BH = BK = OA

les axes sont dirigés suivant les bissectrices intérieure et extérieure de rangle HOK.

On a, en outre,

OH = a + 6, OK = a — ô.

De sorte que, si on reporte OK en OL sur OH, on a, en appelant I le milieu deHL,

01 = a, LI = b.

(1) On pourra, par exemple, prendre le milieu de BC, pms, sur Tune des deux moitiés de ee segment, prendre des points à peu près équidistants et reporter rigoureusement ces points en ordre inverse sur la seconde moitié de BC.

(S) Nouvelles Annales de Mathématiques, 1893, p. 351.

(>) Annales des Ponts el Chaussées, août 1888, p. 262.

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE PLANE 41

On n'a qu'à reporter ces longueurs en OÂ^ et OB^ sur les directions des axes pour avoir les sommets Aq et B^.

2^ Hyperbole

50. Soient Oœ et Oy les asymptotes et M le point donnés. Nous pouvons nous borner à envisager la branche d*hyperbole comprise dans l'angle des asymptotes où se trouve le point A.

Il est bon de commencer par déterminer le sommet situé sur cette branche.

Les coordonnées du sommet sont égales à la moyenne géométrique des coordonnées OP et OQ du point M donné (fig. 45).

Rabattant OQ en OR sur le prolongement de PO, décrivant le cercle qui a PR pour diamètre, et élevant en la perpendiculaire OH à PR, on a cette moyenne géométrique OH. On la porte en 01 et OJ sur les axes Oo? et Oy. Les coordonnées 01 et OJ déterminent le ^^

sommet A,situé sur la bissectrice de â?Oy.

Fi(?. 45.

Fio. 46.

57. Pour obtenir d'autres points de l'hyperbole, menons par le centre {fig. 46) des droites quelconques OH^K^, OH^K^,... qui coupent les parallèles AI et AJ aux asymptotes, menées par le sommet A, respectivement aux points H^, Hj, H3,... et K^, Kj, K3,...

Parles points H^, H,, H3,... menons des parallèles à Ox; par les points K|, Kj, K3,... des parallèles à Ay. La rencontre de ces droites, associées par indices, donne les points M^, Mj, Mg... de l'hyperbole.

58. Si OD veut la tangente au point Mj, par exemple, on o'a qu'à doubler soit l'abscisse OPj, soit l'ordoDoée OQj de ce point, et à joindre le point S^ ou Tj ainsi obtenu au point Mj par une droite qui est la tangente cherchée.

3° Parabole (')

59. La parabole étant déterminée par deui tangentes TA et TB et leurs points de contact A et B, prenons le milieu M de AB [fig. 47), TM donne Ja direction des diamètree de ■^ la parabole.

Prenons d'une façon quelconque sur AB te segment P, HK égal h AH, et menons

par les points H et K des parallèles à TM qui coupent TA et TB en P et en Q. La droite PQ est tangente à la parabole.

Pour avoir son point de contact J, il sufDt de prendre le segment PJ égal à IQ.

On peut de cette manière avoir, en tel nombre qu'on voudra, des tangentes & la parabole avec leurs pointai de contact.

Un procédé expédttif, pour réaliser celte construction consiste à découper dans du papier fort le gabarit formé par le segment HK avec les parallèles à Til menées par ses extrémités. On n'a qu'à faire glisser le segment HK de ce gabarit le long de AB pour avoir autant de points P et Q que l'on veut. Lorsque tous ces points sont marqués, il siiflit de les joindre par des droites en suivant sur TA et TB des sens inverses, c'est-à-dire en associant le point P le plus voisin de A avec le point Q le plus éloigné de B.

00. Si, pour plus de précision, on veut avoir l'axe et le sommet de la parabole, on peut appliquer la construction suivante :

La perpendiculaire à TA en A rencontre la perpendiculaire à TB en T au point C {/ig. 48j. La perpendiculaire à TB en 6 rencontre la perpendiculaire à TA en T au point D.

(I) Pour toutes les enn Civil, t. IX, p. 90 ct33i, I

fi la parabole re[ir<i(liiiti

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE t/ESPACE

Le pied F de la perpendiculaire abaissée de T sur CD est le foyer de la parabole. La parallèle à TM menée par F est Taxe. La droite qui joint les pieds I

Fio. 48.

et J des perpendiculaires abaissées de F sur TA et TB est la tangente au sonv met.

§2. — Perspective axonométrique de l'espace

61 • Définition* — Supposons les points de Tespace rapportés à trois axes rectangulaires sur lesquels nous avons porté respectivement les longueurs OX, OY, OZ, égales à la même unité de longueur.

Représentons les faces OXY et OYZ rabattues sur un plan

ifig- 49).

Donnons-nous ensuite sur le plan trois axes quelconques le long desquels nous porterons les longueurs à des échelles différentes définies par leurs unités respectives 0,Xi, O^Yi et 0,Z,, choisies arbitrairement.

FiG. 49.

Prenons un point M de l'espace, et soient m et m ses projections orthogonales sur les plans OXY et OYZ.

Nous savons mettre le point m en perspective en m, sur le plan 0|X,Y, ^n* 44;. Par le point m, menons le vecteur m,M, équipollent (*; à OfR|,qui représente la troisième coordonnée.

Le point M| ainsi obtenu est la pet^speciive axoiwmétriqive du point M de l'espace.

En somme, le point M, est l'extrémité du vecteur résultant des trois vecteurs O^Pi, O^Qi, OiR^. On peut, on le sait, pour effectuer la composition de ces vecteurs, intervertir leur ordre d'une façon quelconque. Le vecteur résultant O^M, est toujours le même. Gela revient à dire que Ton peut commencer par mettre en perspective la projection du point M sur l'un quelconque des trois plans de coordonnées, pour en déduire ensuite le point Mj par une parallèle équipollente à la troisième coordonnée prise à l'échelle voulue.

Lorsque les segments 0,Xi, OjYi, 0,Z, sont égaux et inclinés de 120** les uns sur les autres, la perspective est dite isométrique.

Lorsque deux de ces segments sont égaux et font entre eux un angle de 90**, la perspective est dite cavalière.

Observation importante. — Ici, à l'inverse de ce qui avait lieu dans le cas du plan, la seule connaissance de la perspective Mj d'un point de l'espace ne suffit pas à déterminer ce point.

Si, en effet, on se donne M,, on peut, sur la parallèle à 0,Z, menée par ce point, prendre arbitrairement le point m^ pour en déduire les points Pj, Qi, R|, qui, reportés en P, Q, R, sur les axes OX, OY, OZ de l'espace, déterminent le point M.

On voit donc qu'à une perspective M^ donnée correspondent une infinité de points M de l'espace. Chacun de ceux-ci se trouve complètement défini si, en outre de M^, on se donne la perspective de la projection du point faite sur l'un des plans de coordonnées, par exemple le point m^. Ce sujet sera éclaici un peu plus loin (n** 64).

(<) Deux vecteurs sont dits cquipollents lors([u'ils sonl égaux, parallèles et de même sens. L'emploi de cette locution n'a ici d'autro but que de simplifier le langage, sans introduire, défait, aucune notion nouvelle.

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE l'eSPACE 45

A. — Droite et plan

\SL. Perspective de la droite. — La perspective d'une droite est une droite En effet, si nous projetons la droite donnée sur le plan OXY, nous obtenons une droite dont la perspective sur OiXiY, est une droite (n^ 45).

Gela dit, appelons H la trace de la droite donnée sur le plan OXY.

Le rapport —77 est constant pour tous les points de la droite. On en

déduit immédiatement que le rapport — ^ est aussi constant, ce

qui prouve que le lieu géométrique du point M^ est une droite passant au point H^.

On voit que les rapports segmentaires se conservent en projetant les points qui les déterminent sur le plan OXY.

Donc, toutes les remarques faites aux n*** 45 à 48, à propos de la perspective axonométrique plane, subsistent dans le cas de Tespace.

63. Une droite étant déterminée [flg. 50) par sa perspective d^ et celle 8,

Fio. :>o.

de sa projection sur Tun des plans de coordonnées, OXY par exemple, voyons comment on peut en déduire, en perspective» ses traces sur les trois plans et ses projections sur OYZ et OZX.