Intersection de surfaces d'égale pente

Soient (A) et (A') (fig. 335) les directrices, prises dans un même

SURFACES DÉVELOPPABLES 419

plan horizontal, de deux surfaces d'égale pente S et S', dont les inclinaisons sur l'horizon sont respectivement i et ï". Si nous coupons ces deux surfaces par un plan horizontal auxiliaire à la distance z du premier, nous obtenons, en projection horizontale deux courbes (a) et (a) parallèles l'une à (A), l'autre à (A') aux distances respectives z cotg i et 2 colg ^' de ces courbes.

Le point de rencontre M de (a) et fa') est donc tel que ses dislances normales MA et MA' à (A) et à (A') sont liées par la formule

MA cotg i

MA' colg t

Lorsqu'on fait variera, le point M, qui peut être considéré comme défini par la formule précédente, engendre la courbe (M), projection horizontale de la courbe d'intersection des surfaces S el S'.

Les plans tangents aux surfaces 2 et S' le long des génératrices projetées en MA et MA' sont définis par ces génératrices et respectivement par les tangentes AT et AT aux directrices (A) et (A'). La tangente à la courbe d'intersection passe donc par le point T, et la droite MT est la tangente à sa projection.

Il suffit de supposer que l'une des directrices devient une droite pour déduire de là la construction de la courbe d'intersection d'une surface d'égale pente par un plan.

-Si l'une des directrices se réduit à un point F et l'autre à une droite (D) (/^. 336) la courbe (M), lieu des points tels que le rapport MF soit constant, est une conique de foyer F et de

directrice (D). Or, dans ce cas, Tune des surfaces est un cône de rëvolutionde sommet F; l'autre, un plan passant par (D). On retrouve donc bien ainsi le résultat connu, y compris le tracé de la tangente obtenue, d'après ce qui précède, en joignant le point M au point T où la droite (D) est rencontrée par la perpendiculaire élevée en F à MF.

369. Problèmes sur les plans tangents. — i"" Proposonsnous de mener à la surface 2 définie par la directrice horizontale (A i [fig. 337) un plan tangent par le point P. Soit AB la trace de ce

Fio. 337.

plan, tangente en A à la directrice (A). La génératrice de contact se projette suivant la normale AN de la courbe (A }. Considérons le cône directeur de sommet P. D'après ce que nous savons (n° 358, Remarque) y le plan tangent à ce cône le long de la génératrice PB parallèle à AN est parallèle au plan tangent NAB ; mais puisque, par hypothèse, ce plan NAB passe par P, ces deux plans tangents

Fig. 338.

sont confondus et, par suite, la trace AB du plan est tangente au cercle (B) d'intersection du cône directeur et du plan horizontal. On a donc le point A en menant à la courbe (A) et au cercle iB) une tangente commune AB, telle, d'ailleurs, qu'aux points A et B les courbes (A) et (B) soient d'un même côté de AB. Ainsi, la tangente

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A'B' ne donnerait pas une solution, parce qu'aux points A' et B' les génératrices de la surface et du cône font avec le plan horizontal des angles égaux, mais de sens contraire,

2** Proposons-nous maintenant de mener à la surface S un plan tangent parallèle à une droite D donnée. Considérons le cône directeur qui a pour sommet un point S quelconque [fig. 338). Si AN est la génératrice le long de laquelle le plan tangent est parallèle à D, le plan tangent de la génératrice SB du cône directeur parallèle à AN sera aussi parallèle à D (n'*358, Rem.). On a donc le point B en menant par le sommet S du cône à la droite 1) la parallèle ST, qui rencontre en T le plan du cercle de base (B), et en tirant par le point T les tangentes TB et TB' au cercle (B).

Menant à la directrice horizontale (A) de S les tangentes parallèles à TB et TB', telles qu'aux points de contact la courbe (A) soit du même côté par rapport à ces tangentes que le cercle (B) par rapport à TB et TB', on obtient les points A et A' auxquels aboutissent les génératrices de contact AN et A'N' cherchées.

370« Lignes doubles. — Si Ton considère le lieu des points N d'où Ton peut mener à la directrice iiorizontale (A) deux nornialesNA et NA^ égales, on voit que par le point de la surface dont N est la projection horizontale passeront deux génératrices. Ce point engendre donc une ligne double de la surface.

En particulier, le plan vertical mené par un axe de symétrie de la courbe (A) coupe la surface suivant une ligne double.

Soit X un axe de symétrie de (A); prenons un plan vertical parallèle à X, sur lequel la trace du plan de (A) est H' {fig. 339), L'intersection de la surface par le plan de front de X est une ligne double de la surface qui se projette verticalement sans altération en (N). F,c. 339.

On a n'K = NA. tg i. Du point N comme centre décrivons le cercle de rayon NA qui coupe Nn en a. Nous avons

yf^

^SL'^'x

(ar

f\If

n^N Na

■= Ig i-

Donc la courbe (N') s'obtient en dilatant dans un rapport égal à tg i les ordonnées de la courbe [a) obtenue en redressant les normales NA perpendiculairement à Caxe X, les ordonnées de la courbe (N') étant d'ailleurs comptées à partir de H', celles de la courbe (a), à partir de X.

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DonnonB-nous, par exemple, une directrice elliptii aba,b, [fig. 340) eL prenons pour simplifier t ^= 45". D'aprè! nous aarona dans le plan vertical de aa, une ligne double qui projetée en /'c'/',c', sur un plan vertical parallèle à aa, ; 1'. ellipse est égal à la distance //', des foyers de l'ellipse directrïï est égal à &d,.De même, nous aurons, dans le plan vertical i double qui sera une hyperbole projetée en ^d^'^^" ^d\^" sur parallèle à hh^ ; l'axe imaginaire de cette hyperbole est égal i foyers imaginaires de l'ellipse directrice situés sur 6A, ; son . égal à aa! f.

Il est évident que ces coniques doubles sont tangentes l'une l'autre en S'.p", ?',,?"( aux génératrices de la surface situéesc les points de contact étant sur les verticales respectives des bure a, «,, p, p, de l'ellipse directrice correspondant aux som

On voil, en outre, que ces coniques ne constituent pas I lif^nes doubles. Celte propriété n'a lien que pourles arcs marq surla figure 340. Les arcâ marqués en pointillé sont parasites.

Les génératrices qui s'abaissent à partir de l'ellipse direc rieur de celle ellipse donnent les arcs doubles a'c'a', et p' s'abaissent vers l'iolérieur donnent les arcs doubles «"c'ion'et

La développée de l'ellipse directrice, marquée en Irait mixt noyau cylindrique de la surface considérée, ou encore la pro^ de rebroussement, hélice tracée sur ce cylindre.

372. Iléllcoïde développnble. — Nous avo que toute surface d'égale pente est le lieu des tangenti tracée sur un cylindre. Si le cylindre est de révolutic des tangentes à une hélice ordinaire, surface qui n'est ticulier de l'hélicoïde étudié précédemment (n"' 340suppose c ^^Y et qui, pour cette raison, a reçu le n développabîe.

Le contour apparent vertical de cette surface se l'enveloppe des projections de ses tangentes n'est aui jection de l'hélice, arête de rebroussement; c'est d solde (n' 287). 11 faut toutefois remarquer que le loi trices parallèles au plan vertical de projection, le ] l'hélicoïde, qui n'est autre que le plan osculateur rebroussement (n" 360, Thé,or. final), est perpendicul projeclion. Les projections de ces génératrices prises donc aussi partie du contour apparent.

B'après le théorème énoncé à la fin du n" 367, les zontales de la surface sont des développantes du cerclt du noyau cylindrique.