CHAPITRE VII

SURFACES EN GBNBRAL

on pourra, étant données les coordonnées u^ v d'un point M de la premièresarface, en déduire les coordonnées u\v' d'un point M' de la seconde, et réciproquement. On dit a lorsque les surfaces S et S' se correspondent point par point. Considérons les expressions des éléments linéaires des deux surfaces

ds^ = \du^ + ^Bdudo + Cdv^, ds'^ = k'du'^ 4- ^B'du'dv"^ + CdvX

Nous pourrons, en nous servant des équations de liaison, exprimer A', B', C du' et dv' en fonction de w, v, du, dv, et écrire Texpression de ds"^ sous la forme

rfj'2 = A^du^ 4. '^B^dudv -f- C^dv^,

A|, B^, C^ étant des fonctions de u et v comme A, B, C. Supposons les équations de liaison telles que Ton ait identiquement

On voit alors que, quels que soient u et v, on aura

ds = ds\

Gela veut dire que, quel que soit le point M^ infiniment voisin de M, pris sur la surface S, le point M', correspondant à M^ sur S' sera à une distance de M' correspondant à M, comptée sur la courbe M^M'^, égale à la distance VM'

comptée sur la courbe MM'.

En d'autres termes, tout élément linéaire pris sur la surface S a pour correspondant sur la surface S' un élément linéaire égal.

Passant de ces éléments iniiniment petits aux arcs finis, on voit que la propriété subsiste : Devr arcs de courbe correspondants sur les surfaces S et S' sont égaux.

Il résulte immédiatement de là que les géodesignes de S ont pour correspondantes sur S' Us géodésiques de celles-ci (*), et aussi quà une circonférence géodésique de S correspond sur S' une circonférence géodésique de même rayon.

Ceci posé, soient M et M' deux points correspondants sur les surfaces S et S'. De chacun de ces points comme centres avec des rayons géodésiques égaux décrivons respectivement sur S et sur S' les circonférences C et G' (fig. 296). A l'intérieur des circonférences G et G' nous pouvons décrire un noiribre infiniment

Fio. 296.

(ï) On a mf^me cette proposition beaucoup plus générale : Aux points correspondants de deux courbes correspondantes la courbure géodésique est la même ( Darboox, Théont générale des Surfaces, t. If, p. 402). Le cas des lignes géodésiques est celui où celte courbure est constamment nulle.

grand de circonféreDces concentriques C^jC^,..., C„ d'une part, C\, C'a,..., C'„ de Tautre, dont les rayons difTèrent de quantités infiniment petites, ces rayons étant d'ailleurs égaux d'une surface àTautre pour des indices correspondants. A la géodésique M P^ P2. . . P^P orthogonale aux circonférences G^, G^, . . . , C« , G , correspond la géodésique M'P'^P'a, ..., P'^P' orthogonale aux circonférences C',, G'2, ..., C'a, C. De même, à la géodésique MQ,.,....Q infiniment voisine de

MP| F correspondra la géodésique M'Q'^ Q' infiniment voisine de

M'P', P', et, d'après la propriété fondamentale de la transformation considérée, il y aura égalité respectivement entre les arcs dé circonférence géodésique infiniment petits P^Q, et P'iQ^, PaQa et P'aQ'a,.-, PQ et P'Q'.

Par suite, chacune des figures infiniment petites M'P'|Q'|, P'^Q'^PaQ'j,... P'nQ'iiP'Q' sera superposable à chacune des figures correspondantes MP^Qi' P|Q|P2Q,..., PnQ «PQ. En effet, les géodésiques et circonférences géodésiques formant sur chaque surface un réseau orthogonal, les figures infiniment petites P/QjP/^^Qf+i et P'iQ'iP/x^Q'i+i peuvent être considérées comme des rectangles et, comme leurs côtés sont égaux, elles sont égales.

On peut donc, par une déformation consistant en une série de rotations infiniment petites autour de P\Q\, P'aQ'gi..-» P'nQ'n amener le fuseau M'P'Q' à s'appliquer exactement sur le fuseau MPQ. Si, de même, on prenait sur les deux surfaces les fuseaux infiniment petits MQH, M'Q'R", contigus respectivement aux deux premiers et correspondant entre eux, on verrait qu'après avoir mis les deux premiers en coïncidence on pourrait appliquer M'Q'R' sur MQR, etc.

Passant à la limite, on voit que, sans déchirer ni plier la surface S', on peut exactement appliquer la portion de cette surface comprise k l'intérieur de la circonférence géodésique C sur la portion de la surface S comprise à l'intérieur de la circonférence géodésique G. Comme d'ailleurs le rayon de ces circonférences est arbitraire, on peut dire plus généralement que la surface S^ est applicable sur la surface S.

On dit encore que la surface S' s obtient par déformation^ sans déchirure niduplicature, de la surface S.

Le théorème de Gauss rappelé à la fin du numéro précédent, rapproché du caractère analytique qui nous a servi h définir le mode de correspondance de ces surfaces, montre qu^aux points correspondants de deux surfaces applicables l'une sur Vautre la courbure totale de la surface est la même.

Mais ce caractère géométrique, qui constitue une condition nécessaire à l'applicabilité, n'en est pas une condition suffisante, à moins que la courbure totale ne soit constante sur toute V étendue de la surface.

Dans le cas général, il faut en outre que les géodésiques de l'une des surfaces aient pour correspondantes les géodésiques de l'autre.

La recherche des surfaces applicables les unes sur les autres est un des problèmes les plus beaux en même temps que les plus difficiles de la Géométrie supérieure. Parmi les savants qui ont le plus contribué à faire avancer cette branche de la science, il faut citer Ossian Bonnet, Bour, Codazzi, Beltrami, Ribaucour, etc., et tout récemment M. Weingarten.

GioM. OBacBiP. 23