SURFACES ENVELOPPES DE SPHÈRES

une sur face canal. Ainsi le tore est la surface canal pour laquelle la ligne (G) des centres est un cercle.

319. Surfaces de révolution. — Si, dans le cas général du numéro précédent, on suppose que la ligne des centres est droite, on a une surface de révolution.

La ligne des centres est dite Y axe de la surface ; les cercles y qui onl leurs centres sur cet axe et dont les plans lui sont perpendiculaires sont dits les parallèles de la surface. Les normales le long d'un parallèle forment un cône de révolution ayant son sommet sur Taxe.

On voit immédiatement que les sections de la surface par des plans passant par Taxe sont identiques entre elles ; ce sont les méridiens de la surface. Les normales à la surface le long d'un méridien se confondent avec les normales à cette courbe.

La surface peut être engendrée par la révolution d'un méridien quelconque autour de Taxe, d*où le nom donné à de telles surfaces.

Les parallèles y, en vertu de la remarque faite au numéro précédent, forment un premier système de lignes de courbure de la surface ; les trajectoires orthogonales de ces cercles, qui constituent le second, sont évidemment ici les méridiens (*).

Le rayon de courbure principal correspondant au parallèle est, comme nous venons de le voir au numéro précédent, la portion de la normale au point considéré, limitée à Taxe ; quant au rayon de courbure principal correspondant au méridien, puisque celui-ci est situé dans un plan normal à la surface, il se confond avec le rayon de courbure de ce méridien lui-même.

Si le méridien est un cercle, on retrouve encore le tore et Ton voit que le rayon de courbure principal en tout point d'un méridien est le rayon même du cercle constituant ce méridien.

Puisque nous connaissons en chaque point d'une surface de révolution les directions des sections principales et les rayons de courbure principaux, nous connaissons par cela même l'indicatrice, et

(*) On peut démontrer cette orthogonalité des méridiens et des parallèles ainsi qu'il suit : soient, en un point M, MT la tangente au parallèle, MS la tangente au méridien ; soient, en outre, Z Taxe de la surface, et G le centre du parallèle, situé surZ. L'axe Z étant perpendiculaire au plan du parallèle est perpendiculaire à MT situé dans ce plan ; d'ailleurs, Mï est perpendiculaire au rayon MC du parallèle. Donc MT est perpendiculaire au plan formé par MC et Z, c'est-à-dire au plan du méridien, et par suite à la droite MS située dans ce plan.

nous pouvons, par conséquent, résoudre tous les problèmes où intervient l'emploi de cette courbe. Nous pouvons notamment prendre la direction conjugée d'une direction donnée (n** 294, r^m.), ce qu'il y a lieu de faire s'il s'agit, par exemple, de construire une tangente à une courbe d'ombre propre (*).

Remarquons enfin, le plan osculateur en chaque point d'un méridien, qui est le plan même du méridien, étant normal à la surface, que tout méridien est une ligne géodêsique de la surface,

// nen est pas de mênie pour les parallèles^ à moins que les normales au parallèle ne deviennent normales à la surface, c'est-à-dire que les plans tangents le long du parallèle ne soient perpendiculaires au plan de ce parallèle, qui est alors dit un équateur de la surface.

§ 2. — Surfaces gauches

A. — Généralités

320. Définitions. — On appelle sm^face réglée toute surface qui peut être engendrée par le déplacement continu d'une droite de l'espace.

Une règle peut donc, d'une infinité de façons, être appliquée sur de telles surfaces, ce qui facilite singulièrement leur réalisation matérielle et rend leur emploi fréquent dans les constructions.

On distingue, parmi les surfaces réglées, celles qui sont applicables sur un plan et celles qui ne le sont pas ; les premières sont dites des surfaces dcveloppables ou, plus simplement, des développables ; les secondes, des surfaces gauches (-).

Nous allons étudier d'abord les propriétés des surfaces gauches, pour traiter ensuite dans une section spéciale de celles des développables.

(<) A litre do reasoignemeiit compléineiilaire sur les surfaces de révolution, jt^ signalerai le procédé purement géométrique que j'ai fait connaître pour déterminer les méridiens des surfaces di^ révolution applicables sur une surface de révolution donnée (hull. de la Soc. Math, de France, t. XXI, p. 8">).

('^) Il Cht donc, au point de vue mathématique, incorrect de dire qu'une surface d'abord plane se gauchît lorscju^elle prend une certaine courbure, attendu que la forme qu'elle afTecte alors est celle d'une surface développable, et non d'une surface gauche.

321. Divers modes de génération. — Les équations d'une droite en coordonnées cartésiennes

y = mx -|- n, z •=! px -)- q

contenant quatre paramètres arbitraires m, n, p, q, il faut quatre conditions simples pour déterminer complètement une droite dans l'espace.

L'ensemble des droites satisfaisant à trois conditions simples données constitue une surface réglée ; celui des droites satisfaisant à deux conditions simples, une congruence; celui des droites satisfaisant aune seule condition simple, un complexe (*).

Nous n'avons à nous occuper ici que des surfaces réglées.

Les conditions simples les plus ordinaires consistent, pour une droite de l'espace, soit à rencontrer une courbe donnée, soit à être tangente à une surface donnée. Trois de ces conditions, d'après ce qui vient d'être dit, permettent de définir toutes les génératrices d'une surface réglée.

Lorsque toutes ces génératrices doivent rencontrer une même courbe, celle-ci est dite une directrice de la surface réglée; lorsqu'elles doivent être tangentes à une même surface, celle-ci est dite un noyau de la surface réglée.

On voit donc que les divers modes de génération des surfaces réglées pourront se ramener aux, systèmes suivants :

1** Trois directrices;

2** Deux directrices et un noyau ;

3° Une directrice et deux noyaux ;

4** Trois noyaux.

On peut prendre pour directrice la courbe située à l'infini sur la surface, en la définissant comme l'intersection par le plan de l'infini d'un cône dont les génératrices sont parallèles à celles de la surface. Ce cône a reçu le nom de cône directeur de la surface. On peut prendre pour sommet de ce cône un point quelconque de l'espace.

Ce cône peut se réduire à un plan qui est dit alors \q plan directeur. Toutes les génératrices de la surface sont alors parallèles à ce plan.

La plus simple des surfaces à cône directeur est Vhyperholotde

(*) Voir les notions sur les complexes et les congruences données par M. Fonrot en appendice de la traduction française de la Géométrie du Mouvement, de S^hrpnfli^»s.

CHA.PITRE VIII. — SURFACES DE NATURE SPEaALE

réglé; la plus simple des surfaces à plan directeur, le parabohlde hyperholiqv£ y dont on étudie les propriétés dans la théorie générale des surfaces du second degré.

322. Variations du plan tangent le long d'une génératriee. Point central. Paramètre de distribution. —

Prenons sur la surface la génératrice G' infiniment voisine de G

[fîg. 298), et soit PP' la plus courte distance de ces deux génératrices. Prenons un point M quelconque sur la génératrice G et faisons passer par ce point un plan perpendiculaire à G qui coupe G' en M'.

Le plan tangent en M à la surface contenant la tangente à toute courbe tracée par ce point sur la surface contient à la fois la droite PM et la limite de MM'. Ce plan tangent n'est donc autre que la limite du plan PMM:.

De même, le plan tangent au point où vient à la limite le point P

est la limite du plan MPP'. La position limite du point P a reçu le

nom de point cenh^al de la génératrice G ; et le plan tangent en ce

point, celui de plan central.

Si par le point P' nous menons à G la parallèle G^ qui coupe au

point Mj le plan perpendiculaire à G mené par M, l'angle M,MM\

ou 0, mesure le dièdre formé par le plan PMM' avec le plan PMM,. La limite de 6 est donc l'angle que le plan tangent en M fait avec

le plan central de la génératrice G. Cherchons cette limite. Nous avons

^ MM, ~" p

en appelant e l'angle M^P'M' des génératrices G et G', et |) leur plus courte distance PP'. L'angle e étant infiniment petit, on peut, aux infiniment petits du 3"" ordre près, le substituer à sa tangente. On a donc, à la limite, en appelant x la distance du point M au point central de G

Fio. 298.

Si nous posons

ige = 0? Lim -

Lim^ = Â,

k sera une longueur que nous appellerons le paramètre de distribution de la génératrice G, et nous aurons

tg6 = -.

Cette formule remarquable est due à Ghasles.

Nous supposons essentiellement ici que le paramètre k a une râleur finie différente de zéro. S'il est nul ou infini, le plan langent reste le même tout le long de la génératrice. Lorsque le fait se produit sur une surface pour des génératrices isolées, celles-ci sont dites singulières. S'il a lieu pour toutes les génératrices, la surface est développable, ainsi qu'on le verra plus loin (n** 358).

Nous devons encore faire ici une remarque importante. Nous avons supposé, sur la figure 298, l'angle 6 compté dans le sens direct à partir du plan central pour un observateur couché le long de PM, les pieds en P. Si cet angle était compté dans le sens rétrograde, sa tangente devrait être prise négativement. Il est donc nécessaire d'affecter le paramètre de distribution d'un signe.

Ainsi qu'on Ta déjà vu au n** 281, si le sens de la rotation de la droite MM' est direct ou rétrograde pour un observateur couché le long de la génératrice G dans un certain sens, il sera encore direct ou rétrograde pour un observateur couché 'dans l'autre sens, pourvu que, dans l'un et l'autre cas, le point M se déplace dans le sens des pieds vers la tête de l'observateur.

Dans un cas, nous dirons que la distribution des plans tangents le long de la génératrice G est directe; dans l'autre, qu'elle est rétrograde.

Il nous suffira, dès lors, de faire la convention que le paramètre de distribution sera pris positivement ou négativanent suivant que la distribution des plans tangents sera directe ou rétrograde^ pour donner à la formule de Chasles sa pleine généralité.

Le lieu des points centraux des génératrices d'une surface réglée est appelé la ligne de striction de celte surface. Il faut se garder de croire que la tangente à cette ligne soit la limite de PP', c'est-à-dire la perpendiculaire élevée à la génératrice G dans le plan central. Cela n'a lieu que tout exceptionnellement.

Remarque. — La formule de Ghasles montre que si deux surfaces gauches ayant en commun une génératrice ont pour cette génératrice

même point central, même plan central et même paramètre de distribution, elles ont même plan tangent en tout point de cette génératriôe, c'est-à-dire qu'elles se raccordent le long de cette génératrice.

323. Plan asymptotique. — On voit que, lorsque x tend vers l'infini, 6 tend vers ^- On peut donc dire que le plan tangent à

la surface, qui a pour point de contact le point à l'infini sur la génératrice G, est perpendiculaire au plan central. Ce plan a reçu le nom de plan asymptotique.

Or, le plan MjP'M', perpendiculaire à MjP'P, est à la limite per pendiculaire au plan central, limite de MjF'P, c'est-à-dire confondu avec le plan asymptotique. D'autre part, il est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice ^^ de ce cône, qui est parallèle à G, puisque ce plan tangent est la limite du plan des génératrices (j et g' respectivement parallèles à G, et à G'. Il en résulte que le plan asymptotique de la sur face pour la génératrice G est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice g.

Si donc la surface est à plan directeur, ses plans asymptotique sont tous parallèles à ce plan.

• Du théorème précédent on déduit immédiatement que le "plan central de la surface génératrice G est parallèle au plan normal av cône directeur le long de la génératrice g.

324. Point représentatif de la distribution des plans tangents. — Par le point P de la génératrice G, élevons à cette

génératrice, dans un plan quelconque pris pour plan de la figure, la perpendiculaire PI égale au paramètre de distribution k pris avec son signe.

Pour cela, définissons arbitrairement le sens }fi positif de cette génératrice et, une fois ce choix fait, portons sur la perpendiculaire élevée en P à G {fig. 299), le segment PI, dans un sens tel que, si Ton considère le point P comme entraînt^ dans le sens positif de G, il en résulte pour IP ^^'•' -'*^^- une rotation autour de I, dans le sens direct si h

est positif dans le sens rétrograde si k est négatif Ainsi, sur la

SURFACES 0AUCHE3 363

figure 299, k est supposé positif, le sens positif de G étant pris de bas en haut.

Celte convention une fois faite, on voit que, dans tous les cas, Tangle MIP est égal en grandeur et sens à Tangle 6 que le plan tangent en M fait avec le plan central. On a, en effet,

tg PIM = l'on déduit immédiatement de là que Tangle MIM', sous lequel un

segment MM' de la génératrice G- est vu de I, est égal à l'angle des

plans tangents en M et en M'.

La distribution des plans tangents le long de la génératrice G est

donc exactement représentée par la distribution des rayons IM autour

du point I, qu'on peut appeler pour cette raison le point représentatif

de la distribution des plans tangents le long de G. Ce point représentatif permet immédiatement de déterminer le plan

tangent en un point M de la génératrice G, ou, réciproquement, le

point M où le plan tangent fait avec le plan central un angle 6 donné.

Mais il se prête, en outre, à la solution de nombre d'autres problèmes.

Nous allons en donner quelques exemples :

Problème L — On domie le plan tangent en un point M. et deux des troi-s éléments : point central P, plan central [c'est-à-dire r angle ^)^ paramétrée de distribution k [c'est-à-dire la longueur PI) ; trouver le troisième de ces éléments [fig. 299).

1"* Si les éléments donnés, en outre du point M et de son plan tangent, sont 6 et k, on fait en M, avec la partie négative de la génératrice G, l'angle PMI égal à p — et on coupe le côté MI de cet angle

par une parallèle à la génératrice distante de celle-ci de &, pris avec son signe. On a ainsi le point I et, par suite, le point P, en abaissant de I la perpendiculaire IP sur G.

2* Si les éléments donnés sont P et ft, on a immédiatement le point I, et il suffit de le joindre au point M pour avoir l'angle 6.

3* Si' les éléments donnés sont P et 6, on élève en P une perpendiculaire à G ; en M, on tire la droite MI, qui fait avec la partie néga-

tive de G l'angle ^ — ; cette droite coupe la précédente au point I ; PI donne en grandeur et signe le paramètre de distribution k.

Fio. 300.

Problème IL — On donne les i^lans tangents en deuoc points M et M' et un des trois éléments : point centy^al^ plan central^ paramètre de distribution; trouver les deux autres de ces éléments. »

1** Si Télément donné est le point central P, élevons à la génératrice G une perpendiculaire par ce point {fig. 300). Le point représentatif I, situé sur cette perpendiculaire, sera tel que l'angle MIM' (pris avec son signet sera égal à T angle a (pris avec son signe), que le plan tangent en M' fait avec le plan tangent en M (plans qui sont donnés Tun et Tautre .

Le point L se trouve donc sur le segment capable de Tangle a décrit sur MM'. Il ne saurait, d'ailleurs, y avoir de doute sur le côté de la génératrice G vers lequel doit être décrit ce segment, attendu que Vangle MIM' doit être de même sens qtie Vangle aigu décrit par le plan ta)igent en M lorsqu'on le rabat sur le pla7i tangent en M'. Sur la figure 300, ce sens est supposé le sens direct.

On voit que, suivant que ce segment capable rencontre la perpendiculaire élevée en P à G, ou lui est tangent, ou ne la rencontre pas, il y a deux, une ou pas de solutions.

Le point I fait connaître le paramètre de distribution PI et l'angle MIP que le plan central fait avec le

plan tangent en M.

2** Si rélément donné est le plan central, on connaît les angles aigus 6 et ô' que les plans tangents en M et en M' font avec ce plan. Il suffit dès lors, toujours en tenant compte du signe, de tracer les droites MI et Ml faisant avec la