FILET CARRÉ
3rV5. Gènéralion. — Lorsque le noyau cylindrique de coïde à plan directeur se réduit à son axe, on a la surface fh filet carré, qui se déduit, comme on voit, de la surface de vis triangulaire en supposant les génératrices de celle-ci perpt laires à la droite directrice.
La surface de vis à filet carré est donc un conoïde droit.
Nous allons voir ce que deviennent dans ce cas les propriét cédemment obtenues pour l'hélicoïde à plan directeur ou pour race de vis à filet triangulaire.
Remarquons tout d'abord qu'U n'y a lieu ici de s'occupe construction ni du cercle polaire, qui est rejeté à l'infini, ni d tour apparent vertical pour la même raison, ni des sections h. laies, qui se réduisent aux génératrices de la surface.
. Plan tangent. — Supposons la surface définie par son
axe et une de ses hélices {ab.a'h (fHj. 325).
La génératrice passant par [m.M .
se projette horizontalement suivant c.»
et verticalement suivant la parallèle p'm'd, la ligne de terre.
Le plan tangent en {in.ui') est déterminé par cette génératrice et par la tangente [mt.m't") à l'hélice. Comme ■Dit est perpendiculaire à cm, ce(te langente est orthogonale. D'ailleurs le point central se projetant horizontalement en c, il suffit de tirer et pour avoir la droite Heu des traces des langeâtes orthogonales le long de la génératrice considérée.
On aura, par exemple, la tangente orthogonale (çço-î^o) ^^ P"'"' '?■?
en élevant à cm la perpendiculaire ç^,,.
356. Courbe d'ombre. — Reprenons la construction donnée au n" 353. Sur la perpendiculaire cf à la direction er du rayon lumineux [fig. 3àfi nous portons le segment c/' donné par
"Ig?
f étant l'angle que le rayon lumineux projeté en cr fait avec cette projection. Pour avoir la projection u du point de la courbe d'ombre sur G, il suDlt d'abaisser du point f la perpendiculaire fu sur G. Comme ici la droite G passe par le point flxe c, pied de l'axe de la surface, le lien du point
FiD. 326.
est le cercle décrit sur cf comme dia-
Soient h le pas réduit des hélices tracées sur la surface et ayant pour axe celui même de la surrace, Ug et U les points de la courbe d'ombre projetés en u et Ug, dont les hauteurs :^ et x au-desnus du plan horizontal de projection sont respectivement celles des génératrices G^ et G.
On a
SURFACES DÉVBLOPPABLBS 405
OU
X — Zq = h. -^>
o étant le centre du cercle cf. Cette formule montre que le point U décrit sur
le cylindre dont la base est le cercle c/*une hélice dont le pas réduit est -•
Ainsi, la courbe d'ombre propre est une hélice et, comme la courbe d'ombre portée sur le plan horizontal est la projection oblique de la courbe d'ombre propre faite parallèlement aux rayons lumineux, cette courbe d'ombre portée sera un e cycloïde [n^ 288).
357* Asymptote de Tindicatrice. — Si nous reprenons la construction de l'asymptote de l'indicatrice en chaque point d'une génératrice, donnée à propos de la surface de vis à filet triangulaire (n"* 350), nous voyons que le pôle n de la génératrice {fig. 322) étant à l'infini sur la perpendiculaire élevée en c & la génératrice G, il en est de même du point i. Donc la seconde asymptote de l'indicatrice en m se confond en projection horizontale avec la perpendiculaire mr à G, et comme ici la génératrice G est horizontale, on voit que, dans l'espace, la seconde asymptote de Tlndicatrice est aussi perpendiculaire à cette génératrice. Il en résulte qu'en tout point de la surface l'indicatrice se compose de deux hyperboles équilatères conjuguées, autrement dit que les rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires. La surface est donc une surface minima, ainsi que l'a remarqué Meusnier (n^ 315).
Les axes de l'indicatrice bissectant les angles formés par les asymptotes, on voit que les lignes de courbure de la surface de vis à filet carré sont inclinées à 45^ sur les génératrices de la surface.
