PLAN TANGENT ET NORMALE

ont mênie plan tangent au point 'M. On dit qu'elles se touchent en ce point.

Si, donnant à X une valeur fixe, on fait varier [x de — x à oo , on obtient une enveloppe S^x de première espèce. Toutes ces surfaces correspondant aux valeurs de X comprises de — x à oo admettent elles-mêmes une enveloppe de première espèce qui n'est autre que S.,. De même S., P^^' ^^^^ considéré comme l'enveloppe de première espèce des enveloppes de première espèce ^^^ correspondant aux diverses valeurs attribuées à \k.

En particulier, toute surface pourra être considérée comme l'enveloppe de seconde espèce de ses plans tangents, comme l'enveloppe de première espèce des cônes qui lui sont circonscrits et qui ont leurs sommets sur une courbe donnée, etc.

292* Application. Tliéorème de Malus. — Gomme application de ce qui précède, nous allons donner une démonstration élémentaire du théorème de Malus, pris dans son cas le plus simple, celui delà réflexion d'un faisceau lumineux issu d'un point.

Imaginons que de chacun des points A d'une surface [A], comme centre, nous décrivions une sphère S^ passant par un point fixe {fig. 283). A partir de sa position actuelle nous pouvons déplacer le point A sur la surface [A] dans une infinité de directions. Par suite, la détermination de la sphère Sa dépend

de deux paramètres. Elle admet donc une enveloppe de seconde espèce que nous désignerons par fM] en appelant M le point où S^ touche cette enveloppe. Pour déterminer le point M, considérons deux sphères S^ et Sa- dont les centres A' et A" soient infiniment voisins de A. Les trois sphères Sa, S^ et Sa' se coupent en deux points symétriques par rapport au plan AA'A''. Puisque l'un de ces points est, d'après la définition même, le point 0, l'autre sera le symétrique du point par rapport au plan A A' A". Mais, à la limite, ce plan

CHA.P1TRE VII. — 3URPACBS EN oéNÉRAL

le plan tangent à la surface [A] au point À. Donc la limite id point commun aux deux sphères, qui est le point M chérie symétrique du point par rapport au plan tangent eu A. , la surface [M] est le lieu des symétriques du point fixe port aux pians tangents à la surface\k\.

irmale MR à la surface [Mj se confond, en vertu du théo- -dessus rappelé, avec la normale en M à la sphère S^. Elle inc par le centre A de celle sphère.

egments AM et ÂO sont égaux comme rayons d'une même

le triangle AMO est isocèle, et on a AMO = AOM. Mais la AN à la surface [AJ, étant parallèle à OM, est dans le

DM. Par suite, ÔAN = AOM, RAÎ^ = AMO, d'où

RÂN. Ainsi, d'une part, le plan OAR passe par la normale surface [A], de l'autre, les angles OAN et RAN sont égaui. iulte, d'après les lois bien connues de la réflexion, que, si OA ayon lumineux issu de et tombant sur la surface [A] prise rface réfléchissante, le rayon réfléchi est dirigé suivant AR. i théorème de Malus :

s rayons lumineux issus du point se réfléchissent sur la [A], ils sont, après réflexion, normaux à une même sur-

surface est la surface [M] que nous venons de définir point

it.

Iai7-e I. Normale à la sur face podaire . — Le point P milieu

ni cette droite rencontre le plan tangent en A à la surface [A|

tre que le pied de la perpendiculaire abaissée de sur ce

genl. Le lieu [P] de ce point est dit la surface podaire de

est homothétique de la surface fM] par rapport au point 0.

lale en P est donc parallèle à MA, c'est-à-dire qu'elle ren-

OA )M au point B tel que OB =-5^ • On a ainsi la généralisa-

■iiie lie Malus l'st encore vrui dans le cas de la n'-frnclioD. Dupin l'a >U|ijii)suiit Ifs ruyims iiicicIfiUs non plus issus d'un niùmc poinl, ui;j!s

tion, pour l'espace, de la construction déjà obtenue pour les podaii^es planes (n^ 269).

Corollaire IL Détennination des. points brillants pour un œil situé à distance finie. — Les points brillants d'une surface [A] pour un œil sont les points d'incidence des rayons lumineux, issus d'une source lumineuse S, qui après réflexion sur la surface [A] viennent passer par le point 0. En raison de la réversibilité de la marche des rayons, on peut dire aussi que ce sont les points d'incidence des rayons issus de 0, qui, après réflexion sur [A] vont passer par le point S. Or, d'après le théorème précédent, ces rayons réfléchis sont normaux à la surface [M]. On aura donc les rayons issus de S qui, après réflexion sur [A], iront passer par en prenant les normales que l'on peut mener de S à la surface [M]. Les points où ces normales rencontreront la surface [A] seront les points brillants de cette surface (*).

Cette construction est encore valable lorsque le point S est rejeté à rinfîni dans une direction donnée, ou encore si le point S restant à distance finie, le point est rejeté à l'infini dans une direction donnée, puisqu'on peut intervertir les rôles des points et S ; mais elle devient illusoire lorsque ces points sont à la fois à l'infini, parce qu'alors la surface [M] est rejetée à l'infini.

§ 2. — Courbure

293* Sens de la courbure. Indicatrice* — On sait que si une surface est rapportée à sa normale en M prise pour axe des xr et à deux axes rectangulaires pris dans le plan tangent pour axes des 07 et des y, le z des points de la surface peut, en général, être, dans une certaine région autour du point M, développé en une série de la forme

(*) Il va de soi que certains de ces points brillants peuvent être virtuels, c'est-àdire non vus du point 0. Pour qu'un point A soit un point brillant réel, il faut évidemment que la droite OA et la droite SA ne rencontrent la surface [A] en aucun autre point situé respectivement entre et A, ou entre S et A.

les termes qui composent R3 étant au moins du troisième degré en x et en y. Si nous considérons tous les points infiniment voisins du point M situés dans un plan parallèle au plan tangent MXY, a? et 1/ étant des infiniment petits de premier ordre, z en sera un du deuxième, et la partie restante du développement, R3, du troisième. On pourra donc la supprimer pour passer à la limite, c'est-à-dire substituer dans la région infiniment voisine du point M à la section de la surface par un plan parallèle à MXY la section faite par ce plan dans le paraboloïde

On peut toujours, en faisant tourner d'un angle convenable les axes MX et MY, annuler |5. Les sections normales faites alors par les plans MXZ et MYZ sont dites les sections principales de la surface, et l'équation précédente devient

Les sections de la surface par des plans parallèles à MXY sont donc, dans la région infiniment voisine du point M, semblables à Tune ou l'autre des coniques

suivant que z est positif ou négatif. Elles sont, en outre, semblablement placées, en ce sens que tous les diamètres homologues d'un diamètre de Tune des coniques sont dans le plan normal mené par ce diamètre. L'ensemble de ces deux coniques supposées dessinées sur le plan MXY est ce que Dupin, qui le premier a eu recours à cette notion, a appelé Vindicatrice de la surface au point M.

On voit que cette indicatrice renseigne sur l'allure de la surface aux environs du point M.

La surface définie par l'équation

art .tf

"tUfTIT'-

est, avons-nous déjà dit, un paraboloïde. Dans la région infiniment voisine du point M, cette surface peut, aux infiniment petits du troisième ordre près, être substituée à la surface donnée. Elle a reçu pour celle raison le nom de paraboloïde osculateur.

Si deux surfaces ont, en un point, même paraboloïde osculateur, elles se confondent, autour de ce point, aux infiniment petits du troisième ordre près. On dit qu'elles ont en ce point un contact du deuxième ordre.

Discussion. — On peut toujours supposer Tun des coefficients a ou Y positif, a par exemple. Trois cas sont alors à considérer :

1° y > 0. La partie de l'indicatrice correspondant à la valeur + i du second membre est une ellipse réelle, la partie correspondant à — 1 est une ellipse imaginaire. Donc, les sections qui correspondent aux valeurs de z positives sont des courbes fermées réelles; celles qui correspondent aux valeurs de z négatives sont imagir naires. Aux environs immédiats du point M la surface est tout entière d'un même côté du plan tangent.

Si, en particulier, l'indicatrice est un cercle, le point correspondant est dit un ombilic. On voit que tous les points d'une sphère sont des ombilics ;

2** V = 0. La partie de l'indicatrice correspondant à la valeur 4- 1 se compose de dev^x droites réelles parallèles à MY, la partie correspondant à — I de deux droites imaginaires. Le point est dit alors parabolique.

Tous les points d'un cylindre où d'un cône sont des points paraboliques ;

3° Y <^ 0. La partie de l'indicatrice correspondant à la valeur + 1 est une hyperbole dont l'axe réel est dirigé suivant MX ; celle correspondant à la valeur — I, une hyperbole dont l'axe réel est dirigé suivant MY. Ces deux hyperboles ont même asymptotes et sont conjuguées.

La section par un plan correspondant à une valeur positive de z présente aux environs du point M deux courbures opposées dans le sens de MX, et la section par un plan correspondant à une valeur négative de z^ deux courbures opposées dans le sens de MY. La surface est alors dite à courbures opposées.

Dans tous les cas, on voit que, si deux directions sont conjuguées par rapport à Tune des coniques composant l'indicatrice, elles le sont aussi par rapport à l'autre. Il ne saurait donc y avoir d'ambiguïté

fj;^

lorsqu'on parlera de directions conjuguées par rapport à rindicatrice.

Remarque. — Si nous nous reportons à Téqualion de la surface sans supposer cette fois x e\ y infiniment petits, nous voyons que la courbe d'intersection de la surface par son plan tangent en M, dont l'équation s'obtient en faisant z = o dans celle de la surface, a pour tangentes au point M les droites dont Tensemble a pour équation

Or, cette équation est également celle de l'ensemble des asymptotes de l'indicatrice. On voit donc que les asympotes de Vindica' trice sont les tangentes à Vintey^section de la courbe par son plan tangent.

294. Tangentes conjuguées. — Sur une courbe tracée sur la surface à partir du point M prenons le point M' infiniment voisin du premier {fy. 284) et cherchons la limite de la droite d'intersection t du plan tangent en M' avec le plan MXY tangent en M, sur lequel nous supposons tracée l'indicatrice.

FiG. 284.

Coupons la surface par le plan parallèle au plan MXY mené par M • L'intersection t est parallèle à la tangente M'T' à cette section. Mais, d'après ce qui vient d'être vu au numéro précédent, la trace MM, du plan OMM' sur MXY est le diamètre de l'indicatrice, homologue de OM'. En d'autres termes, la tangente M'T' est parallèle à la tangente M,Tj à l'indicatrice; il en est donc de même de t, et, par

suite, la direction de t est conjuguée de celle de MM^ par rapport à Tindicatrice.

A la limite, MMj se confond avec la tangente en M à la courbe MM , / passe par le point M, et on a ce théorème, dû à Dupin : La limite de ï intersection des plans tangents à la surface en M et M', lorsque M' tend vers M, est le diamètre de V indicatrice en M conjugué de la tangente en M à la courbe MM'.

Remarque. — Il n'est nullement besoin de tracer rindicatrîce pour construire la tangente MT conjuguée de la tangente MT.

Portons sur MX et MY les longueurs MA^etMA^ proportionnelles à - et - {*j,

que nous supposons d*abord de même signe [fig, 285), et par les points A^^ et A| élevons des perpendiculaires à MA^ et MA|.

Vu.. 28:i.

Fio. 285 bis.

Si MT coupe AqB au point T et si MT' coupe A,B au point T', nous avons

AJ = MAotg^

AJ'rzrMA, tg^, =

Iff z

fi, *»

Donc

COlRjf'

AJ'

= — »g ? tg o\

Mais, puisque les directions MT et MT sont conjuguées parrappo.t à l*indi calrice, on a

Par suite,

tg * tg ip' = — ;

AoT rr. A J\

•) On trouvera la signification géométrique de c s ((uantités au n«297, formule (2..

GÉOlf. 0B8CBIP.

, la construction suivante : Projelei- le point T en l sur ilh,;ral>allt ■ le sens direct en Ml' sur MA<j, el élever en l' à MA^ wne perpendica ■li coupe BA, au point T'.

construction subsiste lorsque f est de signe contraire à a, pourvu qu

te alors HA, ^ - dans le sens négatif de MY (/ig. 285 bis].

». Tangeute à la courbe d'ombre. — Donnons tout ,e une application de ce théorème : si la courbe MM' est la d'ombre propre de la surface éclairée par un foverluminem F. te de l'intersection des plans tangents en M el en M' est le uinineux passant au point M.

oit donc que la taïujente à la courbe d'onibre propre d'uiie • en un point M est le diamètre de l'indicatrice en M, coniu ratjon lumineux passant en ce point.

: point est un ombilic, toutes les directions conjuguées eu ce )nl rectangulaires. T)onc,enun ombilic, quelle que soitladireci rayon lumineux, Ui courbe d'ombre est normale à cerayon. ! point est paraboli(iue, une direction quelconque a pour concclle des droites qui constituent l'indicatrice. Donc, en un uirabolique. la tangente à la courbe d'ombre a une direction uellc que soit la direction du rayon Imnineux. ndicalrice est hyperbolique et que le rayon lumineux coïncide une des asymploles, il en est de même de sa direction conju- Donc, aux points où le rayon lumineux se confond avec imc fote de l'indicatrice, la courbe d'ombre est tangente à ce lumineux. On sait que de tels points ont reçu le nom de points sage.

». Kayon <le courbure d'une fourbe tracée sur l'face. Théorème de Meusnier. — Considérons une

MM' tracée sur la surface à partir du point M {fiy. â86j el s sur celte courbe le point M' infiniment voisin de M. Abais- 1 point M' la perpendiculaire M'P sur le plan tangent MXY. jint P la perpendiculaire PQ sur la tangente MT à la courbe ingénie qui est contenue dans ce plan. La droite M'Q est perilaire à MT el on a, pour le rayon de courbure R de la

MM' en Min"27VM,

ll-Li,n*^^-

R ^ Lim -^' + y' + ^'-' ç^g p^j.Q

Nous venons de voir que z, donné, aux infiniment petits du troisième ordre près, par

est du deuxième ordre. Donc z- est du quatrième ordre, et on a

Lim .^'\ «cosPArO

(aoT^+YS/ )

= Lim

cos PM'O

acos^» XMP + Y sin^ XMP

L'angle PM'Q est égal à Tanglo que fait le plan MM'Q avec le plan ZMQ. Or, le plan MM'Q a pour limite (n** 273) le plan osculateur de la courbe MM' en M ; Tangle PM'Q a donc pour limite Tangle w que fait ce plan osculateur avec le plan normal ZMT mené par la tangente MT. Quant à Tangle XMP, il a pour limite Tangle 'f que fait MT avec MX. On a donc finalement

ros (1)

Le rayon de courbure R restant le même lorsque co et o conservent la même valeur, on voit, en premier lieu, que le rayon de couy^bure d'une courbe tracée sur la surface au point M est le même que celui (le la section faite dans la surface par le plan osculateur en M à cette courbe.

Si, en outre, nous désignons par R (w)le rayon de courbure contenu dans le plan mené par MT et incliné de Tangle oj sur le plan normal ZMT, nous avons

et, par suite,

R.» = R(o) COSC),

c'est-à-dire que le rayon de couy^hure au point M de la section faitr par un plan quelconque mené par MT est la projection sur ce plan du rayon de courbure de la section faite par le plan normal meiu: par MT. G'^st en cela que consiste le théorème de Meusnier.

Grâce aux deux théorèmes qui précèdent, on voit que Tétude de la courbure des diverses lignes qu'on peut tracer sur la surface à partir du point M se ramène à celle des sections normales faites dans la surface autour de ce point.

On déduit immédiatement du théorème de Meusnier les corollaires suivants :

Corollaire L — Si deux surfaces se raccordent le long d*une courbe, les sections normales faites dans chacune d'elles par la diverses tamjentes à cette courbe ont même courbure au point de contact, car le rayon de courbure de chacune de ces sections, projeté sur le plan osculateur de la courbe de contact doit donner le rayon de courbure de celle-ci.

Corollaire IL — En chaque point de la courbe d'intersection de deux surfaces le plan osculateur est perpendiculaire à la droite qui joint les centimes de courbure des sections norina les faites dans l(*s deux surfaces par la tangente à cette courbe.

Gette dernière remarque est due à Hachette.

2297. Étude des variations de lu courbure des sections normales. Relation d^Euler* — Reprenons la formule (2) du numéro précédent en représentant cette fois par R le rayon de courbure de la section normale. Nous pourrons Técrire

Appelons R,^ et R^ les rayons de courbure des sections principales (n** 293), qui correspondent aux valeurs o et tî de o. Nous avons

Par suite, l'expression (1) de ^ devient

1 cos- cp sin^cp

C'est la relation d'Euler. R, et Rj sont dits les rayons de coi^rhure principaux^ et les centres de courbure correspondants, les centres de courbure principaux.

On voit que si le point M est un ombilic, auquel cas a = y, c'està-dire Rj) = R|, on a, quel que soit 'f , R = R„.

Par suite, toute courbe décrite sur une sphère admet pour ywyon fie courbure^ en chacun de ses points^ le rayon de la sphère. Si le point est parabolique, auquel cas y = o, c'est-à-dire Rj ^=00 ('j, on

COS^ <p

Si nous nous reportons au n** 293, nous voyons que les formules (2) ci-dessus peuvent s'écrire, avec le choix particulier d'axes de coordonnées que nous avons fait,

Ho ^ \}xVo Ri ■" VV/o'

L'Analyse permet de faire le calcul des rayons de courbure principaux, en tout point de la surface rapportée à des axes de coordonnées quelconques. Nous nous contenterons de rappeler ici le résultat de ce calcul : Si on pose, suivant l'habitude admise,

Rjj et Rj sont les racines de l'équation en R

(4i (W— 5»)R2— [(4 + p»)^ — 2pgs + (l+ry2)r]\/l-hp'-t-?*]a-|-(l-|-p2+^2i2-„o.

Remarqua. — Si nous appelons R' le rayon de courbure de la section normale perpendiculaire à la première, nous n'aurons, pour

calculer R', qu'à changer dans (3) cp en 'f -\- zy ce qui donne

R Rq R|

f'jCeci niontrcî qu'en c!»a(juo point d'un cône les sections principales passent l'une parla génératrice, l'antre par la tangente perpendiculaire à celle génératrice. I)ans le cas du cylindre, celle seconde section principale n'esl autre que la section droite.

Ajoutant celte équation à (3), membre à membre, on obtient

résultat qui peut s'énoncer — si Ton se rappelle que la courbure est l'inverse du rayon de courbure (n'' 278) — de la manière suivante :

La somme des courbures de deux sections normales rectamjnlaires est égale à la somme des courbures des deux sections principales.