SURFACES EN GENERAL
§ 1. — Plan tangent bt normvle
2290* Plan tangent. IVormale. — Nous commencerons par rappeler quelques principes qui ont été établis dans le Cours d'Analyse, Si sur une surface dont Téquation est
on prend un point (a?, y, z) et un point infiniment voisin {x + dx^ y -f dyy z 4- dz)^ quelle que soit la manière dont ce second point tend vers le premier, c'est-à-dire quelle que soit la courbe qu'il décrit sur la surface, la droite qui joint ces deux points se trouve à la limite dans le plan dont Téquation est
(X - X) r^ + (Y - y) PV + (Z ~ ^) F', ^ 0.
Autrement dit, toutes les courbes tracées sur une surface à partir d'un point donné ont en ce point des tangentes situées dans un même plan (*). C'est ce plan qui a reçu le nom de j^/an tangent. On dit qu'il touche la surface au point considéré, qui prend le nom depom^ de contact,
(*) Cette démonstration peut être faite aussi par la (iéométrie pure. Voir notamment le Traité de Géométrie de Bouché et de Comberousse (6'' édition, t. Il, p. 224, n» 881).
La perpendiculaire élevée au plan tangent par son point de contact est la normale à la surface. Le point où elle est perpendiculaire au plan langent est dit son pied ou son point d'incidence.
Tout plan passant par la normale est àiiplan normal; un tel plan est perpendiculaire au plan tangent. La section qu'il fait dans la surface est dite une section normale au point considéré.
201 . Surfaces enveloppes. — La détermination d'une surface dans l'espace peut dépendre de paramètres variables entrant dans son équation. Supposons d'abord qu'il n'en intervienne qu'un. On a ainsi un système simplement infini. Ayant choisi une surface S de ce système, on peut donner au paramètre variable X un accroissement infiniment petit c/>., ce qui détermine dans le système une surface S' infiniment voisine de S. Ces deux surfaces se coupent suivant une certaine courbe qui, lorsque cD. tend vers zéro, tend, sur la surface S, vers une position limite G qui est dite la caractéristique de S. Le lieu géométrique des caractéristiques G est une surface Sj qui est appelée Venveloppe des surfaces S, et pour rappeler qu'il. s'agit ici d'un système simplement infini, nous dirons que cette enveloppe S^ est de première espèce.
L'analyse permet de voir immédiatement que la surface S et Venveloppe Sj ont même plan tanjent en chaque point de la cay^actéristique G. On dit qu'elles se raccordent le long de cette courbe.
Supposons maintenant que la détermination de la surface dépende de deux paramètres variables ). et |x, auquel cas le système est dit double^nent infini. Si, donnant à l'un des paramètres, [xpar exemple, une certaine valeur fixe, on considère À comme seule ^releuf-, mi obtient sur S une certaine caractéristique que nous désignerons par Ga. De môme, laissant \ fixe et faisant varier jx, on obtient la caractéristique Gx qui rencontre G^, au point M.
Le lieu des points M est une certaine surface 2.> qui est encore désignée par le nom à' enveloppe; mais pour rappeler qu'il s'agit ici d'un système doublement infini, nous dirons qu'une telle enveloppe est àe seconde espèce {^).
L'Analyse permet aussi de voir que la surface S et Venveloppe S.>
(*j Rappelons que Téquation de Tenveloppe i^^ de la surface S dont Téqualion est F {.r, y, z, X) j=: est donnée par rélimination de X entre cette équation et sa dérivée par rapport à X, et que l'équation de Tenveloppe Sj ^^ ^^ surface S dont Téquation est F (.r, y, z, X, jx) m o est donnée par l'élimination de X et de [x entre cette équation et ses dérivées prises respectivement par rapport à X et à fi.
TT
