ON
Lim ^ =-r-^= -.
, On, un.
Par suite,
"'-co..»!».
De (l)et (2) on déduit (')
tg«
Il est facile, connaissant le rayon bure p de la section droite du cylindi l'angle «, de construire R, et R,.
Par les extrémités M et N du seg
égal à p (fig. 279), élevons à cette <
Pin 279 ~ perpendiculaires MQ et NH. Tirons
MH faisant avec MN l'angle » et élev.
en H une perpendiculaire qui coupe MN en P et MQ en i
immédiatement sur la âgure que l'on a
HP = R, fli MO = R,.
'*) M. 1. Rcrtrand a démontré que l'hélice est la s la courbiirn h la torsion soit constant.
p roiirbc dont If
CBAPITRB TI. — - COURBBS GAUCHES
RayoD de la sphère osciilatrlce. — Nous avons vu, an d' î'9 yen Rj de la sphère osculalrice est donné par la formule
Rî = R
Ole
dK ^„, di
rfR,
dS, -
~ ds
COSŒ
\ appelons o, le rayon de courbure de la développée de lastction point M, nous avons, d'après le Corollaire I du n" 2S4,
mgle de contingence de la section droite au point H. De même
ds ■=■ pf .
lis p
dK p.
: cette valeur dans la formule ci-dessus où on remplace Rc^t Ri par urs tirées de(l)et (2), on a
B. — Hélice ordinaire
Éléments îonflamentaux. — Lorsque le cylindre sur t tracée l'hélice est de révolution, l'hélice est dite ordinaire.
APPLICATION A l'hÉUCE 307
Dans ce cas, r étant le rayon du cylindre, le pas H est donné par
(I) H = 27rr. tg«.'
La quantité â-> que nous représenterons par A, est dite le pas
réduit de l'hélice. On voit, d'après la convention du n' 281, que ce pas est positif ou négatif suivant que l'hélice est directe ou rétrograde.
Nous avons donc
(«) ■ A = r. lg«,
d'où
Si doDC ^ est la distance verticale de deux points de l'hélice dont les projections horizontales sont séparées sur le cercle de base par l'arc s, on a aussi
Tout ce qui a été dit précédemment à propos de l'hélice générale peut être répété à propos de l'hélice ordinaire. La seule particularité à signaler dans ce dernier cas se rapporte à l'expression des rayons R„ R„ R,. La formule (') du n" 284 devient ici
Donc Rj est constant. La formule (2) du même numéro montre que R, est constant { 1 ). Quant à la première formule écrite au n" 285,
elle montre, puisque R, est constant, c'est-à-dire —r^ ^^ o, que
R, = R,. En d'autres termes, le centre de la sphère osculatrice se confond, dans ce cas, avec le centre du cercle osculateur.
") tt. Puiseux a dérnootré que l'hélice ordinaire est la seule courbe gaucbe dont la courbure et la torstoD sont constantes.
•jV-'
ri.'
wi-
fv
287* Projection orthogonale de l'hélice sur un plan parallèle à Taxe du cylindre. — Ayant pris les axes de coordonnées Ox et Oy marqués sur la figure 280, on a
X = Om' = r sin ci> y = m'M = arc OoW^. Iga = r/o. tga,
OU, en posant r tg a == a,
aa>.
Eliminant w entre les expressions de a; et de y, on a
X =: )• sm
La projection considérée est donc une sinusoïde.
Il est très facile de construire cette projection. Bornons-nous à
jm'
•ftl
Fio. 280.
Fio. 281.
rindiquer pour une demi-spire [fig, 281). Divisons le demi-cercle de base et la hauteur de la demi-spire en un même nombre de parties égales, huit par exemple. Les verticales des points 1, 2, 3,...,<^ coupent respectivement les horizontales des points 1', 2', 3',.--j "^ en des points qui appartiennent à la sinusoïde demandée.
APPLICATION A l'hÉLICB
288. Pojeclion oblique de l'hélice sur un pi pendiculaire à l'axe du cylindre. — Prenant un tical parallèle à la direction des projetantes, nous pouvons choisir le plan horizontal de façon à le faire passer par 1( situé sur la génératrice de contour apparent du cylindre (/î
Pour avoir l'ombre du point M nous n'avons qu'à men point la parallèle MM, au rayon lumineux dont la trace '.
plan horizontal est le point cherché. En répétant cette ( lion pour les divers points de la spire AHBIA', on ob ombre A^HoBylpA'o comprise entre les tangentes en Ag et ig de base, et qui se répète de même pour les autres spires.
Afin de définir la nature de cette courbe, projetons er cercle de section droite PQ passant par M. Le centre G de ■ se projette en Gj,.
Appelons Ô l'angle que les projetantes font avec le plan tal, 2 la hauteur du plan PQ au-dessus de ce plan. Nous a
OCo = iC, =ï. cotga,
puis
arc PqMq = arc PM = arc \m = 2, colg a.
Par suite, si nous posons OG^ = a?, OO^Mq = w, nous avons
X r=^ Z COtg 6
ro) = z colg QL,
d'où
r tgx k
k étant une longueur constante.
Ainsi, la courbe projetée peut être considérée comme engendrée par un point Mq d'un cercle dont le centre Gq décrit la droite Ox, tandis qu'il tourne lui-même autour de ce centre d'angles proportionnels à OGq. Ge lieu est ce qu'on appelle une cycloïde. Gette cycloïde
tgO est ordinaire, allongée ou raccourcie, selon que p- est égal, supé-
tga
rieur ou inférieur à 1, c'est-à-dire selon que 6 est égal, supérieur ou inférieur à a.
289* Hélice osculatriee* — De toutes les courbes gauches, l'hélice ordinaire est la seule, nous l'avons déjà dit, dont la courbure et la torsion soient constantes, c'est-à-dire celle dont l'allure est le plus uniforme. A ce point de vue, elle correspond, dans l'espace, au cercle, dans le plan; celui-ci peut, d'ailleurs, être considéré comme sa limite lorsque Tangle de l'hélice se réduit à zéro.
Par analogie avec le cas du plan, on définira donc ï hélice osculatrice en un point d'une courbe, celle qui, ayant en ce point même tangente et même normale principale que la courbe, a, en outre, même rayon de courbure R, et même rayon de torsion R^. Tous les éléments de la courbe et de l'hélice qui dépendent seulement de R,et de Rj, et non des dérivées de ces quantités par rapport au paramètre variable, seront les mêmes. Par exemple, la droite rectifiante sera la même pour les deux courbes, mais non la sphère osculatrice.
La droite rectifiante, considérée comme se rapportant à Thélice, est une génératrice du cylindre de révolution sur laquelle cette hélice est tracée ; elle est donc parallèle à l'axe de ce cylindre qui peut être dit aussi Vaxe de Vhèlice. On voit donc que l'axe de Thé-
APPLICATION A l'hÉLIGE 311
lice osculatrice est parallèle à la droite rectifiante au point considéré .
Il est très facile, d'ailleurs, de déterminer complètement cet axe. En eflTet, d'une part, il rencontre la normale principale, de l'autre, il est parallèle au plan rectifiant (n** 283). Il suffit donc d'avoir la distance de cet axe au point considéré, distance qui est égale au rayon r du cylindre de révolution sur lequel est tracée l'hélice, ainsi que l'angle que cet axe fait avec la tangente, ou, ce qui revient au même, le complément a de cet angle. Or, les formules (1) et (2) du n** 284, savoir
donnent ici
d'où l'on tire a et r.
A la limite, lorsque la courbe est plane, c'est-à-dire sa torsion nulle, ou R, infini, les formules donnent
a = G, r = Rc,
c'est-à-dire que l'hélice osculatrice se confond avec le cercle osculateur, comme cela devait être.
La torsion de la courbe étant la même que celle de son hélice osculatrice, on voit, en se reportant au dernier alinéa du n^ 281, comment on peut, en chaque point de la courbe, définir le sens de sa torsion.
