IK "" I,K^.0,Z

Or, le triangle MJ^K, reste semblable à lui-mênae, quel que soit le point M| choisi; donc les rapports fpy^ et ttT" sont constants,

IM KM ^ , et, par suite aussi les rapports tTT et ffr' Gela montre que les projections MK et IM' de la droite MM' de l'espace sur les plans XOY et YOZ sont de direction constante. Donc, enfin, la droite MM' est elle-même de direction constante.

Cette direction, commune à toutes les droites dont la perspective se réduit à un point, sera dite la direction de raccourci total.

65. Perspective du plan. — Un plan étant défini par trois points, le moyen le plus simple de le mettre en perspective consiste à prendre les perspectives de ses points d'intersection A, B,G, avec les axes OX, OY, OZ.

Les droites A^B, B^G|, G^A,, qui joignent deux à deux ces perspectives ifig. 52), sont les perspectives des traces du plan considéré ^\ sur les trois plans de coordonnées.

Si le plan est donné par trois points quelconques, il suffit de construire, ainsi qu'il a été dit au n* 63, les traces sur les plans de coordonnées de deux des droites unissant ces trois points; les droites joignant ces traces sont les traces du plan.

66. Réciproquement, si une droite est située dans le plan, les traces de cette droite devront respectivement se trouver sur A^B^, B<C|, CiA^. Cela permet d'avoir, en perspective, les projections de cette droite sur les plans de coordonnées.

Soit, par exemple, la droite L,K, [fig. 52). Proposons-nous d'obtenir la perspective de la projection de cette droite sur le plan ()\\Ci\.

■ -CJI ■ 'Si

• il >*'

Les perspectives k^ et /< des projections des traces K^ et L| sont à la rencontre respectivement de 0^X4 et de ©4 ¥4 avec les parallèles à O^Zi menées

par K4 et L|.

La projection k^l^ doit naturellement passer par le point de rencontre T^ de KiU et de A4B4, perspective de la trace de la droite KL sur le plan OXY.

67. Proposons-nous de môme d'obtenir la perspective de la projection sur OXY d'un point M du plan ABC dont nous nous donnons la perspective M^ (A^.53).

Tirons la droite C^M^ du plan. Sa trace sur OXjY, est E,, et, par suite, 0|E^ est, en perspective, sa projection. Dès lors, en menant par M^ une parallèle M^m^ à O4Z4 jusqu'au point m^ où elle rencontre O^E^, on a z,

la perspective m^ cherchée. ^»

Fio. 54.

68« Plans parallèles. — Si deux plans sont parallèles, leurs traces sur chacun des plans de coordonnées sont parallèles.

Proposons-nous de mener, par un point donné par sa perspective M4 et celle m^ de sa projection sur 0|X4Y4, un plan parallèle au plan ^^^B^C^ (fig. 54).

Le plan mené par 0|Zf et M^mi (qui sont parallèles dans l'espace) coupe 04X4 Y4 suivant 04m4, et, par suite, A464G4 suivant C4D4. L'intersection du plan cherché et du plan O4Z4M4 est parallèle à G4D4. Donc, en tirant par M4 la parallèle ^4^4 à D4C4, on a le point G'4 où le plan cherché coupe O4Z4. Menant par C'4 des parallèles à G4A4 et G4B4, on a les traces de ce plan sur 04X{Z4 et O4Y4Z1. La droiteA'4B'4, évidemment parallèle à A4B4, est la trace sur 04X4 Y4,

60. Intersection de deux plans. — On a, sur la perspective, les traces de cette intersection sur les plans de coordonnées en prenant les points de rencontre des traces des deux plans.

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE l'eSPACE 4»

Ainsi, l'iDterâectiOQ des plans A,B|C| et A',B'iC'i {fig. 5S) a pour perspective la droite 0,E,F, (■] .