SUPPLÉMENT A LA TRENTIÈME LEÇON

APPLICATIONS DE G liO MÉTIUE CINEMATIQUE.

Dièdre mobile dont l'arête reste tangente à deux surfaces données et dont les faces restent tangentes à ces mêmes surfaces. — En considérant d'abord le déplacement d'un. dièdre dont les faces sont tangentes il une même surface, puisen supposant quece dièdre diffère infiniment |)eu de deux, angles droits, nous avons trouvé, dans cette Leçon, une |)i-opriété relative à l'adjointe à un plan perpendiculaire à l'arête de ce dièdre. Cette propriété peut être énoncée ainsi :

Lorsqu'un plan contenant une droite se déplace de telle façon qu'il reste, ainsi que la droite, tangent à une surface, l'adjointe à lin plan perpendiculaire à cette droite est tangente à une normalie à la surface donnée, qui apour directrice une courbe dont la tangente est conjuguée de la droite mobile.

Cette propriété ])ermet de résoudre immédiatement le j)rol>làma

L'arête d'un dièdre mobile reste tangente à deux surfaces données, et les faces de ce dièdre sont tangentes à ces surfaces; déterminer l'adjointe à un plan perpendiculaire à cette arête.

Supposons, comme cas particulier, que les surfaces données soient les nappes de la développée d'une surface (S) et que le dièdre mobile soit le dièdre droit formé par les plans des sections principales de (S) relatifs à la normale A. On peut alors déplacer ce dièdre d'une infinité de manières autour de la position qu'il occupe sans qu'il cesse de remplir ces conditions. En conséquence, il doit y avoir une infinité d'adjointes à un plan perpendiculaire à A.

D'après ce qui précède, ces adjointes doivent être tangentes à deux éléments de normalies. Gomme les deux droites infiniment voisines, qui déterminent respectivement chacun de ces éléments de normalies, sont perpendiculaires à A et qu'elles doivent pouvoir être rencontrées par une infinité de droites, elles appartiennent toutes les quatre à un même paraboloïde hyperbolique; ce paraboloïde est le lieu de toutes

ces adjointes. Mais ces adjointes peuvent être prises comme axes instantanés de rotation au moyeu desquels s'obtiennent tous les déplacements du dièdre droit; par suite on voit que :

Le lieu des axes autour desquels il faut faire tourner les plans des sections principales d'une surface pour les amener dans l'une quelconque des positions infiniment voisines qu'ils peuvent occuper est un paraboloïde hyperbolique.

Ce paraboloïde, que j'ai appelé paraboloïde des huit droites, permet d'obtenir facilement la liaison qui existe entre les éléments de courbure des deux nappes de la développée d'une surface ( ' ).

Construction de l'hyperbolaïde osculateur d'une surface réglée dsânie par trois surîacas on courhes directrices (')■ — Nous avons vu (p.3ii) que, pour construire l'hyperboloïde osculaleur d'une surface réglée (D) le long d'une génératrice D, on doit construire les asymptotes des indicatrices de (D) en trois points de D.

La construction de l'asymptote de l'indicatrice de (D) au point «, oii celte droite touche une surface directrice (A), se ramène à la construction de l'asymptote de l'indicatrice de cette surface en a. Pour le montrer, considérons la courbe de contact (n) de (D) et de (A). Aux différents points de cette courbe, ces deux surfaces ont les mêmes plans tangents. Par suite, lorsque le plan tangent en a aux surfaces (A) et (D) se déplace en restant tangent à (A), de façon que son point de contact soit toujours un point de (a), sa caractéristique est conjuguée de la tangente au point a a\a ligne {a) relativement à (A) et à (D), Ces deux surfaces ont donc en a un système commun de diamètres conjugués.

Ce système de diamètres, que l'on connaît pour (A), est aussi un système de diamètres conjugués par rapport aux asymptotes de l'in-

(') Pour plus de développements relativement à ce purabololde, je renvoie aui; Communications que j'ai faites à l'AcadéDiie des Sciences et dont voici les titres :

1° Déterminatioit de la liaison géométrique qui existe entre les êtémeitls de coia-bure des deux nappes de la sur/ace des centres de courbure principaux d'une sur/ace donnée (13 février i8;2).

a' Détermination des relations analytiques qui existent entre les éléments de courbure des deux nappes de la développée d'une sur/ace (7 décembre 1874)-

3° Sar le paraboloïde des huit droites (s avril 1877).

4° Sur tes sur/aces dont les rayons de courbure principaux sont fondions fan de l'autre (3o avril 1877).

(') Ed. Weyk. Académie de Vienne, 1880.

J. Sous. Académie de Prague, 18M,

dicatrice de (D) en a, mais on a l'une de ces droites, c'es^t la génératrice D : on peul alors facilement construire l'autre.

Cherchons maintenant l'asymplote de l'indicatrice de (D) au point oii D rencontre une courbe directrice. Prenons d'abord un dièdre mobile dont les faces sont tangentes en i et c à cette courbe et dont l'arête D touche deux surfaces directrices (E), (F).

Aux. points b el c menons respectivement des perpendiculaires aux faces du dièdre. Ces droites et les normales E, F aus surfaces directrices sont quatre droites perpendiculaires à D.

La droite unique L, qui les rencontre, est l'adjointe au plan perpendiculaire à D. En projetant L sur les faces du dièdre, on obtient les caractéristiques de ces faces pour un déplacement infiniment petit du dièdre.

Supposons que le dièdre diffère infiniment peu de deux angles droits ; on n'a plus alors qu'un plan (P ) sur lequel une droite D est marquée; ce plan touche toujours la courbe directrice en un point de D, et cette droite reste tangente aux surfaces directrices (E), (F).

Les points i et c sont actuellement infiniment voisins; les droites B, C détermineat un élément de surface réglée dont le plan, directeur est perpendiculaire à D et dont les directrices sont : la tangente à la courbe doonée et l'axe de courbure de cette courbe. On peut construire le paraboloïde qui passe par E et qui se raccorde avec cet élément de surface. Ce paraboloïde est rencontré par F en un point; la génératrice de ce paraboloïde qui passe par ce point est l'adjointe L au plan perpendiculaire à D. En projetant L sur (P), on a la caractéristique de ce plan et l'on achève comme précédemment.

Construire l'hyperboloïde osculateur d'niie normalie. — Soit (A) une normalie à une surface (S) dont la directrice est une courbe plane E. Appelons toujours a un point de cette courbe, A la normale en a à (S), et (T) le plan tangent à cette surface en a.

Aux points de contact de A avec les nappes de la développée de (S) on peut construire, comme nous venons de le voir, les directrices de l'hyperboloïde qui est osculateur de la normalie (A) le long de A, On est ainsi conduit à se donner les droites de courbure des nappes de cette développée. H y a entre ces droites de courbure une liaison nécessaire qui ne permet pas de les prendre arbitrairement {p. (461).

Pour définir complètement l'hj-perboloïde osculateur, dont on connaît déjà deux directrices, il reste à construire une troisième directrice. Dans le cas actuel, nous allons emploj'er pour cela un procédé pai-ticulici'. Appelons at la langeutc en a ù K, et «■; la tangente, con-

juguée de at par rapport à (S). Le plaa (A, al), taQgeut à la iiormalie (A) en a, est perpendiculaire au plan (T). Ces deux plans formenl un dièdre qui est toujours droit lorsque, ces plans restant tangents respectivement à {A} et à (S), le point « décrit E. L'arête de ce dièdre est alors constamment tangente à cette courbe.

Pour un déplacement infiniment petit, les faces de ce dièdre ont cliacune «ne caractéristique. Le plan (T) a pour caractéristique «t, conjuguée de at. La face (A, nf) a pour caractéristique une droite que l'on construit ainsi : par at on mène «n plan perpendiculaire au plan de E, et par a-z on mène un plan perpendiculaire à (T) ; ces deux plans se coupent suivant une droite dont la projection sur la face (A, at) est la caractéristique de cette face (p. 369).

Celte caractéristique et at sont deux tangentes conjuguées de (A), On a donc, en a, la droite A, qui est une asymptote de l'indicatrice de (A) pour ce point, et un système de tangentes conjuguées; 00 peut alors construire l'autre asymptote de celte indicatrice.

Cette droite esl la troisième directrice de l'hyperboloïde osculatenr demandé. Cet hyperboloïde est alors déterminé.

La construction de l'hyperboloïde osculateur d'une normalie permet de résoudre facilement un certain nombre de problèmes.

Voici les énoncés de quelques-uns de ces problèmes :

Construire le plan osculateur en. un point de la courbe de contact d'une surface et d'un cylindre ou d'un cane qui lui est circon-

Constraire le rayon de courbure de la développée de la section faite dans une surf ace par un plan quelconque.

Construire le centre de courbure de l'une des branches de la section faite dans une surface par l'un de ses plans tangents (').

Snr les trajectoires des points d'une droite mobile (^). — On peut considérer ces trajectoires à deux points de vue, ayant chacun leur intérêt propre :

j" On peut cliercher à construire les éléments de ces trajectoires, connaissant deux d'entre elles.

(') Voir (CoTnptes rendus de l'Académie des Sciences, séances des 1", i5 et as mars 1875) les solutions que j'ai données de ces problèmes et de quelques

(') Voir A. ScBû.iFLiEB, Sur la courbure des lignes décrites par les points d'an solide invariable en mouvement {Mémoires de la Société royale des Sciences de Liège, a' si^rie, l. XI).

464 SECONDE PARTIE. — THIiNTiÈHE LEÇON.

2" On peut chercher les propriétés commuoes à ces trajectoires.

Relativement au premier point de vue, je dirai seulement que les axes de courbure des trajectoires des points d'une droite peuvent se construire au moyen d'une simple droite (').

Voici maintenant les énoncés de quelques propriétés de ces trajectoires (') :

Les tangentes aux trajectoires de tous les points d'une droite appartiennent à un paraboloïde hyperbolique qui a l'un de ses plans directeurs perpendiculaire à la conjuguée de cette droite.

Pour une position quelconque d' une droite pendant son déplace-' ment, les axes de courbure des trajectoires de tous les points de cette droite appartiennent à un hyperboloïde (^).

La surf ace formée par les normales principales des trajectoires de tous les points d'une droite est une surface du quatrième ordre qui possède une droite triple.

Le lieu des centres de courbure des trajectoires de tous les points d'une droite est une courbe du cinquième ordre.

Les centres des sphères osculatrices des trajectoires de tous les points d'une droite sont sur une cubique gauche ( ').

Lorsque quatre points d'une droite mobile restent sur quatre plans donnés, un point quelconque de cette droite décrit une ellipse (^).

Lorsque les points d'une droite sont assujettis seulement à trois conditions, ils se déplacent sur leurs surfaces trajectoires. Pour un déplacement, les points de la droite mobile décrivent des lignes sur ces surfaces. Voie! quelques résultiits i-eJatifs à ces lignes C') :

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du ti juin 187a. (') Voir {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séances des 3 cl 10 mars 1873) les dénioQstratioiis que j'ai données de ces propriétés et de quelques

(') Ce lliéoréme est dû k M. Haag {Bulletin de ta Société Philomathique. séance du ib juin 1870). M. RinAtcovs, de son cùté, m'avait communiqué l'énoncé de ce théorème, dans le cas particulier où la droite mobile est normale à lu trajectoire de ses points.

(') Ce théorème est dû i M. Haag.

(') On peut coronléter ainsi cette propriété -.La droite mobile engendre une surface du quatrième ordre dont le cône directeur est de révolution. Si la droite mobile entraîne le plan qui la contient et qui l'esté constamment parallèle à l'axe de ce cône directeur, un point invariablement lié à ce plan décrit aussi une ellipse.

{') Voir mon Mémoire intitulé Sur les sur/aces trajectoires des points d'une

APPLICATIONS DE GÉOMÉinrE CIN É M AT IIJU E . 465

he lieu des points d'une figure de forme invariable dont les trajectoires sont tangentes à des lignes asymptotiques de leurs surfaces trajectoires est une surface du troisième ordre.

De là celte propriété : // existe toujours une droite dont tous les points décrivent des éléments de lignes asymptotiques sur leurs surfaces trajectoires.

Le lieu des points d'une figure dont les trajectoires ont leurs plans osculateurs normaux aux surfaces trajectoires de ces points est une surface de sixième ordre.

Le lieu des centres de courbure principaux des surfaces trajectoires des points d'une droite est une courbe gauche du sixième ordre, etc., etc. {').

figure de forme invariable dont le déplacement est assujetti à quatre conditions {Becueil des Savants étrangers, t. XXII, et Journal de Mathématiques de M. Sesal, 3' série, t. I, p. 57).

(' ) En terminant ce qui est relatif à la Géométrie cinématique, je crois devoir rappeler que, pour la partie historique concernant la question du déplacement d'une figure de /orm.e invariable, j'ai renvoyé à ta Notice de M. Ghasi-es {voir p. 160, 358, 36o); c'est pourquoi je n'ai pas parlé des travaux des géomètres d'ailleurs si connus : DEscimEs, Pascal, ItoscnvAL, Jean Bgrnoullc, D'A.LEMBEeT,

EOLER, GlULlO ÏUOZÏI, LeKELL, CaRHOT, CaUCHY, Po[NSDT, g. G[0RGI](1.

Le travail de M. Chasles renferme aussi des Notes intéressantes dans lesquelles sont cités : de Pbont, Manias, Lccëtiube de Fovncv, F. Breton, Teanso^, SAi.«as, Bresse , Gilbert, Rodrigues, Stegmann, DEJONQrtÈRES, l'abbé Jullfen, Steichen, Liharle, JÎELLAïLTcs, F. LuCAs ct moî-même.