas où la droite est assujettie à avoir deux de ses points sur deux courbes données, la droite A est l'intersection des plans normaux menés en ces points aux trajectoires données de ces points.

Droites liées à une figure dont les déplacements sout assujettis à quatre conditions et qui, à partir de leurs positions primitives, n'engendrent pas de pinceaux. — Il reste maintenant à revenir sur ce que nous avons annoncé relativement aux droites qui engendrent des éléments de surfaces réglées pour tous les déplacements d'une figure assujettie à quatre conditions seulement.

Considérons un pareil déplacement dans le cas où il y a deu\ axes simultanés °de rotation D et A. Appelons X une droite qui, pour tous les déplacements de la figure, engendre le même élément de surface réglée. Un point de cette droite a pour surface trajectoire, autour de sa position, la surface engendrée par X, et la normale à cette surface est la droite issue de ce point, qui rencontre D et A. Les normales aux surfaces trajectoires des points de X forment alors le paraboloïde des normales à l'élément de surface réglée engendré par X. La droite X doit, par conséquent, déterminer avec D et A un paraboloïde dont un plan directeur lui est perpendiculaire; X doit alors rencontrer à angle droit la perpendiculaire O commune à D et à A.

Prenons une droite qui s'appuie sur D et A, et menons la perpendiculaire commune X à cette droite et à O. Cette droite S, qui est bien déterminée, remplit les conditions dont nous venons de parler. On a alors toutes les droites telles que X en prenant les perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur D et A. Les droites X sont donc les génératrices du conoïde de Plilcker que nous avons étudié précédemment ( ' ).

;■) En faisiint usage d'une propri^lé énoncée au bas de la page 3Gi. On peut •e ; Lorsqu'une figure de/orme iiwariable n'est assujettie gu'à quatre condins, les axes de tous les déplacements qi/on peut lui imprimer, à partir une de ses positions, sont les génératrices d'un conoide de PlUcker.