AT

ToSo

ce qui prouve que le point A est sur la droite SqS^. De là, la construction du rayon de courbure R (*).

(^) Cette construction peut être considérée comme une variante de celle qui a été oblenue. mais de tout autre façon, par M. Mannheim {Cours de Géométrie descriptive, 2* édition, p. 297).

Il auffil, d'ailteurâ, de Taire varier MT depuis MA,, jusqu'en MA'^ pour avoir les rayons de courbure de toutes les sections normalen passant au point M.

On voit que le iieu du point A est une courbe rappelant par sa forme une ellipse. Le rayon de courbure toujours compris entre Rg et R, a pour maximum Rg et pour minimum R, .

Nous avons, dans ce qui précède, tenu compte des signes. La coi que nous avons obtenue est donc absolument générale, pourvu que n vions le sens dans lequel il convient de porter les rayons vecteurs.

Si, par exemple, nous supposons R, négatif, la figure 287 devra < placée par la figure 288, où nous supposons toujours qu'on fait varie h Tt. Les mêmes lettres conservent ta même signification que précëd noua avons en MA le rayon de courbure correspondant à l'angle ^ que, pour la valeur de y choisie sur la figure 288, le rayon de courbu de même signe que MA,,, c'est-à-dire que dans la section normale de la courbure est de même sens que dans la section principale ÏIX.

La courbe, lieu de A, parlant de A^ langentiellement au cercle asymptote à la droite MU correspondant à la valeur i^ de<p, telle qui

R| COtR'f i

igî|

Elle passe ensuite à l'autre extrémité U' de cette asymptote poui tangente en A, au cercle MA,. Le reste de la courbe, correspondant au

de ^ comprises entre ^ et it, est symétrique de la partie déjà tracée port à MY.

On voit que, pour les sections normales dont la trace est comprise dans un des angles UMX et VMX', leVayon de courbure, compris entre R^ et » , est de même signe que Rq. Pour les sections normales dont la trace est comprise dans Tangle UMV, le rayon de courbure, comprisentre R^ et « , est de même signe que H,.

299. Rattachement des variations de la courbure à rindicatrice. — Nous n'avons précédemment envisagé Tiiidicatrice que comme représentant les variations du se?is de la courbure. Nous allons voir maintenant qu'elle peut permettre aussi de suivre les variations de la yy^andeur de la courbure, ou de son inverse, le rayon de courbure.

Remarquons, en effet, que, eu égard aux formules (2) du n^ 297. on peut écrire Téqualion de l'indicatrice

2Ro ^ 2R^ ~

Si donc on appelle p le rayon vecteur du point où la trace MT du plan normal considéré, qui fait l'angle » avec MX, coupe Tindicatrice, on a

p^ cos^ ç. , p^ sin^ <p

2Ro ' "*" 2R, '

2 CQs'^ :p , siii^q) Rq R^

On Irouve ainsi pour p deux valeurs, l'une réelle, l'autre imaginaire ; cela devait être, attendu que tout diamèlre réel dune des branches de l'indicatrice correspond à un diamètre imaginaire de l'autre branche. Nous ne conserverons que la valeur réelle, qui nous donnera dans tous les cas

Ainsi, le rayon de eourbuy^e de toute seetion normale est proportionnel au carré du rayon vecteur déterminé dans P indicatrice pnr l(f tangeyite à cette section au point considère.

Il résulte de là qu'à toute propriété des rayons vecteurs d'une conique correspond une propriété des rayons de courbure d'une surface en un point.

Prenons, par exemple, deux demi-diamètres conjugués p et p' faisant entre eux l'angle a. Les théorèmes d'Apollonius nous donnent

p» 4- p'2 = pj + pî, pV2 sin^a = pjpî,

en appelant p^^ et Pi les demi-axes de l'indicatrice. La formule (1) nous permet de tirer de là les relations

H -f- R' = Rq "f" ^1»

RR'sm^a = Roa,,

qui lient les rayons de courbure des sections normales menées par deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

300. Rayon de courbure du contour apparent d^une surface. — Pour faire connaître immédiatement une application de ces formules,

nous allons déterminer le rayon de courbure en un point du contour apparent d'une surface projetée orthogonalement sur un plan.

Remarquons d'abord que, si le point m du contour apparent est la projection du point M de la surface, le rayon de courbure du contour apjparent en m n'e^t autre que le rayon de courbure de la section droite du cylindre projetant

en M.

Soient donc, en un point M de la courbe de contact de la surface et du cylindre projetant {fig. 289), MX et MY les tangentes aux sections principales dont les rayons de courbure sont Rq et R, ; MG, la génératrice du cylindre pro-

jetant ; MT, la tangente à la courbe de contact; MS, la tangente à la seclion droite du cylindre projetant, droite perpendiculaire à MG en M.

Ainsi que nous l'avons vu plus haut (renvoi du n° 297), les sections principales du cylindre sont celles dont les traces sont MG et MS.

Appelons Rt et Rôles rayons de courbure en M des sections normales de la surface menées par MT et MG, r le rayon de courbure de la section droite MS du cylindre. Chacun de ces rayons vecteurs est, sur la figure 288, désigné entre crochets à côté de la trace de la section normale correspondante.

D'après les conséquences du théorème de Meusnier que nous avons signalées au n^ 296, la section normale du cylindre menée par MT a aussi pour rayoo de courbure Rt. Par suite, la formule d'Ëuler, appliquée au cylindre, donne, en appelant x Tangle TMG,

(1) r == Rt COS^ f a — - l -- R^ sin^a.

Mais les formules (2) et (3) du numéro précédent, appliquées à la surface, donennt ici, si Ton se rappelle (n'' 295) que MT et MG sont deux diamètr conjugués de Tindicatrice,

(2) Ri + Ro-Ro + Rn

(3) RtRg sin=»a== RoR<.

De(l) et (3) on tire

(4) ^^ï^' que la formule (2) permet de transformer en

^ft'M

R^ + R< — Rt

La formule (4) montre que, si Rq - « , r zi- o, c'est-à-dire que,« la génératrice du cylindre projetant se confond en M avec une asymptote de findicatrice, le rayon de courbure r du contour apparent est nul.

En d'autres termes, le point m est alors un point de rebroussemenl sur la

projection.

Si nous appelons y Tangle que fait MG avec MX, la relation d'Ëuler appliquée

à la surface donne

i cos^ Y sin^Y

Rg Ro ^i

et la formule (4) devient

(6j r -, R^ cos2 Y + Ro sin * y,

ou, en appelant d Tangle de MS avec MX,

(6 bis) r ^^Rq cos^ <y + R< sin* <j.

Cette dernière formule a, par une voie toute diflerente, été obtenue par M. Mann heim (M

Dans le cas, dont nous parlerons plus loin (n^ 315), où l'on a en chaque point de la surface R^ -}- R, : o, les formules (4) el (5) deviennent

RJ ^ — Bar .-^ Rir.

La formule (6 bis) conduit à une construction facile du rayon de courbure en M du contour apporent de la surface sur un plan normal passant par MSqui fait avec MX l'angle a {/îg. 290). Cette formule peut, en efl'el, s'écrire

Rq — r yin^ g

r — R| ~ cos^a

Supposons porté le rayon r en MA sur MS, et menons par

S„et S| des perpendiculaires respectivement à MA^ et MA^, perpendiculaires qui se coupent en H. Nous avons

Ro — r=:ASo, r— R^rrrS.A, S^H :^ S^S^ cos g, So» =: SoS< sin (T. La formule précédente devient donc

ASo

SaH^

Sili-

ce qui prouve que le point A est le pied de la perpendiculaire abaissée de U sur SjSq.

Celte construction (2), comme celle du n^ 298, est absolument générale, pourvu qu'on ait égard aux signes, c'est-à-dire pourvu qu'on trace, dans le cas où R^ est négatif, la demi-circonférence MA, au-dessous de MX et non au dessus comme sur la figure 290.

301. Axes de courbure. Théorème de Sturm. — La perpendiculaire élevée à chaque section normale par son centre de courbure est Taxe de courbure de cette section. Par suite, l'axe de courbure de la section principale faite par MZKy qui est dit un axs de courbure principal^ se trouve dans le plan MZY, et réciproquement.

(') Cours de GéométHe descriptive de VfLcole Polytechnique^ 2* éd., p. 322. {}) M. Mannheim a cgalemenl obtenu, mais par une voie toute ditTérente, une construction qui se ramène immédiatement à celle-ci {Cours de Géométrie descriptive, 2* éd., p. 322).

Ces deux axes de courbure principaux sont, importants à considérer en raison de la propriété que nous allons maintenant démontrer.

La normale à la surface au point {ce, y^ z) infiniment voisin dupointM peut, aux infiniment petits du troisième ordre près, être remplacée par la normale ^u point M' du paraboloïde osculateur

2Rt>^2R,

-qui a même œ et même y.

La normale en ce point dont les équations sont

^ pour projection sur le plan de section principale MXZ la droite

Cette droite coupe MZ au point N^ [fig. 291) dont Tordounée^o est donnée par

C^^ nz \x^-f- Z,

Si Co est le centre de courbure de la section normale contenue dans ZMX, on a MCq = %- Si donc nous projetons la projection M'q de M' sur MXZ en m\ sur MX, nous avons

m'oM'o == -3- =r CA,

et M'qNq est parallèle à w'^Gq (*).

Gela posé, cherchons la plus courte distance

entre la normale en M' et Taxe de courbure de la section principale MXZ, parallèle à MY et projeté sur la figure 291 en C^. Il nous suffit pour cela de prendre la distance d'un point quelconque de cet ^xe, Gq par exemple, au plan mené par la normale parallèlement à cet axe, <î*est-à-dire parallèlement à M Y. Ce pion, perpendiculaire à MXZ, a pour trace sur ce plan la droite M'^jN^,. La plus courte distance cherchée est donc égale à la dislance GqHq du point C^ à la droite M'^N^. On a pour celte distance

Fio 291.

Go"o — ^0^0- ^^® ^o^o"o'

(>) On voit ((lie, pour le paraboloïde, cclli^ propriété est vraie, même si on ne suppose pas j", ?/. z, intiiiimeiit petits.

OU d*après le lemme,

c'esl-à-dire, puisque Mw',j = a^, et MCq = Rq,

CoHo =

Comme z est du deuxième ordre (n° 293), r du premier, et que R^, esl fini, on déduit de là que CqHq est un infiniment petit du troisième ordre. De même pour le second axe principal de courbure.

On peut donc dire, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, que la normale à la surface en tout point infiniment voisin de M rencontre les axes de courbure principaux relatifs à M. Ce théorème est dû à Sturm.

Corollaire, — Si le point M' est dans le plan MZX, la normale en M' rencontrant en outre A,, qui est dans MZX, est tout entière dans MZX, et comme elle renccgilre aussi A^ elle passe par G^. Ainsi, si télément MM' est dans un des plans de section principale , la normale eti M' (toujours en négligeant les infiniment petits du troisième ordre) est tout entière dans ce plan et passe par le centre de courbure de la section quil contient,

30!S. Angle de deux normales fnflniment voisines. -^ Soit dv Tangle que la normale en M' fait avec la normale en M. On a, en vertu de> équations de la normale, écrites au numéro précédent.

cos^r/i? =

— 4-^-^1 Rjî ^ Rî ^

cos^ dv =

ou encore, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre auprès de ceux du second,

COS^ rfy = 1 — . ds^ (""ÏÏQ "i" "Rî )

c*esl-à-dire

En négligeant encore des infiniment petits du quatrième ordre, on a donc

Si le point M' est sur une asymptote de l'indicatrice, on a

tg^?

et la formule précédente devient

303. Déviation. Formules de M. •!• Bertrand et d'Ossian Bonnet* — L'angle d^ que la normale M'Z' à la surface, au point M' infiniment voisin de M, fait avec le pian normal MM'Z, est appelé la déviation lo long de l'élément MM' {fig, 292) f* }.

D'après le théorème de Sturm (n' 301 1 on peut considérer que la normale M Z' rencontre en des points N^ et N, les axes de courbure principaux A^ et A^ situés respectivement dans les plans MZY et MZX.

Si M'q est la projection de M' sur le plan MXZ, la projection de la normale M'NjN^ est la droite M'^NjC^, et nous avons par les triangles semblables CoG^N^ etCoOM'o,

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Fk;. 292.

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