Théorèmes de Uiipin sur les lignes de cour

Reprenons la formule d'Ossian Bonnet [a* 303, form. (o)J.

et supposons que par la courbe tracée sur la surface S nous fassic une seconde surface S', Nous aurons pour la même courbe considért appartenant & celte surface S'

en appelant V l'angle sous lequel se coupent les deux surfaces au f sidéré.

Si ^ = o tout le long de la courbe d'intersection, c'est-à-dire si ds surfaces se coupent sous un angle constant, on a ç^ = Ç'j. Si donc P le long de la courbe, c'est-à-dire si la courbe d'intersection est un courbure de lasurface S (n" 306, dernier alinéa), on a aussi F', = o to de celle courbe. Donc :

Si deux surfaces S et S' se coupent suivant une courbe C sous un a tant et si C esl une ligne de courbure de S, elle est aussi une lign bure de S'.

Ce théorème montre, en particulier, que les intersections d'un t

ir les sphères qui ont pour centre le sommet de ce cùne sont de* ourbure de celui-ci, puisque d'une part chaque sphère coupe orihtiit le cône tout le long de leur courbe d'intersection et que d'autre courbe tracée sur la sphère en est une ligne de courbure [n' 306 . . système des lignes de courbure est formé par les génératrices. Le ,'stème, dans le cas du cylindre, se réduit aux sections droite s de ce

iule précédente montre aussi que ^i on a à la fois e, = o et E', = o. te nécessairement rfV;=o. C'est-à-dire que sila courbe d" intersection trfaces est une ligne de courbure pour chacune d'elle), ces surface» k ' long de celle courbe sous un angle constant. orémes sont de Dupin, mais le plus important de ceux auxquels le :;et illustre géomètre soit resté attacbé, dans cet ordre d'idées, est nous allons maintenant démontrer.

systèmes de surfaces (S), (S'). (S') sont tels que deuK surfaces prises miére quelconque dails deux systèmes ditTérenls se coupent tout le :ur courbe d'intersection sous un angle droit, on dit que leur ensemble un système triple orthogonal.

is troissurfacesquelconquesS, S'et S" dans ces trois systèmes. Appeintersection de S et S', G' celle de S' et S, C celle de S' et S'. Nous .erons en outre par

torsion géodésique de la courbe C prise sur la surface S' — — C — — S'

le les surfaces se coupent deux à deux en tout point de leur interseci un angle droit, la formule ci-dessus donne

jtre, les courbes C, C et C étant deux à deux orlhogonales, la fordu n' 304 donne

Ej. + eV - o, G'j + G"s, = o, &",,■ + Pj- ^ o.

i Çj, c'a pt ^\. des équations (i) pour les porter dans les équations ';i)

5»' + S'»' ^ o, 6'j-;.+ E"î = o, G'j, -f G„- - 0. ionnant ces trois dernières équations membre à membre, on a

et en retranchant de celte dernière chacune des équations (3)

&'f^ = o, ^f,- — o, GV = 0.

Donc aussi, d'après les équations (1),

Ces six dernières égalités niontrenl que chacune des courbes C, C, C" est une ligne de courbure de chacune des surfaces S, S', S"" sur lesquelles elle se trouve. De là, le théorème de Dupin :

Les surfaces cTun système triple orthogonal se coupent cTun système simple à un autre suioant leurs lignes de courbure.

Applications aux quadriques. — On sait que toutes les surfaces du second ordre, ou quadriques, qui ont pour foyers les six mêmes points, c'est-à-dire qui ^ïiihomofocales^^Q partagent en trois systèmes simples composés : Tun d'ellipsoïdes, le second d'hyperboloïdes à une nappe, le troisième d'hyperboloïdes à deux nappes, et que de l'un à l'autre de ces systèmes deux surfaces quelconques se coupent à angle droit tout le long de leur courbe d'intersection. L'ensemble de ces trois systèmes de quadriques homofocales forme donc un système triple orthogonal. Par suite, le théorème ci-dessus lui est applicable. Delà un moyen d'obtenir. les lignes de courbure d'une quadrique à centre. On voit, par exemple, que toutes les lignes de courbure d'un môme système d'un ellipsoïde sont données par ses intersections avec les hyperboloïdes à une nappe qui lui sont homofocaux, celles de l'autre système par ses intersections avec les hyperboloïdes à deux nappes qui lui sont homofocaux.

309. Lignes asymptotiques. — Nous avons vu, à propos des courbes gauches (n*" 273), que le plan osculateur en un point d'une telle courbe est celui qui a, en ce point, avec la courbe le contact le plus intime. Or, il est en chaque point d'une surface un plan qui se lie aussi à elle plus étroitement que tout autre (à savoir le plan tangent). Il est donc tout naturel d'envisager, parmi les lignes tracées sur une surface, celle dont le plan osculateur en chaque point est tangent à celte surface.

Toute ligne tracée sur une surface est, en chacun de ses points M^ tangente à Tintersection de la surface par son plan osculateur. Or, ici, ce plan osculateur est tangent à la surface en M ; la section qu'il fait dans la surface est, par suite, tangente en M aux asj^mptotes de Tindicatrice (n** 293, Rem. finale). On voit donc que les lignes qui nous occupent sont, en chacun de leurs points, tangentes à une des asymptotes de Tindicatrice correspondante. De là, le nom de lygnes asymptotiques qui a été proposé pour elles par Dupin.

D'après cela, on voit que par chaque point de la surface passent deux lignes asymptotiques tangentes chacune à une des asymptotes de Tindicatrice. Aux points paraboliques elles sont donc tangentes entre elles. En chacun de leurs points Téquation

où

sera satisfaite.

rdœ^ + ^dœdy -f- tdy^ ^=z o

Il y a lieu de remarquer que, dans le cas des lignes asymptotiques, Tapplication du théorème de Meusnier pour la recherche de la courbure devient illusoire, attendu qu*ici le rayon de courbure de la section normale étant infini

et l'angle du plan osculateur avec cette normale égal à y Texpression du

rayon de courbure donnée par le théorème de Meusnier se présente sous la

forme o X ^=«. Mais on doit à M. Beltrami ce beau théorème:

Le rayon de courbure en un point d'une ligne asymptotique est égal aux

^ du rayon de courbure de la branche de l'intersection de la surface par son

plan tangent en ce points qui lui est tangente.

Remarquons maintenant que la courbure normale --=r- de la ligne asympto-

tique est nulle en toits ses points^ et sa courbure géodésique égale à sa

courbure propre^ puisque w ==: o.

D'autre part, puisque w = -? on a — = o ; par suite, la formule d'Ossian

Bonnet |n° 305, form. (5)] donne 6» = 5. La torsion géodésique delà ligne asymptotique est égale à sa torsion propre.

Calculons cette torsion par la formule de M. Bertrand [n® 305, fàrm. (3) > Nous avons

^' = (\Rf ) -«* ? -^-

Or, puisque la direction de la tangente est celle d'une asymptote de Tindicatrice, on a(*)

(») Voir la forme de l'équation de Tindicatrice donnée au n* 299.

OU

sin^ 9 = ^"T, ^ > C06* 9 = "^^ — *•

Par suite

(RoR,)» (Ro - U,)* ~R«R,

ou, en faisant intervenir la courbure totale C< (n" 304),

Ainsi, en chaque point d'une ligne asymptotique le caiTé de la tmmon et la courbure totale de la surface en ce point ont une somme nulle. Cette remarque est due à M. Enneper.

3tO« Lignes conjuguées. — En chaque point d'une surface les tan gentes aux deux lignes de courbure sont les axes de Tindicatrice, c'est-à-dire des diamètres conjugués de cette courbe, la tangente à chaque ligne asymptotique est une asymptote de l'indicatrice, c'est-à-dire qu'elle est sa propre conjuguée.

Il est donc tout naturel de considérer plus généralement les réseaux formés par deux systèmes de courbes tels qu'en chaque point les tangentes aux courbes de l'un et l'autre systèmes soient deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

Nous nous contenterons ici d'indiquer une remarque de M. Kœnigs qui permet de construire géométriquement sur une surface autant de réseaux conjugués que l'on veut.

Par une droite quelconque D menons une série de plans sécants P, qui déterminent sur la surface S des courbes p ; circonscrivons, en outre, à S des cônes G ayant leur sommet A sur la droite D et touchant S suivant des courbes e. V ensemble des courbes c et p constitue un réseau conjugué de la surface S.

Prenons, en effet, en un point M de la surface S, la tangente à la courbe p passant en ce point ; cette tangente étant dans le plan P rencontre en un point A la droite D contenue dans ce plan. Passant par le point A et étant tangente à la surface S, elle appartient au cône G de sommet A. Donc, d'après le théorème de Dupin (n° 294), elle est conjuguée, par rapport à l'indicatrice du point M, de la tangente à la courbe c en ce point.

311. Lignes géodésiques* — Après avoir considéré (n* 309) les courbes dont le plan osculateur est tangent à la surface, on est tout naturellement conduit à envisager celles dont le plan osculateur est normal à la surface, c'est-à-dire dont, en chaque point, la courbure est la même que celle de la section normale de

VPITRB VU. — SURPAGES EN aÉNÉBAL

II passe évidemment une iiiôiiité de telles courbes Elles ont reçu le nom de lignes géodèsiques.

dnition même de la ligne géodésique, sa courbure de à sa courbure propre. La courbure géodé-

ulle, puisque w = o. Autrement dit, la projeclion

ésique sur son plan tangent présente une inôeiion. me à ce que nous avons vu à la fin du n' 280, car, ipale à la géodésique se confondant avec la normale pian tangent à la surface se confond avec le plan géodésique. On déduit de là qu'un triangle iafinipar trois arcs de géodèsiques se confond sensibleangle plan.

- := o, la form ule d'Ossian Bonnet [n° 305, form. (S]" montre

ire de la géodésique est égale à sa torsion géodésique. C'est mt le nom de ce dernier élément. Nous avons vu, en effet, iiiloiir d'un point pour toutes les courbes qui ont même il [il" 303, form. (3)]. On pcul donc dire qu'en ctiacun de ses Jodésique d'une courbe tracée sur une surface est la torsion ji lui est tangente en ce point.

^odésîques considérées comme lignes de

nimum. — La considéralion des géodèsiques

ance particulière dans le fait que ces courbes joueul

laquelle elles se rapportent le même rôle que les

in.

1 effet, qu'une courbe constitue sur la surface le in entre deux quelconques de ses points et prenons I deux points infiniment voisins M et M'. La courbe en M est la même que celle de la section faite par son plan osculateur. Si donc nous coupons la série de plans passant par la corde MM', celui de ■a osculateur à la courbe cherchée sera celui pour de la section faite dans la surface sera minimum. = dl, arc MM' =^ ds et appelons R le rayon de section plane considérée, t l'angle que font entre s à cette section en M et en M', Nous avons

et

dl

= 2R.sin| = R(e-0

Entre ces équations éliminons s ; il vient

dl = ds - ' ^

La différence entre ds et dl^ égale à ôJûï' étant du 3'*"*'' ordre, celle entre ds"^ et dP est du 5^^"** (*). On peut donc écrire

dl = ds - — j^- ,

d'où:

dl^

Ainsi, pour la même corde c//, Tare ^5 sera minimum quand R sera maximum, c'est-à-dire, d'après le théorème de Meusnier, quand le plan de la section sera normal à la surface.

Donc, la courbe considérée est telle que le plan osculaleur en chacun de ses points est normal à la surface ; c'est , par suite, une éodésique.

L'analogie qui résulte de là entre les géodésîques d'une surface et les droites d'nn plan se poursuit dans un grand nombre de propriétés. En voici quelques exemples simples:

I. — Si sur chacwie des géodésiques issues d'un point on porte des arcs égaux ^ le lieu des extrémités de ces arcs est une courbe normale à toutes ces géodésiques.

Soient, en effet, MP' et MP* deux arcs égaux pris sur des géodésiques infiniment voisines issues de M {/îg, 294). Nous allons faire voir que les angles sous lesquels ces arcs coupent l'arc P'P" sont droits. S'il n'en était pas ainsi, l'un d'eux F' serait aigu. Dès lors, en menant P"Q

tel que P'P*Q > PT'Q, nous aurions dans le triangle infiniment petit PT'Q, assimilable à un triangle plan,

QF<QP'

(*) On peut écrire, en cfTet, iLs^ —(U^-{cU — dl) (ds^ -j- ds.dl — dl^}; cl, dans b second membre, le premier facteur esl ihi 3'*'*'' et le second du 2'*'™*'.

--'^fvm

OU MQ + QP"<MQ + QP'.

Or, MQ + QP' = MF = MP'', par construction. On aurait donc

MQ + QP" < MP%

inégalité contraire à l'hypothèse, attendu que MF' étant un arc de géodésiqoe est, sur la surface, le plus court chemin entre M et P*'.

Ainsi, Télément P'F est nécessairement normal en P' et en F aux arcs MP" et MF. La propriété s'étend à toute la courbe lieu des extrémités des arcs géodésiques issus de M égaux entre eux, courbe que, pour cette raison, non* appellerons une circonférence géodésique (').

II. — Si sur chacune des géodésiques normales à une courbe quelconque tra-

céesur la surface on porte des arcs égaux ^ le lieu desextrémités de ces arcs est une courbe normale à taules ces géodésiques.

Soient, menés par les points M et M' infiniment voisins X — -^t) sur la courbe (M) {/ig, 295), les arcs de géodésiques égaux

MP et M'P', et soit (P) la courbe lieu du point P. Tirons

rio. 295. ., %grr%

I 1 arc M P.

D'après le théorème précédent, le lieu des extrémités des arcs de géodésiques issus de P et égaux à PM est une courbe tangente en M à (M). Si donc M, est le point où ce lieu coupe normalement PM', la différence M^M' = PM' — PM< est du deuxième ordre ; par suite, la différence PM' — PM, ou M'P — M'F, qai lui est égale, est aussi du deuxième ordre. Il résulte de là que la courbe (P) cft tangente en P' au lieu des extrémités des arcs de géodésiques issus de M' el égaux M'P' ; ellejest donc normale en P' à M'P'.

Par extension de la définition donnée dans le cas du plan, on dit que les courbes (M) et (P) soni parallèles sur la surface.

Remarque. — Un fil astreint à s'appliquer sur une surface et tendu entre deux points de cette surface donne la plus courte distance entre ces points sur cette surface. Il dessine donc une ligne géodésique de la surface.

313. Définition des coordonnées curvilignes. — De même que, pour Tétude des figures tracées sur un plan, on emploie des systèmes de coordonnées qui n*empruntent aucun élément extérieur au plan, il semble rationnel, pour étudier les lignes tracées sur une surface, d'avoir recours h des systèmes de coordonnées liés uniquement à cette surface. Voici comment lanotioD

(^) Dans ses belles Leçons sur la Théorie générale des surfaces {t. lU, p. 131), M. Darbous appelle cercles géodésiques les lignes tracées sur la surface qui ont une courbure géodésique constante. Ces courbes diflerent de celles que nous considérons ici. C'est pourquoi nous adoptons pour celles-ci le nom de circonférences^ bien que ce soit à elles que la plupart des auteurs appliquent le terme de cercles géodésiques.

de ces coordonnées nouvelles, dites coordonnées curvilignes ^ a été introduite dans la théorie par Lamé :

Les coordonnées de tout point de la surface S dont Téquation est

peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres u ^i v par des équations telles que

(2) <p< (a?, «, V) — o, cpa (y, m, v) -^ o, 93 {z, w, v) = o.

Il suffit, en effet, que Télimination de w et v entre ces deux équations reproduise la précédente. On peut également, en éliminant successivement Tun des paramètres u eiv entre deux de ceséquations, former les suivantes

On voit ainsi qu'à chaque valeur de u ou de v correspond sur la surface S une courbe donnée par son intersection respectivement avec la surface f^ = o, ou avec la surface f^ = o. Par chaque point M de la surface passera une courbe (m) et une courbe (i?), et les valeurs de ces paramètres pourront servir à déQnir la position de ce point M sur la surface. Ce sont ces paramètres qui seront dits les coordonnées curvilignes du point M.

Remarquons que, Téquation (i) étant donnée, on peut prendre arbitrairement deux quelconques des trois équations (2). La troisième résulte alors de Télimination de x et g entre ces deux équations et (1). On peut donc faire variera volonté le réseau des courbes [u] et {v) sur la surface.

L'application de tels systèmes de coordonnées à Tétude des courbes tracées sur une surface est des plus fécondes. D'abord entreprise par Lamé, elle a été poursuivie par nombre de géomètres, parmi lesquels il convient de citer Liouville, Ossian Bonnet, Ribaucour, M. Darboux, etc

Nous nous bornerons à la seule remarque qui suit.

314* Élément linéaire d'une surface. — Si on exprime au moyen des coordonnées u et v lu distance ds de deux points infiniment voisins {u, v) et (w -|- duy V -\- dv) de'la surface, dislance dite Vêlement linéaire de la surface, on trouve bien aisément

ds^ = Xdu^ + 2Bdudv + Gdv\

On voit, en outre, que

sont les cosinus directeurs des tangentes aux courbes (v) et (u). Si donc ce« courbes forment sur la surface un réseau orthogonal, on a B - o, et l'expression de rélément linéaire devient

ds^ = kdu^ + Cch^

Gauss a démontré ce théorème très important que la courbure totale peui ^'exprimer en fonction ûfé A, B, G seulement et^ par suite, qu'elle est la même aux points où A, B, C, ont les mêmes valeurs.

Divers géomètres ont étudié les lignes le long desquelles la courbure totale est constante (*). Mais il est surtout intéressant de rechercher les surfaces pour lesquelles cette courbure est la même en tous les points. La déterminatioo de ces surfaces peut, comme Ta fait voir Ossian Bonnet, se ramener à celle (ie< surfaces pour lesquelles la courbure moyenne est constante en tous les points.

Les surfaces à courbure totale nulle en tous les points seront étudiées plu< loin en détail (Ghap. viii, § 3).

Nous allons, dans le numéro suivant, donner quelques notions succioctes sur les surfaces à courbure moyenne nulle en tous les points.

315. Surfaces mlnima* — Parmi toutes les surfaces qu'on peut faire passer par un contour gauche donné, il en est une dont Tétendue est minima. Une telle surface est dite surface minima^ ou, suivant la terminologie de Ribaucour, un élassoîde.

Le physicien Plateau a fait voir qu'on pouvait réaliser une telle surface en plongeant dans un liquide glycérique le contour, construit matériellement au moyen de fils métalliques fins et rigides. La membrane mince, formée de molécules de ce liquide, qui adhère au contour lorsqu'on le retire, est une surface minima.

Lagrange, le premier, en 1760, s'est occupé de ce problème, dont il a donne les équations différentielles.

Meusnier, en 1776, a entrepris sur le même sujet d'importantes recherches; il a fait voir qu'une surface minima est caractérisée, au point de vue géométrique, par ce fait qu'en chacun de ses points ses rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires^ doù résulte que la courbure moyenne in'' 303) est mille.

Autrement dit, en tout point d'une surface minima^ findicatrice se compose de deux hyperboles équilatères conjuguées.

;i) Sur l'ellipsoïde chacune de ces courbes est le lieu des points de contact des plans tangents à la surface qui sont en uiônie temps tan/jents aune sphère concentrique à cet ellipsoïde. Une telle courbe n'est autre qu'une polhodie de Poinsot, courbe qui s'est présenter à ce géomètre dans la question du mouvement d'un solide autour d'un point fix \

Nous voyons donc que, sur ces surfaces, les lignes asi/mptotiques forment un "réseau orthogonal,

Meusnier, en se fondant sur sa belle proposition, a fait connatlre deux surfaces miniDtia : la surface de xns à filet carrée dont il sera question plus loin (n** 354-357) et Valysséide ou caténoïde^ surface de révolution dont les méridiens sont des chaînettes ayant pour base Taxe de la surface. Fait bien digne de remarque, on a reconnu depuis lors que la première de ces surfaces est la seule des surfaces réglées (Catalan, 1846) et la seconde la seule àe% surfaces de révolution qui soient minima.

La première tentative d'intégration du problème est due à Monge(i784), qui ne parvint malheureusement pas à dégager le résultat des imaginaires qui sV étaient introduits. Sa découverte n*en doit pas moins être tenue pour fondamentale dans cet ordre de recherches.

D'autres méthodes, préférables à certains égards, furent proposées par Legendre (1787) et par Ampère (1820). La méthode de Legendre a été perfectionnée, en 1844, par Bjôrling, qui en a déduit d'importantes conséquence?. Scherk, en 1834, parvenait pour la première fois à tirer de l'intégrale de Monge dos exemples de surfaces minima réelles. En 1855, Catalan faisait connaître une autre transformation de Tintégrale de Monge, destinée à en éliminer les imaginaires, et s'en servait pour déterminer, en nombre illimité, des surfaces minima algébriques. Mais c'est M. Weierstrass qui, en 1866, est parvenu à mettre l'intégrale de Monge sous la forme la plus commode pour les appli* cations; il a pu ainsi obtenir toutes les surfaces minima réelles et algébriques. Entre temps, Ossian Bonnet (1823), par l'emploi de coordonnées nouvelles dont il était l'inventeur, avait constitué pour l'étude des surfaces minima une méthode d'une extrême fécondité qui lui avait permis notamment, dès cette époque, de faire connaître toutes les surfaces minima réelles et un nombre illimité de surfaces minima algébriques.

Enfin, dans un Mémoire, l'un des plus beiux qui soient sortis de la plume de cet illustre géomètre, Ribaucour a donné une méthode extrêmement originale qui lui a permis d'étendre considérablement cette importante théorie. Celte méthode l'a notamment conduit à la découverte de toutes les surfaces minima algébriques, réelles ou imaginaires.

Parmi les mathématiciens dont les travaux ont le plus contribué à faire progres:?er cette branche si difficile de la science, il faut encore citer Bour, Bel- <rami,M. Schwarz, enfin M.Darboux, qui, dans le livre 111 de ses magistrales Leçons sur la Théorie générale des surfaces^ a donné l'exposé le plus complot et le mieux coordonné qui existe de la théorie des surfaces minima.

316. Correspondance de deux surraces point par point* Surfaces applicables. — Supposons les points d'une -jurface S définis en fonction des coordonnées u et v, ceux d'une surface S' définis en fonction des coordonnées u et v\ Si on suppose ces coordonnées liées entre elles par deux équations telles que