CHAPITRE VIII

317. Au point de vue général, on établit, comme on sait, une distinction entre les surfaces d'après la nature de leur équation en coordonnées rectangulaires à laquelle se lient les propriétés les plus intimes de ces surfaces. Nous n'avons pas à nous occuper ici de ce côté de la question.

Au point de vue des propriétés infinitésimales, on range également les surfaces en un certain nombre de familles, dont nous allons signaler les plus importantes au point de vue des applications.

§ 1. — - Surfaces enveloppes de sphères

318. Généralités. — Considérons en premier lieu les surfaces enveloppes de sphères dont le centre est situé sur une courbe gauche quelconque, et dont le rayon varie suivant une loi quelconque avec la position du centre.

Sur la courbe (G) des centres prenons des points G et G' infiniment voisins. Les sphères correspondantes o- et t' se coupent suivant un cercle v, qui a son centre sur la droite GG' et dont le plan est perpendiculaire à cette droite. Lorsque G' tend vers G, le cercle y^ tend sur la sphère ?t vers une position limite y située dans un plan perpendiculaire à la tangente en G à la courbe (G), et qui est la caractéristique correspondante. Donc la surface enveloppe S est tangente à la sphère o-tout le long du cercle y (n"" 291), et les normales à cette surface le long de ce cercle passent toutes par le point G.

Il en résulte que les normales à S en deux points infiniment voisins de y se rencontrent, c'est-à-dire que le cercle est une ligne dt* courbure de S (n** 306).

Ce résultat peut également se déduire du premier des théorèmes doooés au n® 308, attendu qu*ici la suface S et la sphère 9 se coupent sous un angle nul, constant par conséquent, et que le cercle y est une ligne de courbure de la sphère, ainsi d'ailleurs qu'une courbe quelconque tracée sur cette sphère (n« 306).

Réciproquement, si la surface S admet un système de lignes de courbure:^ circulaires, elle est une enveloppe de sphères. En effet, le cercle y étant ligne de courbure de la surface S, le second des théorèmes du n* 308 montre que toute sphère passant par ce cercle coupera la surface sous un angle constant. En particulier, il y aura une sphère tangente à la surface tout le long de ce cercle.

Ainsi, un premier système de lignes de courbure de la surface S est constitué par les cercles y ; le second se compose des trajectoires orthogonales du premier.

Il est une surface célèbre pour laquelle ce second système ne comprend lui-même que des cercles, c'est la cycUde de Dupin (*), enveloppe des sphères tangentes à trois sphères fixes.

Remarquons que le point G est le centre de courbure de toutes les sections normales menées à la surface par les tangentes au cercle y, sections qui sont principales pour les points considérés.

'''*" ^^^' , Prenons, par exemple, la section prin-

cipale menée par la tangente MT en M au cercle y, de centre D

{fig. 297).

Le centre de courbure de cette section normale se trouvera sur la normale MG à la surface. Mais, d'autre part, d'après le théorème de Meusnier (n^ 29G), le centre de courbure D de 7 doit être la projection sur le plan de ce cercle du centre de courbure cherché. Gelui-ci doit donc se confondre avec le contre G de la sphère 7.

Si la sphère ^ est de rayon constant, la surface enveloppe est dite

(*) Surface du (|ualritMnp onliv ayniil pour lipne doubh» \o ci^rle de rintini. h laquelle M. (ieorges Huniborl a consacré une iniiK»rtante élude dans le cinquaiilt cinquième cahier du Journal de l'École Polytec/inûjue,