partie négative de G les angles ^ — et

[fig. 301 ). Le point de rencontre I de ces droites est le point représentatif ; on en déduit le point central P et le paramètre de distribution.

3** Si l'élément donné est le paramètre de distribution A, on trace à G une parallèle qui lui soit distante de k pris avec son signe

Fig. 301.

Fio. 302.

(fî{j. 302). Le point représentatif I est à la rencontre de cette parallèle et du segment capable de l'angle a des plans tangents en M et en M', segment qui est parfaitement déterminé, comme on vient de le voir ( 1"). Ici encore on peut avoir deux, une ou pas de solutions. Le point I fait connaître le point central P et l'angle MIP que fait le plan central avec le plan tangent en M.

Problème III . — On donne les plans tangents en trois points M, M', M". En déduiy^e le jooint central, le plan central et. le paramètre de distribution.

Mesurons les angles a' et a" (pris avec leur sens direct ou rétrograde), dont il faut faire tourner le plan tangent en M pour l'appliquer successivement sur les plans tangents en M' et en M". Le point représentatif I sera tel que les angles MIM' et MIM" seront respectivement égaux à a et à a". Il se trouve donc à la rencontre des segments capables de ces angles décrits sur M\r et sur MM'^ [ftcj. 303). Il ne saurait, d'ailleurs, y avoir de doute sur le côté de la génératrice G vers

lequel doivent être décrits ces segments, puisque le sens des angles MIM' et MIM" est connu. Sur la figure 303 ce sens est le sens direct.

On voit qu'il n'y a qu'une seule solution et qu'il yen a toujours une. Du point I, on abaisse la perpendiculaire IP sur G. P est le point central de cette génératrice ; PI (pris avec son signe) est le paramètre de distribution ; PIM est l'angle que le plan central fait avec le plan tangent en M.

Remarque. — Puisque la connaissance des plans tangents en trois points d'une génératrice entraîne sans ambiguïté celle du point central, du plan central et du paramètre de distribution, on voit, en vertu de la remarque qui termine le n*" 332, que, si deux surfaces gauches ont même plan tangent en trois points d^une génératrice copumune, elles se raccoixlent tout le long de cette génératrice.

32o. Points de raccordement sur une génératrice commune. — Nous allons voir, d'ailleurs, que si deux sur-

366 CHAPITRE Vni. — SURFACES DE NATURE SPECULE

faces gauches ont une génératrice commune il existe sur celte génératrice deux points de raccordement réels ou imaginaires, c'està-dire deux points où les deux surfaces ont même plan tangent.

Soient P et P, les points centraux des deux surfaces pour leur génératrice commune G {fîg. 304), PI et P,I, les paramètres de distribution correspondants {'). Les angles 6 et ^| que les plans tangents en M aux deui surfaces font avec les plans centraux correspondants sont donnés par les angles PIM --8 et P,I,M, = \, et nous avons

Or, si la différence 8 — 6, est égale à l'angle y des plans centraux, les plans tangents en M coïncident comme on peut s'en rendre compte sur la figure 305, où Gp et Gp, repré- ^

sentent les traces des plans centraux en P et P, sur un pian perpendiculaire à G, G/k, la trace commune des pians tangents en M, supposés confondus.

Le point M sera donc sur un segment capable de l'angle y décrit sur PP, . Mais la question se pose encore ici de définir le côté de PP, ni-auj. vers lequel devra être pris ce segment. Elle est tranchée par la remarque que les angles IMl, de la figure 304 et pG^, de lafigure305 doivent être de sens coniraires.

La figure 304 montre que, lorsque I et I, sont du même côté de PP,. c'est-à-dire lorsque les paramètres de distribution sont de même signe, le segment capable de Tangle y peut, suivant la valeur de cet angle, rencontrer ou non la droite G. II peut donc, dans ce cas, y avoir deux, une ou pas de solutions réelles.

{')Surlarigarp30i c signes coniraires, les {

)nt supposés lie même sigue. S'ils élaienl if kient iXk |>aji et d'autre de la droite G.

SURFAGB8 GAUCHES

Si les points I et I, sont de part et d'autre de la droite G, c'est-àdire si les paramètres de distribution sont de signes contraires, il y a toujours deux solutions réelles et distinctes.

326. Xangentes orthogonales et normales le long d'une nénératriee. — Dans le plan tangent eu chaque point M d'une génératrice G prenons la droite perpendiculaire à celte génératrice G. Nous avons ainsi une droite tangente à la surface et faisant un angle droit avec la génératrice ; c'est ce que nous appelons une tangente orthogonale.

Le plan tangent en chaque point M peut être défini par la génératrice G et la tangente orthogonale passant en ce point. Nous allons voir que la formule de Ghasles établit une liaison remarquable entre les tangentes orthogonales le long d'une génératrice.

Considérons, en eflFet, un plan it parallèle à la génératrice G et perpendiculaire au plan central, ou, cequi revient au même, parallèle au plan asymptotique [fig. 306).

Fio. 306.

Soient^ et m les points où les tangentes orthogonales en P et M rencontrent le plan it. La droite Pp est perpendiculaire à ce plan, puisqu'elle est perpendiculaire à G dans le plan central.

Par le point jj menons à G la parallèle j^a?, qui est contenue dans?:, el élevons en j9 à cette droite la perpendiculaire py. Nous avons pour les coordonnées du point m, en abaissant du point M la perpendiculaire Mm^ sur 2?^, pm^^ = a? et m^m = y.

L'angle m^m mesure l'angle que le plan tangent PMm en M fait avec le plan central PM^n^. On a donc, en posant Pp =MmQ =- /,

^ Mm.

Mais la formule de Ghasles donne

Donc

tg.=f.

ce qui montre que le lieu du point m est une droite passant par le point p. Ainsi : le lieu des traces des tangentes orthogoyiales le long de G sur tout plan parallèle au plan asymptotique de G ed une droite.

Remarquons que, si la surface est à plan directeur, le plan r est précisément un plan directeur, puisqu'il est parallèle au planasymptotique (n" 323).

Si nous faisons tourner à la fois toutes les tangentes orthogonales et le plan tz de 90^ autour de G, chaque tangente Mm devient normale à la surface, le plan t: devient parallèle au plan central, et nous avons cet autre théorème : Le lieu des traces des normales le long de G sur tout plan parallèle au plan central de G est une droite.

Les tangentes orthogonales d'une part, les normales de l'autre, sont toutes parallèles à tout plan perpendiculaire à G- Gomme elles s'appuient, en outre, sur des droites, elles engendrent des|?a7^a6ototrfC'? (n"* 330), que nous appellerons le parahohxde des tangentes orthogonales et le paraboloïde des noyvnales.

327. Constructions au moyen des tangentes orthogonales. — L'avant-dernier théorème fournit un moyen facile de résoudre divers théorèmes sur les plans tangents, constructions qui sont particulièrement avantageuses dans le cas des surfaces à plan directeur, parce qu'alors, ainsi qu'il a été dit plus haut, on peut, quelle que soit la génératrice considérée, conserver pour plan t: le plan directeur lui-même.

Nous nous bornerons donc à les exposer dans ce dernier cas :

Problème I. — Construire le plan tangent en un point d'une surface à plan directeur. — On prend ce plan directeur pour plan horizontal de projection.

Une génératrice quelconque (ab.ab') de la surface rencontre les directrices ou touche les noyaux aux points [a. a) et (6.6'). Dans l'un et l'autre cas, on peut toujours avoir une tangente [aa^M'a et {bb^.b'b\) en chacun de ces points {pg, 307).

SURPAGES GAUCHES

Les traces horizontales des plans tangents en {a.a) et (6.6) sont les parallèles a^a et 6^^ à ab menées par a^ et b^.

Les tangentes orthogonales en (a.a ) et {b.b') ont pour projections horizontales les perpendiculaires ax et ôjS élevées à ab en a et 6. Leurs traces horizontales sont a et p sur les traces des plans tangents correspondants.

Par suite, d'après le premier théorème du numéro précédent,

KiG. 307.

toutes les tangentes orthogonales le long de {ab.ab') auront leurs traces horizontales sur la droite ap.

Si donc on veut le plan tangent au poinl [in.m] de la génératrice [ab.ab')^ on n'a qu'à élever en m à ab la perpendiculaire m^^ projection de la tangente orthogonale correspondante. Cette projection rencontre la droite ap au point [x, qui est sa trace. Le plan tangent en (>/^.m') est donc défini parles droites {ab,ab') ei{m\k,mu!), La trace horizontale de ce plan est la parallèle ^-V-ç) ^ ^^ menée par jjl.

Py^oblème IL — Trouver le point où un plan mené par la gênératrice (ab.ab') touche la surface.

Gomme précédemment, on construit la droite a|3, lieu des traces des tangentes orthogonales le long de [ab.ab') sur le plan directeur {fig. 307}. La trace [jl;jlq du plan donné, trace qui est nécessairement parallèle à ab, coupe ap au point jjl. Le point m est le pied de la perpendiculaire abaissée de (x sur ah. On en déduit le point m sur ah par une ligne de rappel.

En particulier, le point central [p-p), c'est-à-dire le point où le

oéoif. DB8CRIP.

gentest perpendiculaire au plan directeur, esl donné parle ! rencontre^ des droites ab et a?, puisque pour ce point ^' snte orthogonale est verticale.

lème III. — Trouver le point de la surface où le pkn

est parallèle â un plan donné.

énératrice qui contient ce point élanl parallèle à la fois au donné et au plan directeur est parallèle à l'intersection T di' is. Il suffit donc, pour avoir cette génératrice (rtfi.a'è'), de

la génératrice commune aux deux cylindres passant par '■ des directrices, ou circonscrits à chacun des noyaux, dou! ratrices sont parallèles à T. Menant alors par celle généra- '}.nb') un plan parallèle à H, il suffit de Irouverle pointoiice clie la surface. On est ainsi ramené au problème II.

, Application aux conoïdes. — Lorsque l'une de^; ies de la surface à plan directeur est une droite, la surface un conoïde. Ainsi, un conoïde est une surface gauche dont !S généralrices sont parallèles à un même plan et rencontrent ne droite. Suivant que celle droite est ou non perpendiculaire à ce plan, le conoVde est droit ou oblique.

Les constructions du numéro précédent sont applicables aucfinoïde. Donnons-en un exemple.

en indiquant la construction deplans tangents au concnde drnil à noi/nu xphêrique.

Prenons pour plan horizoïiial un plan directeur, et pour plan vertical, le plan diamétral de la sphère contenant la droite directrice.

Considérons la génératrice

projetée verticalement en oh

f/î^.SOS). Pour avoir sa pro-

'■'""'■ ^"^^ jection horizontale, il suffit de

la sphère par le plan horizontal liï , ce qui donne, en pro-

liorizonlale, le petit cercle hi, et de mener du point a à ce

une ou l'autre tangente ab.

SURPAGES GAUGHKS 371

Puisque toutes les génératrices rencontrent la directrice aa à angle droit, chacune d'elles a son point central sur cette droite (qui est, par suite, la ligne de striction), et la tangente orthogonale au point [a. a) n'est autre que cette droite, dont la trace horizontale est le point a.

La tangente orthogonale en (6.6') se projette horizontalement suivant ob. Pour avoir sa trace, rabattons le grand cercle vertical projeté en ob sur le cercle de contour apparent vertical. Le point b' vient en h'. La tangente en ce point est liL Lorsqu'on ramène la figure dans sa position première, le point / vient en p, trace cherchée. Le lieu des traces des tangentes orthogonales est donc ici la droite r/,3.

11 suffit donc, d'après ce qui a été vu au numéro précédent (Pro6. 7), d'élever en m à ah la perpendiculaire 7>/[jl, pour avoir en »?u. la projection horizontale de la tangente orthogonale en (m.fu). On en déduit la projection verticale »?/[jl'. Le plan tangent est déterminé par les droites (a6.a'6') et (/>?[jl.w'ul').

On voit que, pour les génératrices contenues dans le plan diamétral de la sphère perpendiculaire à la droite directrice, génératrices qui se projettent verticalement suivant a^^o\ le plan tangent est le même en tous les points. C'est celui qui passe par la génératrice et la droite directrice; il est tangent à la sphère. De même, en tous les points des génératrices limites, c'est-à-dire contenues dans les plans tangents à la sphère perpendiculaires à la droite directrice, génératrices qui se projettent verticalement en ci\b\ et a'o6'o, le plan tangent est le même; il se confond avec le plan tangent à la sphère. Les quatre génératrices qui viennent d'être énumérées sont donc si7ignlières (n**322).

329. Variations de la courbure totale le long d^une (génératrice* — Toute droite située sur une surface est une géodésique de cette surface ^n^ 312), car elle constitue d*une manière absolue le plus court chemin enlredeux quelconques de ses points. Elle en est aussi une asymptotique, puisque, en chaque point, le rayon de courbure de la section normale menée par cetto droite, est infini.

Remarquant que Tangle des normales en deux points M et M', infîniment voisins sur la génératrice G, est égal à Tangle db des plans tangents correspondants et que la distance MM' de ces points est égale à dr, ou a, par application de la formule (2) du n° 302, pour l'expression de la courbure totale en M

Or, de la formule de Chasles

SX)

on tire

d'où

Par suite,

dx

d^ cos* 6

dx k

RoR. "" {^' + ^")'

Telle est la formule qui fait connaître la courbure totale le long de la génératrice G.

330. Rappel de notions sur le paraboloïde. hyperbolique et l'hyperboloïde réglé. — Lorsqu'on étudie les surfaces du second degré, on rencontre une surface réglée, 1'%perboloïde à une nappe, qui, par dégénérescence (lorsque son cône directeur se réduit â un plan), donne naissance au jparaôotoFrf^ hyperboUqice .

L'hyperboloïde réglé possède un double système de génératrices rectilignes. Par tout point de la surface passe une génératrice de chaque système. D'ailleurs, toute génératrice de l'un des systèmes rencontre toutes les génératrices de l'autre système et aucune du sien. On peut donc définir l'hyperboloïde réglé le lieu des droites qui rencontrent trois droites donjiêes.

Lorsque toutes les génératrices de l'un des systèmes deviennent parallèles à un plan, il en est de même de celles de l'autre, alla surface devient le paraholoïde hyperhohïde ^ qui peut par suite être défini le lieu des droites qui rencontrent deux droites données tout en étant parallèles à un plan donné.

Le plan tangent en chaque point de toute surface de l'une ou de l'autre espèce est défini par les deux génératrices qui se croisent en ce point.

Il est très facile [d*établir géométriquement Texistence du double système de génératrices rectilignes pour le paraholoïde.

Projetons les directrices (A) et (B) sur un plan quelcotique perpendiculaire au plan directeur {fig. 309). Les génératrices qui rencontrent (A) et (B), telles que AB et A'B', se projettent suivant des parallèles. Donc, les points M, M'..., tels

^"® im ^^ WW^^ , sont, en projection, distribués sur une droite; conime

ce résultat a lieu pour un plan quelconque perpendiculaire au plan directeur,

on voit que le lieu (M] des points M est une droite dans Tespace. En faisant

MA varier le rapport rrg on obtient autant de génératrices (M) du second système

que Ton veut. Si on prend comme plan de projection un plan perpendiculaire au plan directeur qui soit en même temps perpendiculaire à un plan A parallèle à la fois à (A) et (B), les projections de ces deux directrices sont parallèles entre elles (jîg, 309 bis)^ et il en est, par suite, de même des génératrices (M). Toutes ces génératrices sont donc parallèles au plan A.

Ml

FiG. 309.

Fio. 309 bis.

Il résulte de là que si on considère un quadrilatère gauche MNPQ {/îg. 310), formé par deux génératrices MN, PQd'un système et deux génératrices MQ, PN de Tautre, on obtient une génératrice AB du système de MN et PQ en joignant

A M BN

les points A et B tels que — = ^^ et une génératrice CD du système de MQ

et NP en joignant les points G et D tels que prirr = tt^'

Liii ut

Quant à Thyperboloïde on peut le considérer comme dérivant du parabo-

loïde au moyen d'une transformation homographique faisant correspondre la

troisième directrice rectiligne de Thyperboloïde à la droite à Tin fini du plan

directeur du paraboloïde. Cette simple remarque suffit à établir Texistence du

double système de génératrices de Thyperboloïde.

331 . Plan tangent à Phyperboloïde. — Prenons pour plan horizontal de projection un plan quelconque passant par Tune des directrices (G. G') et ^our plan vertical un plan perpendiculaire à cette directrice {fig. 311). Soient (A. A') et (B.B') les deux autres directrices. Nous appellerons premier système des génératrices celui qui comprend les directrices (A. A'), (B.B') et (G. G').

ToHle génératrice du second système rencontrant (G.C'l aura une projection verticale a'b' passant par G'. Tirons une de ces droites C'a'O' qui nous donne la projection horizontale ab et proposons-nou? d'obtenir le plan tangent en un point [m. m') de celle génératrice. II suffit pour cela d'obtenir Il la génératrice du premier

système passant en \i,i.i-'-.

Cetle génératrice doit rencontrer toute génératrice du second système; or, la droite horizontale projetée verticalement en // rencontre à la fois (A. A , (B.B'} à distance finie, el (G.C) en un point rejeté à l'infini. G'est donc une frénératrice du second système. Par suite, la génératrice du premier système passant en (/;(.>;/) a une projection verticale passant par y,,. 3j, /('.Traçons cette projection

verticale h'm'm\,.

La droite n„b^ qui joint les traces horizontales de {A. A) et de 'B.B' rencontre aussi (G, G') qui est dans le plan horizontal de projection: c'est donc aussi une génératrice du second système. Par suite, toute génératrice du premier système a sa trace horizontale sur cetle droite a,|6o. Il résulte de là que l'on obtient le point ;»„, trace de la génératrice cherchée, en prenant l'intersection de njf^, el de la ligne de rappel de ii'\.

Le plan langent en {vt.m") est dès lors déterminé par les droites {ab.n'b') et {iinu^^.hi'i,i\).

Pour le paraboloïde la construction reste la piéme, à celte différence près que la droite iG.G') est rejetée à l'infini du plan horizontal de projection et, par suite, que l'orientation du plan vertical esl arbitraire. On peut, d'ailleurs, dans le cas du paraboloïde, appliquer les constructions données au n" 827.

SURFACRS GAUCHES 373

332. Hyperboloïdes et paraboloïdes de raecordement. Ilyperboloïde oseulateur. — Nous avons vu au n° 324 {Reniarque finale) que, si deux surfaces gauches ont même plan langent en trois points d'une génératrice commune, elles se raccordent tout le long de cette génératrice.

Si donc en trois points M, M', M" d'une même génératrice G nou55 prenons les droites MT, M'T', M'T' respectivement situées dans les plans tangents en ces points, Thyperboloïde défini par les trois directrices rectilignes MT, M'T', M"T'', ayant inême plan tangent que la surface aux points M, M', M", se raccordera avec cette surface tout le long de G. Nous aurons ainsi un hyperboloide de raccordement qui pourra être substitué à la surface pour la solution de tous les problèmes relatifs aux plans tangents de cette surface le long de G (*).

Si les trois droites MT, M'T', M"T" sont parallèles à un même plan, on a un paraboloïde de raccordement. Ainsi le paraboloïde des tangentes orthogonales (n** 306) est un paraboloïde de raccordement. •

Puisqu'on dispose des directrices MT, MT', M"T" de l'hyperboloïde de raccordement, on peut les choisir de telle sorte que cet hyperboloïde passe par une droite donnée D en dehors de G. 11 suffit, en effet, de prendre pour points T, T', T" les points de rencontre de la droite D avec les plans tangents à la surface en M, M', M".

Si on prend pour droite D la génératrice de la surface, infiniment voisine de G, on voit que, si on coupe par un plan quelconque, les sections faites dans la surface et dansl'hyperboloïde par un plan quelconque sont tangentes au point situé sur G et ont encore en commun un point infiniment voisin sur D, c'est-à-dire sont, à la limite, osculatrices. U hyperboloïde ainsi dèfmi est donc^ à la limite, osculateur à la surface tout le long de G.

(*) La consiruclioa du plan tangent à l'Iiyperboloïde, donn('îe au nunuTo pi-r^cé- Jent, suppose que l'un des plans de projection passe par une directrice reclilipne Je cet hyperboloïde et que l'autre plan de projection est perpendiculaire à cette directrice. Il y aurait donc, dans le cas gt'?néral, à opérer des changements de plans de projection pour chaque génératrice. Mais, dans les cas do la pratique, lune au moins des directrices de la surface étant une droite, il sufiit de prendre celle-ci pour Tune des directrices de chacun des hyperboloïdes de raccordement. M. J. Marchand a fait connaître une méthode de construction des plans tangents aux surfaces gauches quelconques qui présente, au point de vue théorique, l'intérêt de n'exiger aucun changement de plan de projection (Bulletin de la Soc. Math., t. XIII, p. 34).

En tout point de G les deux surfaces étant osculatrices ont mêm<f indicatrice. Or, les asymptotes de l'indicatrice de l'hyperboloîde sont les génératrices de cet hyperboloïde se croisant au point considéré, d'après le théorème qui termine le numéro 293. On peut donc dire que V hyperboloïde osculateur le long de G est engendré par les secondes asymptotes des indicatrices de la surface aux divers points de G (Ghasles).

333. Application au biais passé gauche. — La surface dite biais passé gauche est définie par les trois directrices suivantes: deux cercles de même rayon, dans des plans parallèles entre eux et une droite perpendiculaire aux plans des deux cercles et passant par le milieu {o,o') de la ligne des centres {fig. 312).

Nous prendrons pour plan horizontal de projection le plan mené par la directrice rectiligne et la ligne des centres, pour plan vertical un plan perpendiculaire à cette directrice rectiligne, mais d'ailleurs quelconque. Dans ces conditions, les cercles directeurs se projettent horizontalement suivant des segments de droites égaux et parallèles pp^ et qq^^ et verticalement suivant les cercles égaux décrits sur p'p\ et qq\ comme diamètres. Quant à la droite directrice, elle se projette horizontalement suivant la perpendiculaire cfc à VPi ^^ 9ii ro^^é® par le centre o du parallélogramme ppjçrgr^ et verticalement au point o' milieu de la distance A'B' des centres des cercles.

La projection verticale de toute génératrice de la surface passe par le point o\ puisque cette génératrice rencontre la droite de. Toute droite menée par o' donne ainsi les deux génératrices {ab.ab') et {a^b^.a\b\). Prenons un point quelconque (m. m) sur Tune d'elles et cherchons le plan tangent en ce point. Pour cela, considérons Thyperboloïde de raccordement défini par la directrice de et les tangentes {aoL.aoL')^ [bp.b'P') aux cercles directeurs, et appliquons la construction donnée au n° 331.

La génératrice du premier système passant en (m.?n') s'obtient en projection verticale en joignant le point tn au point de rencontre/* de aV et b'p\ En outre, sa trace horizontale [jl se trouve sur la droite joignant les traces a et ,3 des tangentes aux cercles directeurs. Le plan tangent se trouve ainsi défini par les droites [ab.ab') et [mY..m'^ r Puisque la trace de la génératrice {ab.ab) est en c sur la directrice de^ la trace horizontale du plan tangent en [m.m) est la droite cf.

Génératrices singulières. — On voit que le long des génératrices (pq-pq) et (Piqi'P\q\) le plan tangent est le même ; c'est le

Fio. 312.

plan vertical passant par chacune de ces génératrices. Celles-ci sont

donc singulières.

Lorsque, en projection verticale, le point o' est extérieur aux

cercles pY^ et qq\, on voit aussi aisément que les génératrices projetées verticalement suivant les tangentes communes à ces cercles qui se croisent en o' sont des génératrices singulières.

Cône directeur, — Considérons le cône directeur qui a pour sommet le milieu o^Qcle et prenons son intersection par le plan de front de qq^.

La génératrice (ao^o-^'o^o) parallèle h.[ah.a'b') Ql[afi^,a\b\) se projette verticalement suivant ia droite o'a\ En projection horizontale, puisqu'on a évidemment ap = 6,7| et a,p^ = bq, on voit que o est le centre du parallélogramme aa^bb^^ et par suite que a^ et b^ sont les milieux respectifs de aa^ et bb^.

Le point b\ est donc le milieu de b'b\, ou, ce qui revient au môme, le pied de la perpendiculaire abaissée de B' sur b'h\. Le lieu du point 6'^, section du cône directeur par le plan du cercle [pq-p^q] est donc le cercle décrit sur o'B' comme diamètre. Il en résulte que toutes les sections du cône directeur par des plans de front ont pour projections des cercles passant en o* et ayant leur centre sur q'q\.

Le contour apparent du cône directeur en projection horizontale est formé par les droites de et AB.

Sections du biais passé gauche par des plans parallèles aux plans de tête, — Coupons la surface par le plan de front de {m. m') qui rencontre la génératrice correspondante du cône directeur au point {mQ.m'o).

D'après ce qui précède, le lieu du point m\ est un cercle passant en o' et ayant son centre sur o'B'.

Ayant donc tracé ce cercle [w'q] ainsi que les cercles o'B' ou [b'^] et q'q\ ou [b'], on voit qu'on aura le lieu [m'] du point w', qui constitue la section cherchée, en portant sur chaque rayon vecteur o'b' le segment b'm' égal à ft'o^'o- ^^ résultat est dû à J. de la Gournerie.

Si nous posons

o'm'^ = Pp o'6'o = p2, o'm' = p3, o'6' = p^,

nous voyons que cette relation s'exprime par

p2 — Pi = P4 — P3

Nous sommes donc dans un cas d'application du procédé de construction des normales et centres de courbure contenu dans la généralisation qui termine le n" 268.

Nous obtiendrons ainsi la normale et le centre de courbure à la section cherchée [m'].

Remarquons d'ailleurs que les extrémités des sous-normales polaires correspondant aux points w'^ et b'^ sont les points diamétralement opposés à ceuxci dans les cercles [m'^] et [b'^].

SURFACES OAUCHES 379

•t34. \orniiilIei«< — Oo appelle normiUe d'uae surrace S le long d'une lisne L tracée sur cette surface la surface réglée N dont lea génératrices sont le^ normtles à S menées par les divers points de h.

Ainsi, la normnlie d'umi surface de révolution le long d'un méridien esl un plan, et le long d'un parallèle un cAne ; la normalie à une surface réglée quelconque le long d'une génératrice e-^L un parabolnide hyperbolique (n" 320).

Prenons <iur la directrice L de la normalie N deux points infiniment voisins H et M'. Puisque, d'après le théorème de Slurin (t)° 302), la normale en M' rencontre, aux infiniment pelîlR du Iroi^ième ordre prè.', les axes de courbure Ag et A, des eeclions principales a^ et s, menées par la normale en M. axes qui passent par les centres de courbure principaux C^ el C,, on voit que ces axes poQt tangents à la normalie en ces points. Ainsi, le plan langent eu C, est déterminé parla normale MC^ et l'axe A,, qui esl, comme on sait, dans le plan de la section priacipale a, ; c'csl donc le plan de a, lui-même.

De mj^mele plan tangent à la normalie en C, se confond avec le plan de la section principale sg.

Comme on connaît, en outre, le plan langent â la normalie en M, plan qui esl déterminé par la normale MCflC, et la tangente en M à la irourbe L, on voil que l'on a sur toute génératrice d'une normalie les plans tangenU en trois points. On peut donc (n°3â4. /'/■oifô)«e///)conslruire les plans tangents en tous les autres points de cette génératrice.

Puisque, quelle que soil la cnurbe L tracée à partir du point H, les plans tangents aux centres de courbure principaux Co el C, restent les mêmes, on voit que ces centres de courbure sont des points de raccordement pour toutes les normalies correspondant aux courbes de la surface qui passent par le point M. Celle remarque esl due à M. Mannheim.

B. Surfaces gauches à cône dircteur de révolution a. — Propriétés cénéralks

335. Ligne de striction d'une surface gauclie à cdne directeur de révolution. — Nous avons vu au n" 323 que le plan central d'une surface gauche pour une génératrice G est parallèle au plan normal au cône directeur le long de la génératrice correspondante g.

Si le cône directeur est de révolution autour d'un axe Z, ses plans normaux menés par ses génératrices passent tous par Z. Par suite, les plans centraux de la surface considérée sont tous parallèles à Z. Jls ont pour enveloppe un cylindre dont les généralrices sont parallèles à Z. Le lieu des points de contact de ces plans centraux et de la surface est, par suile, la courbe de contact de la sur-

face el du cylindre qui lui est circonscrit parallèlement à Z. Or, les points de contact des plans centraux sont les points centraux. Nous avons donc ce théorème :

Si le cône directeur de la surface est de révolution autour de taxe Z, le cylindre circonscrit à la surface parallèlement àZ la touche le long de la ligne de striction.

Gomme corollaire immédiat de cette proposition, on voit que fe contour apparent de la surface projetée sur un plan perpendiculaire à Z se confond avec la projection de sa ligne de striction.

Réciproquement, si la ligne de striction est la courbe de contact de la surface et d'un cylindre qui lui est circonscrit parallèlement à la direction d'une droite Z (sur laquelle nous pouvons toujours prendre le sommet du cône directeur), tous les plans centraux, qui sont les plans tangents le long de la ligne de striction, sont parallèles à Z. Donc, toujours en vertu du théorème rappelé au début de ce numéro, les plans normaux le long des génératrices correspondantes du cône directeur passeront par cette droite Z, ce qui ne peut être qu'autant que le cône est de révolution autour de la droite Z.

Le cylindre sur lequel est tracée la ligne de striction, étant tangent à chaque plan central au point central correspondant, est tangent à la génératrice qui passe par ce point dans ce plan. Il constitue donc un noyau cylindrique de la surface.

Gomme, d'autre part, les génératrices parallèles aux génératrices du cône directeur font avec la direction Z un angle constant, nous voyons que les surfaces qui nous occupent peuvent être définies ainsi : le lieu des droites tangentes à un cylindre le lo7ig d'une courbe quelconque et faisant avec les génératrices de ce cylindre un angle constarit.

La courbe lieu des points de contact est la ligne de striction de la surface.

336. Distribution des plans tangents le long d'une génératrice. PAIe de la génératrice. — Pour connaître le plan tangent en tout point d'une surface gauche, il suffit de déterminer la tangente à une courbe quelconque de la surface passant en ce point ; celte tangente, jointe à la génératrice sur laquelle se trouve le point considéré, définit, en effet, le plan tangent.

Prenons pour plan horizontal de projection un plan perpendicu-

laire aux, génératrices du noyau cylindrique, de telle sorte que la base de ce cylindre se confonde avec la projection t de la ligne de striction, et pour plan vertical un plan parallèle à la génératrice [pm.pm) considérée [fig, 313).

FiG. 313.

Le point central de cette génératrice est le point [p.p) où elle rencontre la ligne de striction (o-.^'); le plan central est le plan projetant cette génératrice horizontalement.

Considérons la section de la surface par un plan horizontal fixe H'. Lorsque le point [p-p) varie sur (t.o-'), le point (m.7n) décrit çur ce plan une courbe dont la tangente en {rn.rn) appartient au plan tangent à la surface en ce point. Cette courbe se projette en vraie grandeur horizontalement. Si donc inh est la tangente à cette projection, le plan tangent en {m.m) est déterminé par les droites (pm.pin) et [mh.m'h'). Nous n'avons donc qu'à obtenir la tangente mh à la courbe [m\ décrite par la trace de la génératrice (pin.pm) sur le plan H' pour avoir ce plan tangent.

Soient 2>c = p le rayon de courbure de la courbe t, d{p) la différentielle de Tare de cette courbe au point p. Si nous appelons e l'angle de contingence de la courbe en ce point, nous avons

ico

d {p) =r pc.t.

^^pvpppmmpif^w'

38i CHAPITRE VllI. — SURFAGFS DE NATURE SPECIALE

D'autre part, la formule (VI) du ii^ 254 nous donue, si nm est la normale à la courbe [m],

(2) (f.pm = en.e.

Mais, si on appelle j la distance du point jd' au plan H', on a

d'où, puisque y est constant, et en appelant l'inclinaison de la tangente à (^.^'j en {p-pj sur Thorizon,

(i, pm = dz. colgY = — r/ {p) IgG cotg y,

car, lorsqu'on donne au point p un déplacement positif sur la courbe o-, on voit que z diminue.

La formule (2) devient donc, lorsqu'on y change les signes,

(3) d{p) tgS. cotg Y = «c.£.

Divisant (1 Wt (3) membre à membre, nous avons

pc tgr

ne étant compté positivement dans le même sens que p, c'est-à-dire de p vers c.

Par suite, poîer les divers points de la m éine génératrice [pm.p'tn , ne est constant; autrement dit, le point n est fixe.- Ce point ;/ est dit le pôle de la génératrice.

La trace horizontale du plan tangent en nn.ni) passe parla trace m^ de la génératrice [p)n,pm') et est parallèle à itth. On l'obtient donc en menant par le point y;?^ une perpendiculaire à nm.

Réciproquement, si on donne la trace d'un plan passant par la génératrice, il suftit d'abaisser du pôle n une perpendiculaire nu* sur cette trace pour avoir la projection horizontale m du point ou ce plan est tangent à la surface.

De là le moyen de construire sur chaque génératrice le point de contour apparent en projection orthogonale sur un plan quelconque, ou le point de la courbe d'ombre pour un faisceau de rayons lumineux donné.

Dans le premier cas, il suffit de prendre le point de contact du plan

SURFAGKS GAUCHES

mené parla génératrice perpendiculairement au plan de projection, dans le second le point de contact du plan mené par la génératrice et le foyer lumineux.

33T. Calcul du paramètre de distribution. — D'après la formule de Ghasles (n** 322), siO est Tangle que le plan tangent en {in.m} fait avec le plan central c'est-à-dire le plan vertical passant par p77i, le paramètre de distribution est donné par

~~ IgO ~~ cosy. tgô

Or, l'angle 6 est donné par la formule (*)

Ig6=: -: — ^ siny

V> Celle formule do trigouométrie spln-ritino est bien couniie, ni.iis on peiil l'ul)!»nir par un procédé élémentaire de In manière suivante (fiy. .114) :

Si nous prenons comme plan borizonlal de projection le plan H' ei comme plan verlical celui qui passe pai- la génératrice [pm.pm')^ les (races du plan tanjienl en m sont, sur le plan v(;rlical la il roi te mv qui fait avec pm Tauf^lo, y et sur le plan horizontal lii droite ?w/i qui fait avec mp Taniîle a.

Pour avoir Tani^le «le ce plan et du plan vertical de projection, rendons-le vertical par une rotalion autour de pp^. Pour cela rabaUons en pgr, sur pm la dislance pq du point p à la trace verticale de mv. Après la rotation, la trace verticale est la per- '*^o- »**^ pendiculaire élevée en (/| à pm^

et la trace horizontale est ^i/),,, puisque le point po '^ *'^ P'^^ bougé. I/angle cborcbé est aloi*s donné par pq^p^^ et on a, en valeur absolue.

lue :^^'

/)Pft mp, tg « tg « qp mp. sin V ~~ sin y

Eu outre, on voit innnédialementsur la figure 313 que, lorsque sur la général rire on passe du point (p.p) au point (m.m), Tangle 6 est décrit dans le sons direct pour un observateur couché le long de {pm.pm'), les pieds en ip,p'], et la tête en im.in' . On doit donc considérer ici Tangle comme positif.

Il vient donc

ou, puisque Tangle pnm est égal à a,

k ^ pn, fgv.

Mais la formule (4) du numéro précédent donne

ne tgs

ou

c'est-à-dire

pn __ tg Y — ty /r

pn. tgY — p (tgY — l»^)-

Il vient donc finalement

(5) A = p(tgy-tgr.).

Le paramètre de distribution k est nul si tgv — ig ç = o, c'està-dire pour les génératrices tangentes à la ligne de striction. Il est

infini si cr est égal à ^' c'est-à-dire pour les génératrices correspon-

dant aux points où la ligne de striction a une tangente parallèle à Taxe du cône directeur. Il est encore infini si p est infini, c'est-à-dire si p est un point d'inflexion de t, ou si le plan central est osculateur à la ligne de striction (n° 280). Ces trois catégories de génératrices sont donc singulières.

b, — Hklicoïde gauche général

338. Définition. — Si la ligne de striction est une hélice du noyau cylindrique supposé toujours quelconque, c'est-à-dire si l'angle ç est constant, la surface prend le nom à'héliccnde.

Tout ce qui vient d'être dit relativement aux plans tangents sul)siste, à cette différence près que, dans les formules (4) et (5), c est constant, c'est-à-dire, d'une part, que le pôle n divise le rayon de courbure 2>c de la base du noyau cylindrique dans un rapport cons-

tant, de l'autre que le paramètre k de chaque génératrice est proportionnel au rayon de courbure p correspondant.

On voit, en outre, que des trois catégories de génératrices singulières énumérées ci-dessus, la seconde seule peut exister ici. Par suite, si la section droite du noyau cylindrique n'oifre pas de point d*inflexion,Thélicoïde n'a pas de génératrice singulière.

339* Éléments de la courbure. — V Rayon de courbure de la section de la surface par un plan horizontal, — La section par le plan H' est le lieu du point m lorsque le point p varie sur 9. Nous venons de voir que fa

Fiu. 31.;.

normale mn à celle courbe coupe pc en un point n tel que le rapport — efcl

constant. Donc, en verlu du corollaire IV du n** 234, si c, est le centre de courbure de la développée d, de <i, la normale à la courbe lieu du point n coupe ce,

GÉOM. DBSCRIP. 2o

CCm pc

en un point v tel que --^ = ^ (fig, 315). II suffit donc, par le symétrique u

de n par rapport au milieu de J0C|, de mener ia parallèle mv kpc^ pour avoir le point V.

Soit e le centre de courbure cherché, c'est-à-dire le point où mn touche son enveloppe. La normale à cette enveloppe, c'est-à-dire la perpendiculaire élevée en e à mn coupe la normale nv au point /; et la formule (V) du n^ 233, successivement appliquée aux côtés mn, np, pm, du triangle mpn^ donne

d (m) me cl (n) nf

d {i)\ ~~ pc

d (m) mn

d'où, en multipliant membre à membre,

me. nv

n/, mn ou

fiy mn

nf me

Dès lors, en vertu du théorème énoncé dans le renvoi du n^ 267, la codstruclion du centre de courbure e sera la suivante (^) : Si la perpendiculaire élevée en n à mn coupe ntv en i, le point e se trouve sur la droite qui unil If point i au milieu ;x de nw.

2* Asymptotes de f indicatrice, — La génératrice (wp.mp') constitue une asymptote de Tindicatrice au point (m. m'). Pour avoir la seconde asymptote, nous nous fonderons sur ce que deux droites du plan tangent conjuguées par rapport à Tindicatrice le sont aussi par rapport à ses asymptotes, en remarquant, d'ailleurs, que celte propriété est projeclive.

Cherchons, par exemple, la droite conjuguée de la tangente mt à la section horizontale. D'après le théorème de Dupin (n^ 294), celte droite est la limile de la droite d'intersection des plans tangents au point (m,m') et au point infiniment voisin situé sur la section horizontale, c'est-à-dire la caractéristique du plan tangent en {m.m'), lorsque ce point se déplace horizontalement sur la sur* face. Cette caractéristique est la droite qui joint le point (m.m') au point oô la trace du plan tangent sur un plan quelconque, par exemple sur le plan horizontal de {p.p'), touche son enveloppe. Cette trace est la perpendiculaire /^y abaissée de jj sur mn (n** 336).

(*) Pour obtenir cette construction, il suffit de faire corre^ondre les lettres ici employées celles de l'énoncé rappelé, ainsi que Tindiquent les deux lignes que voici :

hUII

Pour trouver le point g où p<7 touche son enveloppe, nous aHons appliquer la méthode du n"* 257, en remarquant : i"^ que, Tanglep^m étant droit, la normale à la courbe décrite par le point q passe par le point de rencontre l des normales aux enveloppes des côtés pg et qm^ c'est-à-dîre des perpendiculaires élevées en ^ et en e à ces côtés ; ^ que, dans le déplacement considéré, le point p décrit non pas la courbe <j, mais bien la section horizontale de la surface passant en p, et, par suite, que la normale au lieu décrit par p, confondue avec po, doit être considérée comme coupant cette droite au point n, ainsi que le font les normales à toutes les sections horizontales le long de pnt.

Dès lors, la formule (Y) du n° 253, successivement appliquée aux côtés mp^pq et qm du triangle mpq^ donne

d (m) 7nn (f {p) pk d [q) .g7

d'où, en multipliant membre à membre,

ou

mn.pk

pn. Me

pn

me mn

ce qui montre que la droite ^^ est parallèle &pm. De là cette construction

pour le points : Mener ek parallèlement à mpy puis kg parallèlement à nm. Puisque, en projection horizontale, les droites mg et mt sont conjuguées

harmoniques par rapport à mp et à la seconde asymptote mr cherchée, et que,

d'ailleurs, pq est parallèle à m/, le point r est le symétrique de p par rap^

port à g.

Puisque pr est la trace du plan tangent sur le plan horizontal de-(p.p'), la

projection verticale r' de r est sur ^horizontale de p'.

On a donc ainsi les asymptotes {mp.m'p') et [mr.m'r') de Vindicatrice

en [m.m'),

3* Indicatrice, — 11 est très facile, après cela, de construire les projections de cette indicatrice elle-même. En effet, les projections de la normale en (m. m') à la surface sont mn, perpendiculaire à la trace horizontale pq du plan tangent en (m,m') et m'n\ perpendiculaire à la ligne de front p'm' de ce plan. D'après le théorème de Meusnier (n^ 295), le centre de courbure de la section normale passant par {mt.m't') est à la rencontre de cette normale et de la verticale du point e. Amenons le plan vertical de la normale à être de front, par rotation autour de la verticale de {m,m'), La normale se projette alors en (mn^j.mV^), le point (e.e'j en (^o-^'o)- ^^ suite, on a en e'^ le point où la rotation amène le centre de courbure de la section normale considérée, et enm'c'^ le rayon de courbure R de cette section. 11 sufOt donc de porter sur mt le segment mt égal V2R (n* 299), pour avoir le point [t.t!) de Tindicatrice.

Sur chacune des projections on connaît les deux asymploLesde l'indicatrid' el un de ses poinU ; it est donc facile de la tracer (n"' 56 el S7).

Od aurait les directions principales au point {m.m') en prenant les bissectrices des droites [mp.m'p') el {mr.m'r) de l'espace et les rayons de courbur^^ principaux en déterminant les axes de l'indicatrice, problèmes faciles à résoudre au moyen d'un rabattement sur le plan horizontal passant p&T(mi.m'l'\