MM, - MN = OM

Donc, your avoir le centre de courbure m, il suffit de 'prolonger OM d'une longueur égale MMj et d'élever à OMj en M| la perpendiculaire M^m qui coupe MN en m.

Si nous fixons le sommet A de l'ellipse considérée précédemment

MX H

^rvTN

Fio. 268.

FiG. 259.

et que nous supposions que son centre s'éloigne indéfiniment sur Taxe, nous obtenons à la limite une parabole, et la construction du centre de courbure devient la suivante [fig. 259). Par le point de rencontre H de la perpendiculaire élevée en 'i^ à la normale et de la parallèle à Vaxe menée par M abaisser sur Vaxe la perpendiculaire Hm qui coupe la normale MN au centrée de courbure m.

Tirons le rayon vecteur FM issu du foyer. Il rencontre NH au point G et, puisque les angles NMG et NMH sont égaux, on a NG = NH. Par suite, MG = MH, mG = /nH, et les triangles MGm etMHm sont égaux. Il résulte de là que

MGm = MH/?? = 90\

D'autre part, les angles FMN et FNM étant égaux, on a MF=FN. Les angles FGN et FNG sont aussi égaux et donnent FN = FG. Par suite, FG = MF, et la construction se transforme ainsi : Prolonger le rayon vecteur MF d'une longueur égale FG et élever en G à MG une perpendiculaire qui coupe MN au centre de courbure m.

On peut transformer de bien des manières la construction des centres de courbure d'une conique. Nombre de ces transformations comportent même des énoncés assez élégants, mais, en vue des tracés pratiques, nous croyons pouvoir nous borner à ce qui vient d'être dit.

265* Centras de courbure répondant aux sommets.

— Nous ajouterons toutefois quelques mots relativement aux centres de courbure répondant aux sommets, qui présentent un intérêt spécial, attendu que, comme nous Tavons rappelé à la fin du n** 250, il y a en chaque sommet surosculation entre la courbe et son cercle osculateur.

Pour Tellipse, d'après la formule générale,

on voit qu'aux sommets du grand axe le rayon de courbure est égal à — ' aux sommets du petit axe, à -r- On en déduit que, si du point T, où se coupent les tangentes à Tellipse en A et en B (fig. 260), on

Fio. 260.

Fio. 261

abaisse une perpendiculaire sur AB, cette droite coupe OA et OB aux centres de courbure a et (î répondant aux sommets A et B (*).

(') Celto consiruction peut se déduire de celle de la normale en un point quelconque de IVUipse que j'ai fait connaître en vue du tracé des joints dans les voûtes elliptiques (Anna/ei> r/es* Pon/,s et Chaussées^ 2« sem. 1886, p. 403), construction dont M. Degrand, dans son traité des Ponts (Ericycl. des Travaux Publics), recommande remploi pour les é[)ures à faire sur Taire du chantier en vue de la taille des voussoirs {loc, cit. y p. 619).

Voici cette construction [fig. 260) : Si la perpendiculaire abaissée dt M ^ur OA coupe^ OT au point L et si la perpendiculaire abaissée de L sur AB coupe OA au point N, MN est la normale en M à l'ellipse.

Si le point M vient coïncider avec le point A, le point N vient coïncider avec le centre de courbure a. Or, le point L se confond alors avec le point T. On retrouve donc hien ainsi la consiruction ci-dessus.

Les triangles semblables OAB, AT a etBf^T donnent, en effet,

d'où

OA "" AT ~ BS'

Aa = - et BS=:^-

Pour l'hyperbole, la seconde construction donnée au numéro précédent montre que le centre de courbure a répondant au sommet A (fig. 261) est à la rencontre de l'axe et de l'une ou de l'autre des perpendiculaires élevées aux asymptotes Ox et Oy par les points T et S où elles sont rencontrées par la tangente au sommet A.

Si l'hyperbole est équilatère, le centre de courbure a est le symétrique du centre par rapport au sommet A.

Enfin, pour la parabole, il suffit d'appliquer la construction transformée donnée au numéro précédent, et à laquelle se rapporte la figure 259, pour voir que le centre de courbure est le symétrique du sommet par rapport au foyer.

266. Courbe adjointe des directions normales. ~- Prenons maintenant le cas des courbes quelconques. Une idée qui se présente tout naturellement à Tespril consiste à lier à lu courbe considérée une courbe telle que les éléments infinitésimaux d'un ordre quelconque de la première se déduisent des éléments infinitésimaux d*un ordre moindre de la seconde, par exemple les normales de la première des points de la seconde, les centres de courbure de la première des normales de la seconde, etc.

On peut, pour une courbe donnée, imaginer un grand nombre de courbes présentant ce caractère (*). Celle qui semble se prêter le plus commodément aux applications et que j*appelle adjointe des directions normales est définie comme suit (^) :

Ëlant pris dans le plan de la courbe (M) {fig. 262) deux pôles et D, tirons le rayon vecteur OM et menons par le pôle D (pôle des directions normales) une parallèle DM' à la normale MN. Le lieu (M') du point M' est la courbe adjointe en question. On voit que, si l'on se donne le point M, il suffit de tirer OMAl' pour avoir en DM' la direction de la normale en M. Si on se donne cette direction, il suffit de tirer OM' pour avoir le point M correspondant, ce qui justifie le nom proposé pour cette courbe adjointe.

(') Voir notamment mes Remarques sur la Géométrie infinitésimale des Courbes planes^ dans le Journal de Mathématiques spéciales (1888).

(^) J'ai consacré à cette courbe adjointe et à une autre analogue une étude développée dans rjmerican Journal of Mathematics (1888, p. îiS, et 1892, p. 227), complétée depuis par une note insérée dans le Bulletin de la Société mathématique de France (1892, p. 49).

La courbe adjointe (M') passe par les pieds des normales menées du point D à la courbe (M) ; ses asymptotes sont parallèles aux normales menées du point 0. Elle passe par les points de rencontre du cercle décrit sur OM comme diamètre, d'une part avec les tangentes menées de à la courbe (M), de Taulre avec les parallèles aux asymptotes de cette courbe (M) menées par le point 0.

Fio. 262.

Cherchons à déterminer le centre de courbure \l répondant au point M. La perpendiculaire élevée en à OM coupant aux points m et m' les normales en M et en M' aux courbes (M) et (M'), et la perpendiculaire élevée en D à DM' •coupant au point m\ la normale M'tw', on a, d'après les formules (I) et (111),

<l'où l'on déduit

d [W] = M'mVrfô = Wm\dio, xMm" MW'

ou, si m\m'\ est parallèle à m'mfy c'est-à-dire perpendiculaire à OM,

'MjjA M'ml Mm ~ MW'

égalité qui prouve, puisque Mm et M'm" sont parallèles, que le point u.se trouve -sur la droite Ofn!\. De là, une construction du point jx; nous allons la transformer.

Dans le triangle M'w'^»i"^, m\T) et Ml sont^ par construction, perpendiculaires respectivement à Wm'\ et à m'^m"^. Par suite, m^^l est la troisième hau-

teur du triangle, c'est-à-dire que m'^^I est perpendiculaire à i/L'm\ ou, ce qui revient au même, parallèle à la tangente M'T' à la courbe (M').

Par N menons la perpendiculaire NH & MN, c'est-à-dire la parallèle NH à la tangente MT. Cette droite est également parallèle à DI, et on a

OH ON __ ^ 01 ""OD"" Omj'

ce qui prouve que Hjx est parallèle à Im"^, c'est-à-dire, d'après ce qui vient d'être vu, à la tangente M'T'.

Nous obtenons donc finalement pour le centre de courbure (a la construction très simple que voici :

Par le point N où la normale en M coupe OD tirer la parallèle HN éi /a tangente MT, et par le point H où cette droite coupe OM la parallèle H[x à la tangente M'T'. Le point de rencontre jx de Hu. et de MN est le centre de courbure cherché.

Dans le Mémoire d'où ce résultat est extrait, on en trouvera diverses applications. Je me bornerai ici à faire observer que, si la courbe (M) est une conique de centre ayant un axe dirigé suivant OD (D étant un point quelconque de cet axe), la courbe (M') est une droite perpendiculaire à cet axe ; il est bien facile de le démontrer. Dès lors, si on applique, dans ce cas particulier, la construction générale qui précède, on retrouve la construction donnée par M. Mannheim pour le centre de courbure des coniques et reproduite au n» 264.

Remarque, — Si le point M est un point d'inflexion sur la courbe (M), le centre de courbure ^ étant réjeté à l'infini, H[x doit être parallèle à MN, par suite aussi MT' parallèle à MN, c'est-à-dire confondue avec M'D.

On aVdonc les points M' de l'adjointe (M'), correspondant aux points d'inflexion de la courbe (M) en prenant les points de contact de cette courbe (M') et de ses tangentes issues de D.