Lieu des extrémités des sous-normales polaires
Prenons dans le plan de la courbe (M) un pôle [fig. 263). La perpendiculaire élevée en à OM coupe la normale en M au point m. Il est évident que la normale mm! à la courbe (m), lieu du point m, est également liée au centre de courbure \l répondant au point M. Proposons-nous de trouver ce mode de liaison.
\ppelohs (t) Tangle que fait OM, l'angle que fait Mm avec un axe quelconque du plan. Si la normale en m à la courbe [m) coupe OM en m' et la normale jjim" à l'enveloppe de M{x en m'\ les formules (!) et (III) donnent
d (M) == M{x.c?6 = M»i.c?cD, d [m) = mm'\d^ = mm^db), d'où
M^ mm" HK Mm mm' Um'
ou
Mfx.Hm' = Mm.HK.
Or, le triangle Mmm' coupé par la transversale H,a donne
Hw'.aM.lw
ou
HM.jxm.lw'
c'esl-à-dire, eu égard à Tégalité précédente,
Im Im'
Mm.HK am.HM
wM HM m-jL ' HK
FiG. 263.
Donc I est le milieu de mm' (*). Ainsi:
La droite joignant le point H au centre de courbure [x passe par le milieu \ de la nov' maie mm! à la courbe [m). Cela permet, si on connaît cette normale mm\ de construire le centre de courbure. Si, par exemple, la courbe (M) est une spirale d'Archimède de pôle 0, la courbe [m] est un cercle de centre 0. Par suite, mm' se confond avec mO et le centre decourbure est sur la droite Joignant le point H au milieu de mO. Cette droite est la symédiane issue de H du triangle MmH.
Remarque. — La connaissance du centre de courbure jx entraîne inversement celle de la normale mm\ 11 suffît, en effet, de remarquer que la parallèle à MH menée par le milieu E de mH passe par le point I où mm' rencontre uB. Nous allons, dans les numéros qui suivent, donner quelques applications de ce théorème général.
268. Conchoïdes. — Si on prolonge les rayons vecteurs OM d'une courbe (M) pris à partir d'un pôle fixe 0, de longueurs égales MM^ (posilive^^ ou négatives) la courbe (Mf ) est dite une conchoîde de la courbe (M) par rapport au point {fig. 264). D'après le corollaire 111 du n"^ 254, les normales en M et Mf aux courbes (M) et (M^) se coupent en un point m de la perpendiculaire élevée en à OM.
Proposons-nous maintenant de déduire du centre de courbure fx répondant au point M le centre de courbure fi, répondant au point M^. Si Ë est le milieu
(>) Le théorème de géométrie élémentaire ici démontré peut s'énoncer.comme suit:''>''^ perpendiculaire élevée par le sommet B au côté AB du triangle ABC coupe le calé AC fl« point I et si la droite qui joint le point I au milieu de BG coupe AB au point H, la pet'pf'^' diculaire élevée en H « AB coupe BC en un point D tel que
Bp AH^ BG ~ Ab'
11 suffit, pour le voir, de faire correspondre respectivement aux lettres M, m, m, w . Il, 11 de la figure 263 les lettres A, B, G, D, II, I.
du segment mH perpendiculaire àmM, la parallèle àMH menée parle point E coupe Ha en un point I qui, d'après la remarque terminant le numéro précédent, est le milieu de la normale en m à la courbe que décrit ce point, normale qu'il est inutile de tracer. Le théorème donné dans le même numéro montre, en effet, que, si mH^ est perpendiculaire à mM^, il suffit de joindre H|I pour avoir sur M^m^ le centre de courbure fx^ demandé (*).
Exemple, — Si la courbe (M) est un cercle passant par le pôle 0, la courbe (M,) est un Hmaçon *** de Pascal [fig, 265).
Fig. 26i. Fie. 265.
Ici, le point m est le point diamétralement opposé au point M dans le cercle 'M) ; donc la normale à la courbe (m) se confond avec mM, et le point I avec le point UL. Il suffit donc, m}l^ étant perpendiculaire à >nM^, de tirer H ^^ pour avoir sur mM^ le centre de courbure jx^ répondant au point M,.
Généralisation. — Supposons qu'une droite issue de rencontre les courbes (M,), (Ma)...., (M^), aux points M^, Mj,..., Mp, et que Ton ait entre les rayons vecteurs OM^ = p^, OMj = p2 i OMp ~ p^, la relation linéaire
«lP< + ^2?2 + + ^P?P — ^»
a^, ai, , ap et A étant des constantes. Nous aurons par différentiation
a^.dp^ -f- a2'dçi2 + -I- ^pdpp o,
ou, en vertu de la formule (VI), en appelant «,, n^, , np les sous-normales
polaires OM,, OMj, , OM^,
Celle relation permet, connaissant p — i desp normalesO ,, Om-i, ,Omp,
de construire la ;>••"*•. Différenlions-la à son tour. Nous avons
a^.dn^ + aa-c/^a + + a„.dnp ~ o,
0; A une légère variante près, cette construction a été obtenue par M. Husquin de Rhéville {Souc. Ajin. de Malh.^ 1891, p. il3) par une autre voie que celle qui est employé ici.
OU, toujours en vertu de (VI), et en représentant par n'^, n'^, , 7i\ les sousnormales polaires Om'^, Ow'a, , Om'p, des courbes (m^), (wa), , (m^).
a^w'< -f â:2«'2 + + dpn'p
Supposons alors que nous connaissions les centres de courbure ]s.^y^^ , Up.^
des p-i courbes (M^), (Ma), , (Mp-^). Nous en déduirons, par le théorème do
n° 267, les points
puis, la relation précédente nousdonnera le point m'^,, d*où, par application du même théorème, nous déduirons le centre de courbure uip.
Cette construction généralisée est susceptible d'un très grand nombre d'applications (*).
369. Podaîpes. — On appelle porfazre de la courbe (A) par rapport au point la courbe (M) décrite par le pied M de la perpendiculaire abaissée du point sur la tangente en A à la courbe (A) [fig, 266).
D'après le corollaire I du n^ 255, la normale en M à la courbe (M) passe par le point vn oii la normale en A à la courbe (A) est rencontrée par la perpendiculaire élevée en à OM.
Proposons-nous de déduire du centre de courbure a, répondant au point A, le centre de courbure [jl répondant au point M.
La droite Om étant perpendiculaire à Am, le
lieu du point m est la podaire, relativement au
point 0, de la développée de la courbe (A). Si
donc la normale à celte développée, c'est-à-dire
la perpendiculaire élevée en a à Ax coupe OMau
point m', mm' est la normale à la courbe (m,,
et pour avoir le centre de courbure u, il suffis
d'après le théorème du n** 267, d'élever en ma
mM la perpendiculaire mH et de joindre le point
H au milieu l de m,m\ Mais, la figure mOm'x
étant un rectangle, le milieu I de la diagonale
mm' se confond avec celui de la diagonale Oa. La construction se réduit donc
à ceci : le centre de courbure (x est sur la droite joignant le point H au milieti
1 de Oa.
Si nous tirons la droite OAqui coupe Mm en B, le point B est le milieu de OA;
il en résulte que le lieu (B) du point B est homolhétique de celui de A par
rapport au point 0, pour le rapport d'homothélie -• Donc la normale en 6 à la
courbe (B) est BI, le centre de courbure est I, milieu de Oa. Puisque les angles
FiG. 266.
(^) On en indiquera une plus loin (n<* 333).
OBI et wBI sont égaux, Tenveloppe de Bm, que cette droite touche en {a, est la caustique que donne le point par réûexion sur la courbe (B). On a donc cette construction du point où le rayon réfléchi touche son enveloppe : Soit Om la perpendiculaire abaissée de sur la normale BI à la courbe réfléchissanté, La perpendiculaire élevée en à Om et la perpendiculaire élevée en m à Bm se coupent sur la droite qui joint le point (x où Bm touche la caustique^
FiG. 267.
au centre de courbure I de la courbe réfléchissante. La construction subsiste si BO enveloppe une courbe qu'il touche au point 0. Si la courbe (B) est une conique de foyers et {a, on déduit de là une construction du centre de courbure I de cette conique, répondant au point B.
Exemple, — Reprenons le limaçon de la figure 265. Du point a, diamétralement opposé à dans le cercle (M) pris comme centre, décrivons le cercle (A) ayant un rayon égal à Mx\l|, c'est-à-dire tangent au limaçon en ses sommets H et K [fig, 267). Joignons le point m diamétralement opposé à M dans le cercle (M) au point k. La droite ma parallèle à OM coupe le cercle (A) au point A. Puisque les angles M^Ma et AaM sont droits et que aA = MM^ par construction, la figure MxAMf est un rectangle. Donc AM,, perpendiculaire à oA, est tangente au cercle (A), et OM^ est perpendiculaire à celte tangente. Par suite, le limaçon (M^) est la podaire du cercle (A) par rapport au point 0.
Appliquons la construction précédente : M|m est bien la normale ; en outre, si mH| est perpendiculaire à M^m, le centre de courbure \k^ est sur la droite joignant le point H^ au milieu (a de Oa.
Nous retrouvons ainsi le résultat obtenu différemment à la fin du numéro précédent.
OÉOM. DBSCRIP 19
D. — Applicatio7i à la Cinématique
