OC

ou, puisque OM, c'esL-à-dire le z du point M', est un infiniment petit du deuxième ordre,

^i^i tlp — Rt OM' coscp R^j

OM' ne différant [de l'arc MM' ou cfe que d'un infiniment petit du troisième ordre, on tire de là

r. V < /.y COSCP (R„ — RJ

Soit D^ la projection du point M' sur le plan horizontal mené par A,. La trace du plan ZMM' sur ce plan horizontal est C^D^ faisant avec A^ Tangle ©, et la projection de N^ sur ce plan est un point H^ de C^D^.

(1) Sur la figure 292, pour un observateur ayant les pieds en M et la tête en M', la normale, en passant de la position MZ à la position M'Z', s'incline de droite à gauche: ici. par conséquent, l'angle ci'\> doit être considéré comme positif.

L'angle d^ étant celui que la normale M'N^ fait avec sa projection sur le plan M'MZ n'est autre que Tangle H,M'N,.On a donc, dans le triangle H^M'N^, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

^ M'H, ou, puisque Tangle C^H^N^ est droil,

.1,. = CjN, sin ^ M'H,

L'angle H|M'D^ étant infiniment petil^etH^D^M' droit, M'H^ ne diffère deM'D, que d'un infiniment petit du deuxième ordre. Mais M'D^ ou OC^ ne diffère luimême de MG4 ou R^ que d'un infiniment petit du deuxième ordre.

On a donc

ou, en remplaçant Cf M f par sa valeur obtenue plus haut,

'^ = (ïï; ~ è) ''" =? "" f '''■

C'est la formule de M. J. Bertrand. On en déduit immédiatement][que, si

^ = o OU <p 1^ ^» c'est-à-dire si l'élément MM' est dans l'un des plans MZX ou

MZY, la déviation est nulle. On retrouve ainsi le . 2' 2

corollaire qui termine le n° 301.

On voit aussi que, pour deux directions rectangulaires, c'est-à-dire telles que ^ = ^'\- 80**, on a

d^ -\- d'If' = o.

On peut donner d'autres expressions de la déviation. Projetons, par exemple, la figure sur un plan perpendiculaire à MM' [fig. :293). Nous pouvons, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, considérer les normales MZ et M'Z' à la surface, de même que les normales principales MiN et M'N' A la courbe gauche MM', comme perpendiculaires à MM'.

Nous voyons alors que fangle ZMZ' n'est autre querf^, l'angle MMN' celui des plans osculateurs NMM' et N'M'M de la courbe MM', c'est-à-dire son angle

FiG. -293.

de torsion y^ (n* 276), enfin les angles ZMN et Z'MN' ceux, w et tu -f ^w, que les plans osculateurs NMM' et N'M'M font avec les normales MZ et MT à la surface.

Cela, posé, on a

ZMZ' = ZMN + NMN— Z'MN ,

d'\t = M -]- r\ — (to -f- (h'i)j

c'est-à-dire

2 d'^ =z fi — doy.

Cette formule est due à Ossian Bonnet.

304. Mesure de la courbure d'une surface en un point. — Nous venons d'étudier la courbure des lignes tracées sur une surface à partir d'un point. La question se pose de savoir si on peut définir pour la surface elle-même un élément jouant un rôle analogue à celui que joue la courbure telle qu'elle a été définie pour les courbes.

Gauss, à qui la question s'était présentée, l'a résolue en se fondant sur l'analogie suivante : Si 'l'on se donne dans le plan d'une courbe plane un cercle de rayon égal à 1 , et que l'on mène par le centre de ce cercle des parallèles aux normales à la courbe, l'angle de deux de ces normales est mesuré par l'arc du cercle compris entre les rayons qui leur sont respectivement parallèles.

Si donc Sq est l'arc du cercle correspondant à l'arc infiniment petit s de la courbe, on a, pour la définition de la courbure G,

C =: iim ^•

Prenons de même dans l'espace une sphère de rayon égal à 1, et entourons un point M de la surface considérée d'un contour fermé G infiniment petit, limitant une calotte d'aire a-; puis, menons par le centre de la sphère des parallèles aux normales à la surface le long du contour G. Nous obtenons ainsi un cône découpant sur la sphère une calotte infiniment petite d'aire t^,. Dès lors, par extension de la définition admise pour le cas d'une courbe, nous appellerons courbure totale de la surface au point M la quantité G, définie par

C, = Lim ^.

Résultat bien remarquable, T Analyse prouve que G, s'exprime en fonction des rayons de courbure principaux par la formule (^)

Ci =

R|Rq

De son côté, la célèbre mathématicienne Sophie Germain, se fondant sur ce que la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires est constante en un point (n° 297, Remarque)^ a été amenée à prendre comme mesure de la courbure de la surface en ce point la moyenne constante de ces courbures, qu'elle a appelée la courbure moyenne de la surface en ce point. Représentant cette courbure moyenne par G^, on a

^"•-sIro + rJ'

Les éléments G^ et G,„ jouent un rôle important dans la théorie des surfaces. On peut remarquer toutefois que ni l'un ni l'autre, pris comme mesure de la courbure de la surface, ne répond exactement à ridée qu'on attache ordinairement à ce mot de courbure.

En effet, si l'un des rayons de courbure est infini en tout point de la surface (2), la courbure G, de la surface est nulle en tous ses points. Or, dans le langage courant," le plan seul sera dit dépourvu de courbure.

De même, si, en chaque point de la surface, les rayons de courbure sont égaux et de signes contraires, la courbure G^ est nulle. Or, toute section faite dans une telle surface par ses plans normaux présente une courbure. Ici donc encore il y a une sorte de contradiction entre la définition mathématique et l'usage constant.

En cherchant à écarter cette objection, M. Gasorati ("^j a été amené aune autre définition. Ayant tracé autour du point M de la surface un cercle infiniment petit d'aire t, il porte sur chaque rayon de ce cercle la longueur de l'arc du cercle de rayon 1 mesurant l'angle que la normale à la surface menée par l'extrémité de ce rayon fail avec la normale en M. Il appelle y^ l'aire comprise dans le contour

(*) Nous reviendrons plus loin (n<> 307) sur ce point. (2) !^ surface est alors une développable,

P) Le mémoire de cet auteur a paru dans les Acta mathcmatica^ 1. XIV, p. 95. otoM. uescRip. 22

infiniment petit ainsi construit et donne le nom de courbure à la quantité G, définie par la relation

C, = Lim ^'^• ï

Il a obtenu de cette quantité GJ l'expression remarquable que voici

Nous proposerions, d'après cela, de donner à G, le nom de covrbure moyenne quadratique.

On voit que G,^ ne s'annule que lorsque R^j et R, sont tous deux infinis. Donc, si cette définition est admise, le plan est la seule surface ayant une courbure nulle en tous ses points.

Remarquons, d'ailleurs, que les courbures G„ G„, et G, sont liée, par. la relation.

pa — ^^ + ^^ / .

305. Courbure et lor&iioii géocléslques. — Toutes les notions auxquelles nous nous sommes attachés ju5qu*ici n'ont d'autre but que de faire <;onnaître Tallure d'une surface d?ins le voisinage immédiat d'un point donné. Si Ton veut être renseigné sur l'allure générale d'une surface, on se trouve amené a envisager certaines courbes jouissant de propriétés spéciales surloule son étendue. Avant de passer à Télude de quelques-unes de ces courbes, nous allons définir deux éléments infinitésimaux relatifs aux courbe? tracées sur une surface, mais liés à cette surface.

Nous avons vu (n° :>96) que, ?i R est le rayon de Courbure au point M d'une «ourbe tracée sur la surface et dont le plan osculateur en M fait langle w avec la normale à la surface, la quantité

cos o> ~R~

est égale à la courbjre de la section faite dans la surface par le plan normal mené par la tangente en Isl à la courbe considérée. On dit, pour celte raison, -que C„ est la courbure noj'mafe de celte courbe.

De même, la quantité C0, définie par

est dite sa courbure géodésique. Le théorème de Meusnier permet de voir immédiatement que Ci; n'est autre que la courbure en M de la projection de la courbe sur le pian tangent à la surface.

Nous avons appelé d'^ (u^ 303) l'angle que le plan normal à la surface, tant gent à la courbe MM' en M', fait avec la normale en M à la surface. Représentant par ds la différentielle de l'arc MM', on appelle lorsion géodésique la quantité te g définie par

La formule de M. Bertrand [n^ 303, form. (1)] donne

(3) ^o = ^w- ij '*" ^ '«' ^'-

Cette formule montre que la torsion géodésique est la même en un point d*une surface pour toutes les courbes de cette surface qui ont même tangente en ce point et, en outre, que pour deux directions rectangulaires on a

(4) Gj + ç'^ = o.

La formule d'Ossian Bonnet [n® 303, form. (2)] donne de même

en représentant par G la torsion propre de la courbe.

306. Lignes de courbure. — Monge a eu Tidée de considérer sur toute surface les lignes qui indiquent en chacun de leurs points la direction de la courbure normale maximum ou minimum de la surface, el il leur a donné le nom de lùjnes de courbure. D'après ce que nous avons vu au n° 299, une telle ligne sera, en chacun de ses points, tangente à un axe de l'indicatrice correspondante.

En chaque point de la surface passent donc deux lignes de courbure se coupant à angle droit. En d'autres termes, les lignes de courbure forment sur la surface un réseau orthogonal. Si, en tous

Dr ,

fc*

ses points, la surface n'a que des courbures de même sens, on voit que les lignes de courbure de l'un des systèmes, tangentes aux grands axes des indicatrices, donnent les directions des plus petites courbures normales de la surface; les autres donnent celles des plus grandes courbures.

En un ombilic, l'indicatrice étant un cercle, tous ses diamètres sont des axes, et, par suite, chacun d'eux est tangent à une ligne de courbure. Les ombilics sont donc des centres de rayonnement pour le réseau des lignes de courbure.

Sur la sphère, tout point étant un ombilic, il en résulte qu'une courbe quelconque tracée sur une sphère est une ligne de courbure de cette surface.

Le corollaire du théorème de Sturm, donné à la fin du n"* 301. montre que deux normales infiniment voisines à une ligne de courbure se rencontrent, aux infiniment petits du troisième ordre près; en d'autres termes, les nortnales à une surface le loiuf (Tune de ^rv lignes de courbure sont tangentes à une ^nchne courbe gauche '';. L'Analyse permet de voir que les lignes de courbures sont les seules lignes tracées sur la surface qui jouissent de cette propriété ; aussi sert-elle parfois à les définir.

Si Ton pose, suivant l'usage, t-, -- j)y 7" = î» les lignes de courbure sont caractérisées par l'équation

La formule (3j du n** 305 montre qu'en tout point d'une ligm de courbure la torsion géodésiqae est nulle.

307. Usage des lignes de courbure pour le calcul de la courbure totale de la surface. — Sur les lignes de courbure passant au point M de la surface, predons les arcs inOniment petits ds^^ = MM^et ds^ = MM|, et traçons par le point Mq la ligne de courbure de même système que MMf, par Mf la ligne de courbure de même système que MM^ ; nous obtenons ainsi un rectangle élémentaire MMoM'M^fdont Taire 9 est donnée par

ff m dsQ,ds^»

Or, d'après le corollaire du théorème de Sturm (n** 301), on a, en appelant t^

(•) Ce passage sera précist* plus loin (n° 360).

LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE et (, les angles que les normales en Mj et M, Tonl avec la normale e

Les rayons parallèles aux normales en M, M„, M,. M' découpt sphère de rayon 1 un rectangle élémentaire dont les côtés sont t^, suite, dont l'aire Oj, est donnée par

Il vient donc pour la courbure lolale Ci telle qu'elle esl définie pai

■ ^ », R(iR,