CHAPITRE r\ PROJECTIONS COTEES

• Liff ne!!» <l'éj|ale pente. — De là, une première conséquence, c'est que, pour une même distance verticale //, la pente est la même lorsque d est le même.

En particulier si

d est ce que nous avons appelé l'intervalle i,.

Si donc, à partir d'un point Ai pris sur la courbe 1 (fig. 30), nous traçons la ligne AjA^A^..., telle que

les divers éléments qui composent cette ligne dans l'espace ont la même pente p.

FiG. 30.

Nous avons ainsi la projection d'une ligne d'égale pente de la surface.

Il est facile, d'après cela, de tracer à partir d'un point donné une ligne d'égale pente donnée, car on a immédiatement la longueur i^ des segments successifs de cette ligne par la formule

Supposons maintenant que, au lieu de donner la pente, on donne les points de départ et d'arrivée Aj et A-, de la ligne d'égale pente. Pour pouvoir appliquer la construction, il faut connaître l'intervalle i^

SURFACES T0P00RAPHIQUE3 27

correspondant. On peul, avec une approximation suffisante, obtenir celui-ci de la manière suivante :

Avec un intervalle i\ voisin de la valeur que doit avoir i,, on trace la ligne d'égale pente A, A'^A'j... qui aboutit au point A'^.

De même, avecl' intervalle C, on obtient le point A'\.

Cela fait, on porte sur un axe les longueurs

or = i', et

or = r,

de ces intervalles, et en ordonnées les dislances

l'E' = AjA'j. TE' = \^k\,

ces ordonnées étant portées du même côté de l'axe ou de part et d'antre (ce qui est le cas ici et ce qui vaut mieux), suivant que les points A'; et A"^ sont, sur la courbe 5, du même côté ou de part et d'autre du point A^.

Si on construisait de même d'autres points E, donnant, en ordonnées, les écarts de position répondant à diverses valeurs de l'intervalle t,, on aurait une courbe qui couperait l'axe au point I correspondant à un écart nul, c'est-à-dire faisant connaître l'intervalle

de la ligne d'égale pente aboutissant au point A,^. Mais si les points 1' et r sont suffisamment voisins du point I, surtout s'ils sont de part et d'autre de ce point (condition qui peut toujours être obtenue par tâtonnement), on peut se contenter, sans erreur sensible, de prendre pour le point I le point de rencontre de l'axe et de la droite E'ET.

3S. Lignes de plus grande pente. — Reprenons la formule

et considérons le point A comme fixe et le point B comme variai sur la courbe b (/^. 31).

28 CHAPITRE r\ — PROJECTIONS COTEES

Si nous nous donnons la valeur de d, nous avons sur la courbe b, en décrivant de A comme centre un cercle de rayon d, deux points B etB', tels que la pente des lignes projetées suivant AB et AB' est égale à la valeur de p donnée par la formule ci-dessus.

Lorsque d diminue, // étant constant, p augmente ; mais d rie peut pas diminuer indéfiniment. Sa plus petite valeur est donnée par le rayon d^da cercle de centre A tangent à la courbe 6.

La pente p^ correspondante est maximum. C'est la plus grande pente que puisse offrir à son départ" une ligne tracée au point A sur la surface.

Nous pouvons de même passer du point Bq à la courbe c par le chemin BoCq de pente maximum, et ainsi de suite.

Nous obtenons ainsi une ligne déplus gy^ande pente de la surface.

Remarquons que, puisque la courbe b est tangente au cercle de

rayon AB^, cette droite AB^^ est normale en Bq à la courbe 6; de

Fio. 31.

même, B^G^ est normale en G

Q à c, GqDq normale en Dq à d.

Si nous supposons que nous prenions sur la surface un très grand nombre de courbes de niveau extrêmement rapprochées, nous voyons qu'à la limite la projection de la ligne de plus grande pente sera une courbe coupant à angle droit les projections de toutes les courbes de niveau. G'est ce qu'on appelle une ty^ajectoire orf//o^onflffe de ces courbes.

D'ailleurs, si on considère dans Tespace l'angle formé en un point par la tangente à la courbe de niveau et la tangente à la courbe de plus grande pente passant en ce point, cet angle se projetant horizontalement suivant un angle droit et a^^ant un côté horizontal (la tangente à la courbe de niveau) est, d'après un théorème bien connu, lui-même un angle droit.

Ainsi, de même que leurs projections sur le plan, les' courbes de niveau et les courbes de plus grande pente d'une surface^ prises dans l'espace^ se coupent à angle droit.

Une goutte d'eau abandonnée à elle-même en un point d'une surface supposée parfaitement polie glissera le long d'une ligne de plus grande pente.

3î>. Intersection de deux surfaces topogi^aphiques.

— Pour avoir Tintersection de deux surfaces topographiques, remarquons que les

points de rencon- \ A i

tre de deux lignes de niveau de même cote appartiennent à cette intersection puisque ces lignes de niveau de même cote appartiennent à un même plan horizontal.

On a donc immédiatement ainsi (fig. 32) un certain nombre de

points de l'intersection. Gela suffît, en général. Si Ton en désirait davantage, on aurait recours à des courbes intercalaires (n'' 33).

Fio. 32.

40. Application aux déblais et remblais d'une route. — Nous supposons qu'une route rectiligne de pente donnée, ce qui permet de construire les horizontales de la chaussée supposée plane, traverse un terrain défini par des courbes de niveau.

Dans les parties en déblai, le terrain doit être entaillé suivant des talus, dont la pente p^ sur l'horizon est donnée; dans les parties en remblai, les terres rapportées sont limitées à des talus dont la pente p^ est également donnée.

Sur la figure 33, on a pris

Pd = 1,

Les intervalles correspondants, pour l'équidistance de 1 mètre, sont

id= i,

Nous voyons qu'en projection la courbe de niveau 4 du terrain et

30 CHAPITBE 1". — PROJECTIONS COTÉES

l'horizontale 5 de la route se croisent entre les bords de celle-ci. Donc, en ce point, la route est au-dessus du terrain ; elle est en remblai.

De même, la courbe de niveau 3 franchit la route entre les horizontales 2 et 3, c'est-à-dire en une région où les points de la route ont des cotes inférieures à 3. Ici, il y a donc déblai.

On juge de cette façon de la région ou il y a déblai et de celle où il y a remblai.

Les points de passage du déblai au remblai sont donnés par la rencontre des bords de la route avec la ligne suivant laquelle le plan de la route coupe le terrain naturel. Celle ligne passe par les points Rj et R^ où les horizontales 3 et 4 de la route coupent les courbes de niveau 3 et 4 du terrain. On obtient ainsi les points de passage P et P', en confondant dans l'intervalle R^R^ la ligne d'intersection du terrain et de la chaussée avec sa corde.

Définissant le sens de la route par celui de sa graduation croissante, nous voyons que par le bord de droite nous aurons à faire passer un talus de remblai au-dessus de P', un talus de déblai au dessous ; et, sur le bord de gauche, un talus de remblai au-dessus de P, un talus de déblai au dessous.

Puisque nous connaissons les intervalles i^ et i^ de ces divers plans, nous pouvons les construire, ainsi qu'il a été dit au n*" 16, en tenant compte de l'observation qui termine ce numéro, c'est-à-dire de ce que les horizontales des talus de déblai doivent faire un angle obtus, et celles des talus de remblai un angle aigu avec le bord de la route pris dans le sens de la graduation croissante.

Par suite, ayant décrit, du point 5 comme centre, un cercle de rayon e^, c'est du point A que l'on mènera une tangente à ce cercle pour avoir la direction des horizontales du talus de remblai de droite. Tandis qu'ayant décrit, du point 2 comme centre, un cercle de rayon i^, c'est du point 3, non du point 4, que l'on mènera une tangente pour avoir la direction des horizontales du talus de déblai de droite.

Les directions correspondantes sur le bord gauche de la route seront évidemment symétriques des précédentes par rapport à l'axe de la route.

Pour avoir l'intersection de ces divers plans avec le terrain, il suffit, comme il a été dit au n° 39, de prendre les points de rencontre de leurs diverses horizontales avec les courbes de niveau de même cote prises sur le terrain.

Ces lignes d'intersection sont figurées sur la figure 33, que nous avons complétée par des profils en travers déterminés par le vertical Vrf sur la partie en déblai et V^ sur la partie en remblai.

41. Plan langeai mené à une surraee lopoj^raphique par une droite» — Premier cas. — La droite est horizoïUale, — Soit d la cote de la droite donnée par sa projection [fig. 34).

Appelons M le point de contact cherché.

La tangente à la courbe de niveau passant au point M est donnée par la rencontre du plan horizontal contenant celte courbe de niveau et du plan tangent en M ; c'est donc une horizontale de ce plan: mais la droite d est aussi horizontale de ce plan. Donc la tangente en M à la courbe de niveau passant en ce point est parallèle à la droite d. Il en résulte que, si nous circonscrivons à la surface le cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite d^ le plan langent cherché sera tangent à ce cylindre.

En menant aux courbes 1, 2, 3, 4, de la surface des tangentes parallèles à (/,