Surfaces développables

A. — Généralités

358. Première définition. — Reprenons la formule de Ghasles (n** 322) qui fait connaître Tangle du plan tangent avec le pian central

Si fe = 00 , on a tg6 = 0, sauf pour ce = oo , auquel cas 8 est indéterminé. Gela veut dire que le plan tangent est le même en tous les points de la génératrice, sauf à Tinfini où il est indé-

terminé. Or, si k = oo, c'est que, d'après la définition de ft ( contenue dans la formule /i = LimM' Tangle e de deux génératrices

infiniment voisines est infiniment petit par rapport à leur plus courte distance p. Les surfaces pour lesquelles cette circonstance se produit pour toutes les génératrices sont les cylindres ; s est alors rigoureusement nul.

Si ft =r^ 0, on a tg8 = a, sauf pour a? = o, auquel cas 9 est indéterminé. Gela veut dire que le plan tangent est le même en tous les points de la génératrice, sauf au point central, où il est indéterminé. Or, si k = 0, c'est que la plus courte dislance jy de deux génératrices infiniment voisines est infiniment petite par rapport à leur angle e. Cette circonstance a lieu pour toutes les génératrices d'un cône, car j) est alors rigoureusement nul. Mais il est d'autres surfaces réglées que les cônes sur lesquelles toutes les génératrices offrent ce caractère.

Réciproquement, là formule de Ghasles montre que 6 ne saurait être indépendant de œ que si k est nul ou infini. Cette formule fait voir, d'ailleurs, qu'il suffit, pour que le plan tangent soit le même tout le long d'une génératrice, qu'il soit le même en deux points de cette génératrice.

Les surfaces pour lesquelles le plan tangent est le même tout le long de chaque génératrice sont dites des surfaces développables. Laissant de côté le cas des cylindres (k = oo ), nous supposerons partout dans la suite que k = o.

Remarque. — Nous avons vu que les plans tangents au côno directeur sont parallèles aux plans asymptotiquesde la surface |n'*323i. Puisqu'ici les plans tangents tout le long d'une génératrice sont confondus entre eux, et notamment avec le plan asymptotique, on peut dire que le plan tangent le long de chaque génératrice est parallèle au plan tangent le lojig de la génératrice carre spondwite du cône directeur,

359. Deuxième définition. — Soient G et G' deux génératrices infiniment voisines de la surface le long desquelles les plans tangents sont T et T'. Si nous coupons celle-ci par un plan quelconque S qui rencontre G en M et G' en M', les tangentes en M

mm

SURPAGES DÉVELOPPABLES 407

et M' à la courbe d'intersection se coupent au point M,, où le plan S rencontre la droite d'intersection G, des plans T et T'. A la limite, le point Mj vient se confondre avec le point M, et, comme le plan sécant S est quelconque, on voit que la limite de Tintersection G^ des plans T et T' est la génératrice G.

Donc, toute surface développable peut être considérée comme V enveloppe de première espèce de ses plans tangents (n® 291 ).

Réciproquement, si un plan variable dépend d' un seul paramètre, son enveloppe est une développable. Gela est évident, puisque la surface enveloppe et la surface enveloppée (ici le plan) se raccordent tout le long de la caractéristique (ici une droite) (n** 291).

360. Troisième définition. — Nous avons vu (n°274, Cor. I) que chaque tangente à une courbe gauche peut être considérée comme la limite de l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins; la surface lieu de ces tangentes constitue donc l'enveloppe de ces plans ; elle est, par suite, développable, en vertu du numéro précédent (*).

Réciproquement, toute sur- ^

face développable, c'est-à-dire ^, ^.-^v^

■SBLmb

toute surface dans laquelle la

distance de deux génératrices

infiniment voisines est infini- " Pio 327.

ment petite par rapport à

l'angle de ces génératrices, est le lieu des tangentes à une courbe

gauche. Nous allons voir, en outre, que cette courbe gauche est la

ligne de striction de la surface.

Soient, en effet, M et M' les points centraux situés sur les génératrices G et G' dont la plus courte dislance est PP' [fig. 327).

Du point M' abaissons la perpendiculaire M'M" sur le plan mené par G parallèlement à G'. La figure M'P'PM" est un rectangle. Par suite, M'M" = P'P et M'P' = MT. Si du point M" nous abaissons la perpendiculaire M"Q sur G, M'Q est aussi perpendiculaire à G en vertu du théorème des trois perpendiculaires. Donc, en appelant e

(«) Si nous nous reportons à ce qui a tH6 dit des normales à une surface le long d une ligne de courbure (n* 305), nous voyons que leur propriétt'» caractt'ristique peut s'énoncer ainsi : Une ligne de courbure est une courbe le long de laquelle la normalie est développable.

SURFACES DÉVKLOPPABLES

361 • Arête de rebroussement. — Nous allons faire voir que la section d'une surface développable par un plan quelconque présente un point de rebroussement sur la ligne de striction qui, pour cette raison, a reçu le nom d^arêle de rebroussemenL

Soit S le plan sécant qui coupe la ligne de striction G au point M {fig. 328)

FiG. 328.

où le plan osculateur est 0. La tangente MT en M est dans le plan qui coupe, en outre, le plan S suivant la droite MX (').

Projetons la courbe G en G^ sur le plan S par des projetantes parallèles à MT et en Ca sur le plan par des droites parallèles à la perpendiculaire MT élevée à MX dans le plan S. La courbe G, présente, comme on sait, un point de rebroussement en M, où sa tangente est MX (n^ 280).

La section cherchée est le lieu du point T' où la tangente MT' en M' rencontre le plan S. Le point T' se trouve sur la tangente à la courbe projetée G| en M|, puisque cette tangente en M'^ est la projection de M'T'. En outre, puisque la tangente M'aT'a à la courbe projetée Gj est la projection de MT, faite parallèlement à MY, le point T' se trouve sur la perpendiculaire élevée en T'a à MX dans le plan S.

Le point M étant un point ordinaire de la courbe Ga, tous les points T, sont, sur MX, du même cAté de M (le côté droit sur la figure 328). Donc, tous les points T' sont d'un même côté de MY, et la courbe cherchée ne traverse pas cette droite.

(ï) La démonstration suivante a été donnée par M. Tresca, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, alors qu'il était élève à TEcoIe Polytechnique.

D'autre part, le point M étant un point de rebroussement sur la courbe C,, on voit que, suivant que M'^ est au-dessus ou au-dessous de la tangente MX en M, le point T' est au-dessous ou au-dessus de T'.

Ainsi, le Heu <rdu point T\ tout entier à droite de MY, a une branche audessous et une branche au-dessus de SIX. Reste à trouver la tangente en M- Or, cette tangente est la limite de MT, trace sur S du plan mené par M et la tangente inflniraent voisine MT'. Ce plan ayant pour limite le plan osculateur 0, la tangente en M est donc la trace MX de ce plan osculateur sur 0.

On voit ainsi que la courbe <r a un point de rebroussement en M.

362. Applicabililé sur le plao. — Si nous reprenons la formule qui fait connaître la courbure totale le long d'une génératrice d'une surface réglée (n** 329), formule qui peut s'écrire

nous voyons que, pour une surface développable, k étant nul, on a Ct = o. D'après ce que nous avons vu à la fin du numéro 316, cela prouve que toute sur face développable est applicable sur un plan. C'est môme cette propriété qui justifie le nom donnée ces surfaces.

Cette applicabilité peut, d'ailleurs, être établie par le procédé tout élémentaire que voici :

Inscrivons dans Taré te de rebroussement G une ligne polj'gonale quelconque

M^MoM.jM^ à côtés infiniment petits

[fig. 329). Les côtés M^M^, M2M3, M3M4,

de cette ligne, prolongés forment

une surface polyédrale qui se confond, à la limite, lorsque les côtés de la ligne polygonale tendent vers zéro, avec la surface développable dont G est Tarête de rebroussement.

Or, la surface polyédrale considérée peut être développée sur un plan par des rotations successives autour de ses arêtes M^M.>,M.,M3, M3M4, Gette propriété subsiste à la limite; on peut donc appliquer la surface développable sur un plan. Si nous traçons sur la

surface polyédrale une ligne polygonale NJN0N3 quelconque, les

longueurs des éléments de cette ligne après développement, non plus que leurs angles avec les arêtes adjacentes, ne sont altérés. Passant à la limite, on voit que la lotu/ueur de Varc (Tune courbe compm

Fig. 329.

SURFACES' DÉVELOPPABLES 411

entre deux génératrices quelconques et les angles de cette courbe avec les génératrices se conservent dans le développement.

363. Divers modes de génération. — Le fait pour une surface réglée d'être développable équivaut à une condition. Il suffira donc de deux conditions simples pour définir une telle surface.

Les modes ordinaires de génération examinés au n°321 se réduiront ici à ceux qui sont caractérisés par les éléments suivants :

1**, 2 directrices;

2**, 1 directrice et 1 noyau ;

3**, 2 noyaux.

On peut, d'ailleurs, prendre pour directrice la courbe située à Tinfîni sur la surface, courbe qui est définie par Tintersection du plan de Tinfini avec le cône directeur de la surface qui a son sommet en un point quelconque, c'est-à-dire le cône formé par les parallèles aux génératrices de la surface menées par un point quelconque.

Soient (A) et (B) deux directrices de la surface développable dont AB est une génératrice {pg. 330). Le plan tangent à la développable le long de A contient les tangentes AA^ et BB, aux courbes (A) et (B), puisque ces courbes sont sur la surface. On voit ainsi que ce plan est tangent à la fois aux courbes (A) et (B). Gomme la développable peut être considérée comme l'enveloppe de ses plans tangents, on peut Fio. 330. dire que la développable imssant par

deux courbes (A) et (B) est V enveloppe des plans tangents communs à ces deux courbes. Gela montre qu'une surface développable ne saurait avoir de directrice rectiligne sans se réduire à des plans.

Il est aussi facile de voir que la développable ciyxonscrite à deux surfaces (noyaux) est Venveloppe des plans tangents communs A ces deux surfaces.

Le théorème de Dupin (n** 294) montre quVn chaque point de la courbe de contact sur Vune des surfaces la tangente est conjuguée de la génératrice de la développable par rapport à V indicatrice.

Le même résultat peut encore s'étendre au cas où l'on se donne une directrice et un noyau. On peut même, dans ce cas, supposer la directrice placée sur le noyau. La développable est alors l'enve-

SURFACES DÉVELOPPABLES

4ia

mener par A une parallèle à la génératrice de contact 06 du plan tangent au cône 0kl mené par la parallèle Oa à AAj.

De la même façon on voit que la développable peut être consi-

dérée comme Tenveloppe de cônes ayant leurs sommets sur une de ses directrices et qui sont circonscrits à l'un de ses noyaux.

Remarque. — Nous avons supposé qu'on pouvait mener par AA,. au moins un plan tangent réel au cône AKL, mais il se peut qu'il n'en soit pas. ainsi. Les arcs correspondants de la courbe (A) ne seront rencontrés par aucune génératrice de la développable. Ces arcs sont àx[.^ par asiles , Le point de passage d'un arc parasite à un arc qui ne l'est pas est dit un poinl limite.

En ce point limite, la tangente AA^ à la courbe (A) passant de l'intérieur à l'extérieur du cône AKL se trouve sur la surface même de ce cône, et, par suite, pour ce point, AB se confond avec AAp

Donc, les points limites sur (A) sont ceux où la génératrice de la développable devient tangente à (A). De telles génératrices appartiennent, on le voit, à la développable dont (A) est l'arête de rebroussèment.

Si la développable est définie par les directrices (A) et (B), il suffira, pour avoir les points limites sur (A), de chercher les points de cette courbe tels que les tangentes en ces points rencontrent B.

On voit bien aisément que la ligne de striction de la développable passe par les points limites de la directrice (A), car la tangente AA^ peut être considérée, aux infiniment petits du deuxième ordre près, comme passant par le point infiniment voisin A' de (A), c'est-à-dire comme rencontrant la génératrice infiniment voisine A'B' de la développable.

^montre, en outre, <ju'en ces points limites la ligne de slricssente des rebrou ssements.

Courbure des ligues tracées sur une développable. —

lans le cas général des Burfaces réglées, les génératrices d'une déveeont à la foU des géodésiques et des asymploliques de celte surface elles en sont aussi des lignes de courbure, puisque le long de chaque ice les normales sont dans un marne plan, c'est-à-dire se rencontrent, oints d'ailleurs rejetés à l'inBni. Le second syslème des lignes de cuui^ dès lors constitué par les trajectoires orthogonales des génératrices. le le rayon de courbure de la section normale passant par la générapartout ioiini, autrement dit puisqu'en chaque point l'un des rayons ure principaux est inRni, tous les points de la surface sont des poinU jues {n" 297), et la relation d'EuIer se réduit &

e rayon de courbure de la section normale inclinée à l'angle f sur \» mrmale perpendiculaire & la génératrice, section normale dont le courbure est Rg.

re, l'équation (l) du n" 391 montre qu'en tout point d'une dévelop-

Dquement, une surface dont tous les pointa sont paraboliques est une développable('). bln effet, puisqu'en chaque poinU'uD des rayons de courbure principaux est inGni, l'un des systèmes de lignes de courbure est formé de lignes droites. Or, la normalie le long de toute ligne de courbure étant développahie ne saurait, lorsqu'une telle ligne est droite, être qu'un plan, ce qui prouve que le long de chacune de ces droites le plan tangent est le même.

Pour connaître tout ce qui concerne la courbure des lignes tracées sur une développable, il suffit donc d'avoir en chaque point le rayon de courbure R„ de la section normale perpendiculaire à la génératrice. Ce rayon peut être obtenu de la manière suivante :

Considérons sur l'arête de rebroussement C quatre points infiniment voisins P^, P,, Pj, Pj {fiff. :)32). Aux infiniment petits d'ordre supérieur près, les droites PïP, peuvent être considérées comme trois génératrices intini-

:'sulto aussi de la retuarqi:

lulle eu chaque point.

ir que la courbur

SURFACES DÉVELOPPABLES ment voisines de la surface, et les plans PoP.Pj, P.PjPa respei comme les plans osculateurs en P, et P,.

Le plan normal en U,, perpendiculaire à P,M,, coupe les plans 1 M,PjMj suivant les droites M^M, et M, Mj perpendiculaires à P,H,. L'a formé par ces droites mesure donc le dièdre Tormé par les plans os BoP,M, et M,PiM,; c'est, par suite, l'angle de torsion n (n* 276) de PgPiPj au point P, . On a donc pour le rayon de courbure R^ de la se maie MqU,Mj en M,,

Mais M(,P,M, étant l'angle de contingence e (n° 272) de la courbe F point P, , on a, aux infiniment petits du troisième ordre près, e

Rf et Ri étant les rayons de courbure et de torsion de l'aréle de r ment au point P, (n" 278).

360. Traiisrorniallon de la coiii'bure dans le dév4 ment de la surFace. — Considérons le rayon de courbure point M d'une courbe C tracée sur une développable et cherchons le

courbure R, au point correspondant de la courbe transformée C, applique la surface sur un plan. Tout d'abord remarquons que nous prendre pour le plan sur lequel se fait le développement celui qui es ù. la surface le long de la génératrice MH passant au point M.

D'après ce que nous avons vu au n° 362, nous aurons, en négligeani ment petits d'ordre supérieur, le point M, où viendra, dans le dévelo le point M' de la courbe C (fig. 333), par une rotation inilniment peti de la génératrice MH. Abaissons donc du point M' la perpendiculairi

SURFACES DBVEI-OPPABLES

li, — Surfaces iléveloppablen à cône directeur de ou surfaces d't'f/ale pente

36T. Génération. Sections horizontales, striction. Plans tangents. — Supposons que le leur d'une développable soit de révolulion ; cette c peut être considérée comme l'enveloppe de cônes par cône directeur ayant leurs sommets sur une courbe d< prise pour directrice {n° 364) (').

Convenons d'appeler direction verticale celle de l'a directeur, et prenons comme directrice une section hoi de la surface, sur le plan de laquelle nous supposons l jelée [fig. 334).

Appelons i l'angle que les génératrices du cône directeur font

avec le plan horizontal. Le cône

directeur de sommet A est coupé

par un plan horizontal Z, distant

de z du plan de projection, suivant

un cercle MM, de rayon :s cotg*.

La section de la surface par le

plan Z est l'enveloppe de ce cercle

de rayon constant. C'est donc,

en projection, l'ensemble des

courbes (M) et (M,) parallèles à la

courbe (A). Les tangentes Mm et ''■"■ 33*-

M,ï/!, à ces courbes en M et M,

sont parallèles à la tangente Aa à la courbe (A), et la n

mune a pour enveloppe la courbe (E) qui, d'après cela,

jection horizontale la développée commune aux pri

toutes les sections horizontales de la surface.

Les génératrices de contact de la surface et du cône c

se projettent suivant AM et AM,. Elles sont inclinées à

le plan horizontal. En outre, le plan tangent le long de

trices étant le même pour la surface et pour le cône, ou

['■) Il lie spiait |)iis |iu$siblt! di! supposer, ( iiue i:c uôiie dii-ectciir se réjuisîl h mi plan ii<; fùl un simple poiul h l'influi, auquel cai

IIS le eus lies su . i|ue l'aiiHe île il un cylindi-e.

plans tangents, dont les traces sur le plan Z sont Mm et M^»i^, sont également inclinés à Tangle i sur Thorizon.

Cette propriété a fait donner aux surfaces qui nous occupent le nom de surfaces (Tégale pente. Ce sont de telles surfaces qui limitent les remblais. Supposons, en effet, qu'à partir de chaque point A de la courbe (A) on déverse des terres qui se tiennent naturellement sous l'angle i. Pour chaque point A pris isolément, ces terres formeraient un cône ayant ses génératrices inclinées à l'angle * sur l'horizon. La surface de remblai obtenue par un déversement de terre tout le long de la courbe (A) sera l'enveloppe de ces cônes, c'est-à-dire la surface que nous venons de définir.

Considérons le cylindre vertical dont la base est (E). La génératrice projetée suivant AM est tangente à ce cylindre et fait avec sa

génératrice projetée en E l'angle x — i. D'ailleurs, d'après ce que

nous avons vu au n*" 335, le lieu du point de* contact de la génératrice AM et de ce cylindre est la ligne de striction de la surface, et, comme ici la surface est développable, cette ligne de striction est, dans l'espace, tangente à la génératrice AM.

Il résulte de là que cette ligne de striction coupe les génératrices

du cylindre (E) sous l'angle constant 5 — %\ c'est donc une hélice

de ce cylindre.

Ainsi, toute surface d'égale pente est le lieu des tangentes à une hélice tracée sur un cylindre quelconque^ et la section de la surface par un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre est une développante de la section du cylindre par ce plan.

Nous savons (n^* 360) que les plans tangents à la surface sont les plans osculateurs à sa ligne de striction, qui est ici une hélice décrite sur le cylindre (E). Donc, ces plans tangents sont normaux à ce cylindre (n° 283). Par suite, toute surface d"" égale pente est orthogonale à son noyau cylindrique.

On voit que les surfaces d'égale pente se déduisent des hélicoïdes gauches généraux (n° 338) en supposant que les génératrices de ceux-ci deviennent tangentes à leur ligne de striction, c'est-à-dire que ^ -- y.