APPLICATION A L HELICE

§ 2. — Application a l'hélice

A. — Hélice cylindrique générale

28 1 . Définitions* — On appelle hélice une courbe tracée sur un cylindre et coupant les génératrices de ce cylindre sous un angle constant.

Si la section droite du cylindre est une courbe fermée, Tare de rhélice compris entre deux points consécutifs A et A'' situés sur une même génératrice est dit une spire, la distance AA' de ces deux points étant le pas de Thélice.

Nous appellerons angle de Fhélice le complément de l'angle constant que fait chaque tangente à cette hélice avec la génératrice passant par son point de contact, c'est-à-dire l'angle a que fait chaque tangente avec le plan d'une section droite.

Si l'angle a est nul, l'hélice se confond avec une section droite du cylindre ; s'il est droit, elle se confond avec une génératrice. S'il est supérieur à 90% on peut le remplacer par son supplément, en ayant soin de distinguer le sens dans lequel l'hélice s'enroule sur le cylindre.

Prenons le cas d'un cylindre ayant pour section droite une courbe fermée, et supposons un observateur placé debout sur un plan de section droite du cylindre, à r intérieur à^ ce cylindre. Imaginons, en outre, un point s' élevant sur l'hélice par rapport à cet observateur. Si, pour cet observateur, la projection du point sur le plan de section droite se déplace dans le sens direct (de droite à gauche, comme sur la figure 275), nous dirons que l'hélice est directe ou à torsion positive ; si cette projection se déplace dans le sens y^étrograde (de gauche à droite), nous dirons que l'hélice est rétrograde ou à torsion négative. Peu importe, d'ailleurs, le sens dans lequel on a supposé placé l'observateur, car, s'il se retourne bout pour bout, le sens du mouvement du point s*élevant par rapport à lui change en même temps, de sorte que le sens du déplacement de la projection de ce point par rapport à cet observateur reste le même.

282. Développement. —■ Prenons sur l'hélice deux points M et M' infiniment voisins {fig. 275). Les génératrices de ces points

ïnt la section droite du point A en m et en m'. Menons ' le point M le plan de la section droite qui coupe M'»î' au . Si nous supposons menées les cordes MM' et M«î', nous

is posons arc kin = x, arc AM = S, mM = s, uoiis avons iment petits du troisième ordre près, As ^: mm = Mwj", M', et rigoureusement Aj ^= w("M'. En outre, puisque, à la '"Mm" = a, les égalités précédentes donnent

ou, en remplaçant les accroissements infiniment petits par les différentielles correspondantes, pour une variable indépendante quelconque,

granl et remarquant que, si on compte les arcs à partir A, on a, pour s ^: o, S ^= o et ^ = o,

. tanga,

is sur une droite, à partir du point gment A,,»',, égal à l'arc Am ou S, " p,^ ^-^

is en îH|, à cette droite la perpendi- '(,,M|3 égale à j»M ou s [fig. 276). D'après la seconde des is. on a

■ouve que le lieu du point M,, est la droite A^M^ inclinée à