C. — HËLICOÏDK GAUCHE ORDINAIRE

340. Hélicoïde gauche ordinaire. — Lorsque le noyau cylindrique esl de révolution, on a l'kélico'ide gauclte ordinaire, el ce sera désormais de celui-là que nous entendrons parler lorsque nous dirons simplement un hélicoïde.

Ici le rayon de courbure ? est constant ; il est égal au rayon r de la section droite du noyau cylindrique. Les formules (4) el (5) des II'" 33G el 33T montrent alors que en el k sont constants lorsqu'on passe d'une génératrice à l'autre. Le pôle n décrit donc un cercle autour du centrée du cercle de base du cylindre.

Si nous prenons sur la génératrice [pm.p'm) un point M [m.ui'' i» distance fixe de H ip-p) {f"J- 313), pm est constant; mais puisqu'ici pc est constant, me est aussi constant, etle lieu du point m est un cercle de centre c. Par suite, le point M reste sur un cylindre de révolution de même axe que le noyau. En outre, la distance verticale des points P et M étant constante, on a dans l'espace

Donc, entre deux positions quelconques

HiM — »i^\\ = j(P — p^V^ — - X arc /*,j),

A étant le pas réduit fn" 286, formule (3)J de la ligne de striclio»; mais l'angle jicn- étant constant, on a

y' étant le rayon du cercle décrit par le point i m.M — m„!Ag = —■ t>rcm„ni.

ce qui montre que le lieu décrit par le point M est aussi une hélice dont le pas réduit est h.

On peut donc dire que V intersection d'un hélicoïde ordinaire par îtn cylindre concentrique au noyau cylindrique est une hélice de même pas que l'hélice de striction.

Puisque le point M est un point quelconque de la géiiéralrice, on voit que t'hélicoïde gauche pourra être défini par trois directrices qui seront des hélices de même pas décrites sur des c^'Undres de r<^volulion de même axe.

La formule (4) du n" 336, qui s'écrit ici

OU

r ieîf en = >

peut, en vertu de la formule (2) du n*" 286, s'écrire aussi

(1) en

^ër

De même, la formule (5) du n° 337 devient ici

341. Construction d'une génératrice. — Ayant construit (n^* 287) la projection verticale ab' de Thélice ligne de striction {fig. 316), prenons un point {p.p) sur cette hélice et proposons-nous de construire la génératrice de Thélicoïde passant en ce point. Elle se projette horizontalement suivant la tangente pm au cercle de base. Pour avoir sa trace horizontale faisons-la tourner autour de la verticale de [p.p') pour l'amener dans le plan de front de ce point. Sa projection horizontale est alors pm^ parallèle à la ligne de terre, et sa projection verticale p^ii^ qui fait Tangle y avec cette ligne de terre. Ramenant la génératrice dans sa position primitive nous avons sa trace {m.m-).

342. Cercle polaire. — Le pôle de cette génératrice est le point n de cp, tel que (n** 336)

ne tgç

pc " tg"Y*

Gomme ici pc^ G et y sont constants, ne le sera aussi, ainsi que nous venons déjà de le dire, et le lieu du point n sera un cercle de centre c que nous appellerons le cercle polaire. Il est très facile de construire le rayon de ce cercle. Menons, eneiFet, par le centre clés droites ck et cl faisant respectivement les angles ê et y avec ca. La droite ck coupe 66' au point ft, etla parallèle à ac menée par k coupe cl en Iqui se projette en r sur c6. On a

cv Igg

ca IjjY

6UIUrA.CE9 OA.UCHBS 391

el, par auile, cv est le rayon dti cercle polaire. Ce cercle élanl tracé on o'a qu'à prendre soq intersection n avec cp (') pour avoir le pôle de la génératrice {pq-p'g}, pôle qui permet, ainsi qu'on l'a vu au n" 336, de résoudre tous les problèmes relatifs aux plans tangents le long de cette génératrice.

343. Contour apparent vertical. — Pour avoir le point (ÇtÇ) du contour apparent vertical sur la génératrice {pin.p'7n'), il faut chercher le point où le plan tangent est perpendicnlaire au plan verlical. La trace horizontale de ce plan étant perpendiculaire à la ligne de terre, la droite nq perpendiculaire à cette trace (n° 336) est parallèle à la ligne de terre, ce qui détermine le point q.

344. Section par un plan horizontal. — Les sections par des plans horizontaux sont évidemment toutes égales entre elles et ne diffèrent que parleur orientation. Il nous sufât donc de considérer la section de la surface par le plan horizontal pris pour plan de projection, c'est-à-dire la courbe lieu du point »i. On a

pm =: p»t, = z colgY = *•" colg v,

en appelant h le pas réduit de i'bélice, u l'angle acp. Donc, \ étant une constante,

Menons par le centre c le segment es équipollent à pm. Nous {Curons

i et la tangente à a le supiMaons ici,

mais de sens contraires, lu rappoi't--' — serait négnlif, par suite anssi — - el ie point n devrait êti-e pris à l'intersection du cercte polaire et de pc, non plus entre les poiDlg p et c, mais sur le prolonftemeiit depc. En d'autres termes, te pôle s(ïtait,3Br le cercle polaire, le point dinmûlralement opposé au poiut n de la figure 316. Datis ce cas, le poiut v ïieudrail dans la position symétrique par rapport à c sur ab; on déduit de lu la règle suivante : Le cercle polaire étant supposé décrit dans le sens contraire de celui de l'hélice, c'est-à-dire dans le sens rétrograde ou direct, suivant que l'hélice est directe ou rétrograde, le pôle n est le point de cp oii celte droite prolongée de pari et d'autre du centre c est rcnioiUréc pour la première fois par le point qui décrit h cercle polaire en partant du point u.

392 CHAPITRE VIII. — SURFACES DE NATURE SPÉaALE

mais si nous prenons pour axe des coordonnées polaires la perpendiculaire cd à aè, l'angle polaire des est égal à w. Nous voyons donc que le lieu dupomt s est une spirale d'Arhimède {s).

Par suite, le lieu du point m, c'est-à-dire la trace horizontale de l'hélicoïde s'obtient en portant sur les tangentes au cercle de base, à partir de leurs points de contact, des segments équîpollents aux rayons vecteurs de la spirale d'Archtmède [s).

Nous savons (n" 339) que la normale à celte courbe au point m est la droite mn joignant le point m, au pôle n de la génératrice f').

Pour avoir le centre de courbure e de celte courbe, située sur la normale mn, appliquons laconslruclion donnée au n°339, en remarquant qu'ici les points c^ et r de la ligure 315 se conTondent avec le point c.

La construction du point e est donc la sotvante [fig. 317) : La perpendiculaire élevée en n à mn coupant cm au point i, ta droite qui Joint le point i au milieu y. de en coupe mn au centre de courbure e.

La construction de l'indicatrice s'elTec- F'"' 3'''- luerail comme dans le cas de t'hêlicoïd<^

général, sans présenter aucune particularilé.

345. Courbe d'ombre propre produite par des l'ayons parallèles. — Nous pouvons toujours supposer que le plan vertical a été pris parallèlement à ces rayons. Menons dès lors par le point {p.p] le rayon [pr.p'r) parallèle à la direclion donnée, pr étant en ce cas parallèle à la ligne de terre (fig. 316). La trace horizontale du plan lumineux mené par la génératrice considérée esl donc mr. La perpendiculaire abaissée de n sur mr donne en « sur pq la projectionhorizontale du point de contact (w.w') qui apparlientà la courbe d'ombre propre.

Cette construction peut encore être simplifiée. Soit, en effet, /"le point où la droite nu rencontre le diamètre cd perpendiculaire à ah. Les triangles cnf etpmr sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires deux à deux. Donc

(1) Cette propriété est bien conlonne au Ihêorèmc qui tern>iD« le r<

SURFACES OAUGHBS 393

Mais en appelant 'f Tangle des rayons lumineux avec le plan hori-

3 3 , tff©

zontal, on a pr == : — ' pm = , En outre (n** 342), en = r -p— •

^ tg© ^ tgy ^ ^' tgy

11 vient donc

Ainsi c/* est constant, c'est-à-dire que f est un point fixe. On l'appelle le jjofe de la eourbe (Tomhre. La construction du point f sera la même que celle du point n, Tangle <p remplaçant ici Tangle y (*). La construction du point u se réduit alors à prendre Tintersection de pm avec la droite fn joignant le pôle de la courbe d'ombre au pôle de la génératrice.

d, — Surface de vis a f^et triangulaire

346« Génération. — Un hélicoïde réglé ordinaire peut être défini par le rayon r de son noyau cylindrique, par Tangle ^ de Thélice de striction tracée sur ce cylindre et par Tangle y q^e les génératrices font avec tout plan perpendiculaire à Taxe du cylindre. Mais on peut aussi substituer à la donnée ^ le pas réduit h commun à toutes les hélices tracées sur Fhélicoïde, ce pas étant donné par la formule

A — r tg G.

Lorsque Ton suppose r = o, c'est-à-dire lorsque le noyau de Thélicoïde se réduit à une droite, on a la surface de vis à filet triangulaire.

Une telle surface est donc complètement définie quand on connaît h et v. Puisque h est le pas réduit d'une hélice quelconque tracée sur la surface, on peut, au lieu de h, se donner cette hélice. La définition de la surface peut alors être formulée ainsi :

Le lieu des droites qui rencontrent l'axe d'un cylindre de révolution sous un angle constant [complément de l'angle y) en s' appuyant sur une hélice tracée sur ce cylindre.

Puisqu'ici le noyau cylindrique est réduit à une droite, l'hélice de striction tracée sur ce cylindre est aussi réduite à cette droite.

(*) C'est-à-dire qu'ayant mené [fig. 316) la droite cg faisant avec cb Tangle ç, on projette g en e sur cb et on décrit, dans le sens contraire à celui de CJiélice^ cVst-àdire ici dans le sens rétrograde, Tare e^qui donne le points sur cd.

Par suite, le point central de chaque génératrice est à sa rencontre avec la droite directrice.

Quant à la formule (2) du n** 340, elle devient ici

Par suite, quel que soit V angle y, le paramètre de distribution le long de chaque génératrice est constant et égal au pas réduit des hélices de la surface ^ changé de signe,

347. Construction d'une génératrice. Cercle polaire. — La génératrice qui passe par le point (m. m'), rencontrant l'axe du cylindre, a pour projection horizontale la droite an (fig. 318). Supposons cette génératrice rendue de front par une rotation autour de la verticale de [ni.rn) ; sa projection verticale w7'q fait alors Tangle y avec la ligne de terre. Sa trace (<o-^o) ^^ ramène en {t.t'), ce qui détermine la projection verticale mT delà génératrice passant en [m.rn].

Le rayon du cercle polaire est déterminé par la formule (1) du

h en —- — -, tg-x

h étant, d'après la définition même du pas réduit (n* 286), le quotient par 2tc de la longueur aa\ du pas.

La construction du point n, donnée au n** 341, semble ici devenir illusoire, attendu que le cercle de base du noyau cylindrique se réduit à un point et que la droite vh devient perpendiculaire à ch {fig. 316). Mais il suffit de remarquer que vl, égal au pas réduit h de toutes les hélices tracées sur la surface, ne change pas de valeur quand le rayon du noyau cylindrique tend vers zéro. Il suit de là que, si Ton a tracé la droite cl {fig. 318) faisant avec cb Tangle y, ou n'a qu'à porter sur le diamètre perpendiculaire à ab le segment ch égal au pas réduit h pris avec son signe (*) pour avoir, par la parallèle kl à cb et la parallèle Iv à c/t, le point v sur cb.

Ainsi qu'on l'a vu dans le renvoi du n° 341, on aura le pôle »de la génératrice [inp.mp] en faisant tourner le point v sur le cercle polaire dans le sens contraire à celui de l'hélice, de façon à l'amener en n sur la perpendiculaire élevée en c k me.

(*} Ce signe est positif ou négatif, suivant que Thélice est directe ou rétrograde {n« 286).

348. Contour apparent vertical. Section par un plan horizontal. — Appliquant la construction donnée au n° 343, nous voyons que le point de contour apparent {q^q) sur {mc.mp) s'obtient en menant par le pôle n la parallèle nq à ab ifU], 319).

Fio 318.

Fio. 319.

Lorsque le point m vient dans la position )n^ telle que m^n^ soit parallèle à a6, le point [q.q) se confond avec [m^.m\). Le contour apparent passe donc par le point [m^/tn\) de Thélice directrice et, comme cette courbe appartient à la surface, il lui est tangent en ce point. Si on suppose la surface limitée à Thélice directrice, le contour apparent s'arrête en ce point.

Il est facile de construire le point m^. En effet, les côtés cm et en du triangle cmn étant constants, ce triangle est de grandeur invariable. Donc la distance du point c à l'hypoténuse îwn est cous-

tante, et Tenveloppe de celte hypoténuse est le cercle de centre c qui a pour rayon la distance de ce point à la droite ad. Il suffit dp mener à ce cercle la tangente m^n^ parallèle à la ligne de terre pour avoir le point >/?,.

Quand le point m vient en a, le point g est rejeté à Tinfîni. Donc, la projection verticale de la génératrice menée par a est une asymptote du contour apparent.

En amenant le point m en m.^^ sur la perpendiculaire élevée en c a

a6, on voit que le contour apparent est tangent à Taxe du cylindre au point j7'o où cet axe est rencontré par la génératrice du point (yy^,.;//, !, * point qui s'obtient facilement au moyen du rabattement Pim\ sur le plan de front de Taxe.

Quant à la section par tout plan horizontal, on voit, en se reportant au n" 344, que c'est une spirale d'Archimède de pôle c.

Application au dessin crwie r's à filet iriamjulaire . — Une telle vis est engendrée par un triangle isocèle ABB' (fig, 320) dont le plan reste normal à un cjdindre contre lequel est appliqué le côté BB', les points B et B' décrivant sur ce cylindre une même hélice dont le pas est précisément égal à BB'. Chacune des droites AB et AB' décrit une surface de l'espèce qui nous occpue en ce moment et qui tire précisément son nom de celte application. On peut donc, parle procédé ci-dessus, construire le contour apparent de la vis.

Dans la pratique du dessin, ce tracé se fait approximativement.

349. Courbe d'ombre propre. — Pour avoir la courbe d*ombre propre produite par des rayons parallèles à (R.R'), prenons le pôle /"de celle courbe d'ombre défini comme il a été dit au n" 345, c'est-à-dire sur la perpendiculaire élevée en c à aô [fig, 321)] à une dislance du centre donnée par

en

Comme <p est ici supposé supérieur à 90**, c/'est négatif c'est-à-dire porlo sur le rayon obtenu en faisant tourner ca de 90** dans le sens rétrograde.

Prenai

ne la pn a génère

■l'ombre

2>oinl u a

loppe e»l par cons t]ae si la

gente en

és;aiix co

et, par SI courbe d' mjmélriq mètre fia Celle I façon.

Discussion de la forme de la courbe (ti). — 1*^ Le point/* est extérieur au cercle polaire (fig, 321).

Fui. 321 bis.

Lorsque le point n est en n^ ou en n'^, le point u est en c ; lorsque le point n est en «, ou en «3, le point u est en f\ lorsque le point n coïncide avec l'un

des points de contact n^ ou n^ des tangentes menées de f au cercle polaire, le point a est à l'infini sur la tangente correspondante, qui constitue ainsi une asymptote de la courbe considérée.

Lorsque le point n parcourt Tare nj^nQn2^ on obtient la partie de la courbe située au-dessus de n^n^ ; lorsque le point n parcourt L'arc n^n^Uj^, on obtient la partie de la courbe située au-dessous de n^n^.

La construction de la tangente montre que la courbe est tangente en c à njfij, en fk fH^ et à /h,.

La courbe est, d'ailleurs, quelle que soit la situation du point / par rapport au cercle polaire, évidemment symétrique par rapport à /b.

2** Le point /* est à l'intérieur du cercle polaire {/îg, 321 bis).

La courbe est encore doublement tangente en c à n^n^^ tangente en fk fhf ^^ f^zi ^^is l^s tangentes menées au cercle du point /* étant devenues imaginaires, elle n*a plus de points h rinfini. G*est une courbe fermée.

3* Le point /^est sur le cercle polaire (*) [flg. 321 ter).

Le point n! de la figure précédente coïncidant toujours avec le point /*, le point u' reste sur le diamètre n^n^ qui fait, par conséquent, partie du lieu.

CoDame on a évidemment fu == u'n, on voit que la partie restante de la courbe est une strophoîde. Cette courbe est tangente en /'à/Vi^ et à fifi^. Elle a pour asymptote la perpendiculaire élevée à c/*par le point h symétrique de c par rapport à f. Remarquons, en effet, que si nous abaissons du point c la perpendiculaire C17 sur /n, le point v est le milieu de uu\ Par suite, l'ordonnée du point u rapportée aux axes cn^ et c/'est double de celle du point v. Or, lorsque le point uest à l'infini, le point v coïncide avec f. Donc ch = ^cf.

350. Asymptote de rindicatrlce* — Nous avons vu (n"" 329) que toute génératrice d'une surface réglée est une ligne asymptotique de celte surface. Donc elle constitue en chacun de ses points une première asymptote de l'indicatrice. Cherchons, en un point (w. m') d'une génératrice (G.G') delà surface de vis à filet triangulaire, la seconde asymptote de Tindicatrice [fig, 322).

Si, pour un certain choix de faisceaux lumineux, la courbe d'ombre propre passe par le point [m.m')y nous savons (n"" 295) que la tangente à la courbe d'ombre est conjuguée do rayon lumineux passant en ce point par rapport à Tindicatrice. Autrement dit, la tangente à la courbe d'ombre elle rayon lamineux sont conjugués harmoniques par rapport aux asymptotes de Tindica- Irice. Comme celte propriété est projective, nous voyons que nous aurons, en projection horizontale, ras3'mptote cherchée en prenant la conjuguée harmonique de la projection G de la génératrice par rapport au système , formé par la projection du rayon lumineux et la tangente à la projection de la courbe d'ombre.

Gomme nous sommes libres de choisir la direction des' rayons lumineux, prenons-la dans un plan vertical perpendiculaire à G avec une inclinaison telle que la courbe d'ombre passe en [m.m')\ sa projection horizontale est alors U perpendiculaire mr à G et, d'après ce que nous avons vu à la fin du

C) Cela a lieu lorsque 9= y ou f =t. — y c'est-à-dire lorsque lliélice directrice udes tangentes confondues avec des rayons lumineux.

numéro précédent, la tangente en m à la projection de cette courbe d'ombre passe par le pôle n de la génératrice (<).

Loi projection mi de t asymptote cherchée^ étant la conjuguée harmonique de G par rapport aux droites mn et mr^ coupe la droite en, qui est parallèle

à mr, au point i symétrique du point c par rapport à n.

Cette construction a été donnée par H. Mannheim.

L'asymptote de Tindicatrice étant !dans le plan tangent en (m. m'), il est facile d*obtemr sa projection verticale.

Coupons, en effet, par le pian horizontal passant au point p\ Puisque les horizontales du plan tangent en [m,m') sont perpendiculaires à mn (n"" 336), la projection horizontale de rintersection du plan tangent et du plan horizontal auxiliaire est la perpendiculaire ch abaissée de c %\xrmn. Cette droite coupe mi au point h dont la projection verticale h' est sur Thorizontale du point p'. La projection verticale de Tasymptote cherchée est dès lors m'h'.

Remarque /. — Pour avoir la tangente à la courbe d'ombre propre en projection verticale, il suffirait de prendre la conjuguée harmonique de la projection verticale du rayon lumineux passant en m' par rapport à m'p' et m'h\ projections des asymptotes de rindicatrice.

Remarque II, — Nous avons vu (n* 332) que les secondes asymptotes des indicatrices le long d*une génératrice d*une surface réglée engendrent Thyperboloïde osculateur le long de cette génératrice. Or, le point i restant le même, quel que soit le point m pris sur G, on voit que, dans le cas qui nous occupe, toutes ces secondes asymptotes rencontrent la verticale du point t. Par suite, l'hyperboloïde osculateur contient cette verticale.

Fio. 322.

(•) En effet, le point double f de la courbe d'ombre étudiée au numéro précédent coin <ide alors avec le point m, et les tangentes en ce point double passent par les extrémités du diamètre du cercle polaire perpendiculaire à cf (fiff. 321). Mais le point f n'est pas la projection d'un point double de la courbe d'ombre dans l'espace. Au contact d une génératrice ayant pour pôle le point Ui, la courbe d'ombre est telle que sa projection horizontale est la branche de la courbe projetée, qui est tangente à/hp

e, — Héucoïde gauche a plan directeur

351. Génération. — Voyons ce que deviennent les propriétés de Thélicoïde gauche ordinaire lorsqu'on suppose que son cône directeur se réduit à un plan, c'est-à-dire lorsque toutes ses génératrices sont parallèles au plan que nous avons pris pour plan horizontal.

Ici encore, le point central sur chaque génératrice est le point de contact avec le noyau cylindrique, et le plan central le plan tangent à ce noyau en ce point.

La propriété démontrée au n" 340 pour Thélicoïde ordinaire quelconque subsiste, à savoir que Tintersection de Thélicoïde par tout cylindre de révolution de même axe que le noyau est une hélice de même pas que Thélice de striction.

Mais comme ici y = o, les formules (1) et (2) du n"* 340 deviennent.

en =i: 00

et

Remarquons tout de suite, pour n'avoir pas à y revenir, que la surface n'a pas de contour apparent vertical, celui-ci étant rejeté à l'infini, et que ses sections par des plans horizontaux sont ses génératrices, c'est-à-dire des droites.

352. Plan tangent. — Le pôle de chaque génératrice étant rejeté à l'infini, la construction des plans tangents fondée sur l'em ploi de ce point devient illusoire; mais, la surface étant à plan directeur, nous pourrons utiliser ici les constructions indiquées au

Tout revient donc à déterminer la droite lieu des traces des tangentes orthogonales le long d'une génératrice sur le plan horizontal de projection pris pour plan directeur.

On sait (n** 326) que cette droite pm^ passe par la projection j? du point central {fig.S2S) et qu'en outre, si m^ est la trace correspondant à m, c'est-à-dire si mm^ est perpendiculaire à pm, on a, en

otojf. DBscaiP. -'>

■ du point 'p au-dessus de la ligne de (erre.

: voir au numéro précédent que le paramètre de 1 au pas réduit changé de signe — h.

Donc

Mais si c représente l'angle que la tangente en [V-V) ^ l'hélice fait avec le plan horizontal, on a

A -- cp . Ig F Donc

Par suite,

ipports sont les coefficients angulaires respect ic rapportées aux axes jjm etpc, on voit que ndiculaires entre elles.

races horizontales des tangentes orlhogonal'-s %trice G est la perpendiculaire menée par

Il tracée, il suffit, pour avoir le plan tangent à pm la perpendiculaire »)>»„ qui coupe pd ig.iHM'f^) est la ligne de plus grande pente de

ce plan qui contient, en outre, la génératrice (G.G'). La parallt 'a piii est la trace horizontale de ce plan.

Réciproquement, si cette trace est donnée, on en déduit le p contact [in.m) en abaissant du point m^ la perpendiculair sur G.

3ï>3. Courbe d'ombre. — La construclion donnée au d* «ncorc applicable. Soil / le pAle de la courbe d'ombre situé sur le t perpendiculaire à la projection des rayons lumineux à une dislance du centre donné p:ir

Cf élanl l'angle des rayons lumineuii avec le plan horizontal.

La projection u du point de la courbe <) ombre situé sur G est à. la rencontre de celle droite et de la droite fn. Mais ici, le point n est à l'inllni sur cp (n° 331]. Donc le point u est le pied de la perpendiculaire abaissée de /-sur G {ftg. 324).

La courbe [it] est donc la podaire du cercle de base par rapport au c'est-à-dire un limaçon de Pascal (n" 269, Ex.). Noua savons en dét la tangente el le centre de courbure (loc. cit.).

f. — Surface i