APPLICATION A L HELICE
Tangle a sur A^^n^. En d'autres termes, si on développe le cylindre sur un plan, Thélice se transforme en une droite inclinée à Tangle a sur la droite transformée de la section droite du cylindre.
283. Tangente* Plan oseulateur* — Si la tangente en M coupe le plan de la section droite prise pour base au point T {fîg. 277), on a mT = mM. cotg a = arc Aw, ce qui montre que le lieu du point T est la développante de la courbe Am, partant du point A.
Cherchons le plan osculateur au point M. Pour cela, partons de la troisième définition (n'275), c'est-àdire menons la parallèle MT'j à la tangente en un point infiniment voisin de M et cherchons la limite du plan MTT'j. Puisque MT\ est aussi inclinée à l'angle a sur le plan de base, on a niT\ = mT. Le triangle htïT\ étant isocèle, le lieu du point T'. est le cercle de ravon mT. La limite de la droite TT'^, tangente à p,^. ^^^
ce cercle, est donc la perpendiculaire
élevée en T à mT dans le plan de base. Or, cette droite est parallèle à la normale en Ma la section droite du cylindre. Cette normale MN détermine donc avec la tangente MT le plan osculateur en M. Comme, d'ailleurs, cette normale est perpendiculaire à MT, elle constitue la normale principale de l'hélice. Nous n'avons plus qu'à élever en M une perpendiculaire MB au plan MNTpour avoir labinormale. Le plan MTB est le plan rectifiant. Puisque MB et MT sont perpendiculaires à MN, ce plan se confond avec le plan tangent au cylindre. La surface rectifiante est donc bien ici le cylindre luimême. On retrouve ainsi le résultat obtenu au numéro précédent, ù titre de cas particulier du théorème de Lancret (*).
D'après la remarque qui termine le n'* 280, on voit que la projection orthogonale de Thélice sur le plan tangent en M au cylindre présente en ce point une inflexion.
' Voir le renvoi du u° 276.
284. Rayons de courbure et de torsion. — Reprenons les formules du n^ 278
R^ = Lim — > R/ = Lim -^•
Nous avons ici, d'après le n° 282,
dS =
cosa
Appelons cp l'angle des tangentes aux points infiniment voisins «^ et m' de la courbe de base. Nous avons, en appelant p le rayon de courbure de cette courbe au point m,
ds = p. (p.
Il vient donc
R^::=Lim -^^ = -Ê- . Lim 2, R, =-^ • Limî.
cosa.e cosa e cosql y^
Pour trouver la première de ces limites, menons, par un point quelconque du plan de base, des parallèles aux tangentes à la courbe en M et en M', dont l'angle est e, sur lesquelles nous prenons les segments égaux OMq et OM'q {/^. 278). Les projections Chn^ et ùm',, de OMq etde OM'q sur le plan de base sont parallèles aux tangentes en m et en vi à la courbe de base, c'est-à-dire font entre elles l'angle ç. Gela posé, la figure M^M'^m^m'^ étant un rectangle, on a
ou
20Mt,.sin|== 2 0mo. sin|t
OU encore, puisque le sinus d'un arc infiniment petit ne difiere de cet arc que d'une quantité du troisième ordre,
Lim OMo-e = Lim Om^-cp,
c'est-à-dire
Lim - = A — =
e Om^ cos »
Il vient donc
(1) Rc =
cos* Ot
APPLICATION A L'hÉLIGK
Pour avoir maintenant R„ menons de même les para et ON'o aux binormales en M et en M', c'est-à-dire les perpendiculaires élevées à OM^ et à OM'p respectivement dans les plans OM^Wp et OM'^m'o- Les segments ONg et 0N'„, supposés aussi égaux, qui se projettent en On^ et On'„ sur "■
les prolongements de Om^ et Om\ font entre eux l'angle t„ et l'on a, comme précédemment,
S.0N,..iil| = 2. On,. iin|
ou
Lim ON,. Il = Lim Orio-ç,
c'est-à-dire
