iDterseetlon d'une droite et d'un plan. — La droite est

déterminée par sa perspective d{ et celle %, de sa projection faite, par exemple, sur le plan OXY [fig. 56).

(') De ce que lei ptiinls D,. E,. F|, sont iii-cessairetuent en ligne droite râsiitle la p priété fondamenlale des triangles homo logique s : si les sommets de ileui Irianglts d dttii à deux lur des droites coneoviuintes, leurs cotés ae coupent deux A deux suf i mime droite.

atoti. DiscRir. 4

Le plan projetant la droite sur OXY a sur les plans de coordonnées des traces dont les perspectives sont 8^ qui coupe OiX^ en h^, 0|Y^ en A<, et les parallèles à QiZf menées par hi et ki. Ce plan coupe le plan A1B1C4 suivant la droite U{K\ {n^ 69) qui rencontre la droite c?4 au point M^ cherché. En menant par ce point la parallèle Mimi à O^Z^, on a la perspective m^ de sa projection sur OXY.

71. Direction des perpendiculaires à un plan. — Pour avoir, en perspective, la direction des perpendiculaires à un plan ABC, abaissons du point une perpendiculaire OH sur ce plan.

La droite OC étant perpendiculaire au plan OAB est perpendiculaire à AB. De même, OH perpendiculaire à ABC est perpendiculaire à AB. U en résulte que AB est perpendiculaire au plan OCH et, par suite, à la droite 01 de ce plan, en appelant I le point où CH rencontre AB.

De même, la droite AH rencontre BC au pied J de la perpendiculaire abaissée de sur BC.

FiG. 57.

Ayant obtenu ces points en I et en J sur les plans OXY et OYZ rabattus {/îg, 57), on les met en perspective en !< et J<. Les droiles C|I, et A,J| donnent le point H<, et 0(H^ efl la direction des perpendiculaires au plan A|B{C(.

De lu, le moyen de mener par un point une perpendiculaire à un pian. Il suffit de mener par ce point une parallèle à la direclion 04H, qui vient d'être obtenue.

Si on veut, au contraire, mener par un point un plan perpendiculaire à une droite donnée, on construit, sur les plans OXY et OZY, des droiles AB et BC perpendiculaires aux projections 01 et OJ, sur ces plans, de la parallèle à la droite donnée menée par le point 0. On met ces droiles en perspective en A,B, etB^Cp II ne reste plus qu*à mener par le point donné un plan parallèle auplan AjBiC, (n^'ôS).

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE l'eSPACE 51

Remarque. — AB étant perpendiculaire au plan OCH est perpendiculaire à CH. Donc CiH|, obtenue comme il vient d'être dit, donne en perspective la direction des perpendiculaires menées à AB dans le plan ABC. De môme, pour B|H| et A4H4 relativement à kfi^ et à B^Gf.

72* Perspective d'une flg^ure tracée dans un plan ABC. — Rapportons les points du plan ABC supposé rabattu sur OXY (*) aux axes rectangulaires IB et IG [fig. 58). Soient IP et IQ les coordonnées du point M. Les perspectives P, et Q< de P et de Q diviseront I^B, dans les mêmes rapports que P et Q divisent IB et IG. En outre, les perspectives PiMj et Q|M, de PM et de QM seront parallèles respectivement à l(C| et Ï^Bf.

Fio. 58.

On voit donc que la perspective cherchée est une perspective axonométrique de la figure tracée dans le plan ABC, celle perspective étant définie par les segments \^\]^ et I^V^ perspectifs des segments lU et IV pris, sur IB et IG, égaux à Tunité de longueur.

73. Plans de raccourci total. — Si les perspectives A,, Bj, Gj des points A, B, G, où un plan rencontre les axes OX, OY, OZ sont sur une même droite, les perspectives de tous les points du plan sont sur cette droite A|BiGi. Le plan ABG est alors dit de raccouyxi total.

Il est évident qu'une droite de raccourci total (n** 64) s'appuyant sur une droite quelconque d de l'espace engendre un plan de raccourci total dont la perspective se confond avec la perspective rf, de la droite d.

{}) Ce rabattement s'obtient iminédiateuient, si on remarque que le point G se rabat sur la perpendiculaire abaissée de sur AB en restant à la distance RC de B.

■Jâ

Réciproquement, tout plan de raccourci total peut être engendré de cette façon, car tout point de la droite AiB^Gi étant la perspective d'une infinité de points du plan ABC, ces points appartiennent nécessairement à une même droite de raccourci total.

Tous les plans de raccourci total sont donc parallèles à la direction du raccourci total définie au n** 64.

B. — Solides

74» Contour apparent. — Si nous coupons un solide par une série de plans parallèles à un plan de raccourci total, nous obtenons autant de sections planes dont les perspectives sont de simples segments de droites parallèles. L'aire couverte par ces segments de droites, lorsqu'on fait varier le plan sécant d'une manière continue, est la perspective axonométrique du corps considéré. La courbe qui limite cette aire est dite le contour apparent de cette perspective. Il est bien évident que la perspective d'un point quelconque du corps est à l'intérieur de ce contour apparent.

Les pians tangents au corps, parallèles au plan de raccourci total considéré, ont pour perspectives des droites touchant le contour apparent en un point, perspective du point de contact sur le corps.

Donc, en faisant varier le plan de raccourci total choisi, on peut obtenir autant de points du contour apparent que l'on veut, avec leurs points de contact.

Il est, en outre, évident que la perspective C^ d'une courbe quelconque G tracée sur la surface est tangente au contour apparent de la surface, car si nous prenons un point A, où cette perspective C^ rencontre le contour apparent, la tangente t menée par le point correspondant A à la courbe G est dans le plan tangent à la surface en A, plan qui est de raccourci total, puisque le point A| est sur le contour apparent. La perspective t^ de la tangente t est donc confondue avec la perspective de ce plan, c'est-à-dire avec la tangente au contour apparent, à moins que cette perspective ne se réduise à un point, ce qui n'arrive que si la tangente t est parallèle à la direction du raccourci total.

Les points de la surface qui correspondent aux points du contour apparent sont, avons-nous dit, les points de contact des plans tangents parallèles aux plans de raccourci total. Or, tous les plans de

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE l'eSPAGE 53

raccourci total étant parallèles à une même direction (n** 73), ces plans tangents auront pour enveloppe un cylindre parallèle à cette direction.

Nous allons appliquer ces remarques générales à la construction de la perspective axonométrique des corps usuels.

75. Cylindre de révolution. — Nous supposerons le cylindre reposant sur le plan OXY et ayant son axe parallèle à OZ {fig. 59).

Fio. 59.

Le cercle de base a pour perspective une ellipse facile à construire sur le plan OiXjYi (nM8).

Si par le centre Ot de cette ellipse, on mène à 0{L^ une parallèle sur laquelle on porte, à l'échelle de O^Z,, une longueur égale à la hauteur du cylindre, mesurée à Téchelle de OZ, on a la perspective û'i du centre de la base supérieure. On peut tracer immédiatement la perspective de celle-ci, qui s'obtient en faisant glisser la perspective de la base inférieure le long de I2,tt'| de façon à amener ûj en OV

Le contour apparent du cylindre sera limité par les perspectives des plans de raccourci total tangents à ce cylindre (n*' 74). Gomme chacun de ces plans tangents contient une génératrice du cylindre, leurs perspectives, confondues avec celles de ces génératrices, seront parallèles à la droite ù^û'^. En outre, d'après une observation faite au îi* 74 (4* alinéa), elles seront tangentes aux ellipses tt, et û',. Il suffira donc, pour achever le contour apparent du cylindre, de mener à

Tune de ces ellipses, û^ par exemple, des tangentes parallèles à la droite ^i^\.

Pour effectuer rigoureusement cette construction, menons par le point Xj la droite XJJ| parallèle à ft,û',, mais que nous considérerons comme la perspective d'une droite XU du plan OXY. Cette droite XT7 s'obtient immédiatement par le report en U sur OY du point Lr^ deOjY,.

Les tangentes au cercle û, parallèles à XU, ont pour points de contact les extrémités du diamètre AB perpendiculaire à XU.

Il suffit de mettre les points A et B en perspective en A, et B^ pour avoir les points de contact sur Tellipse û^ des génératrices Ai A 'i et BjB'^ de contour apparent.

76. Cône de révolution. — Nous supposons que le cône repose sur le plan XOY et qu'il ait son axe parallèle à OZ.

Nous pouvons mettre immédiatement en perspective, comme dans le cas du cylindre (n** 75), la base et le sommet (fig, 60).

En raisonnant comme dans le cas du cylindre, on voit que le contour apparent se complétera par les tangentes menées du point S| à rellipseO,.

Pour construire rigoureusement ces tangentes, considérons le point du plan XOY dont la perspective se fait en Sj. Le point S|, considéré cormne appartenant aupla7i X|0,Yp a pour coordonnées O^P, elO^Q,. Reportant ces coordonnées en OP et OQ, on obtient le point correspondant So. Il suffit de mener de ce point S^^ au cercle û les tangentes SqA et SoB, puis de mettre les points A et B en perspective

PERSPECTIVE AXONOMETRIQUB DE i/eSPACE 55

en A, et en B|, pour avoir les génératrices de contour apparent SjA, et SiB^ du cône.

im. Spbère. — On peut toujours supposer les axes OX, OY, OZ menés par le centre de la sphère dont nous figurons la projection sur le plan XOY {Jig. 61).

Fio. 61.

Remarquons d^abord que, d'après ce qui a été vu au n° 74, les points de la sphère dont Jes perspectives donnent le contour apparent sont sur la courbe de contact de la sphère et du cylindre circonscrit parallèle à la direction du raccourci total. Cette courbe de contact est un cercle. Sa perspective, c'est-à-dire la courbe du contour apparent, est donc une ellip?e.

Ceci posé, proposons-nous de construire les tangentes à l'ellipse de contour apparent, parallèles à O4Z4.

Pour cela, d'après le n*^ 74, prenons un plan de raccourci lutal dont la perspective soit parallèle à 04Z<, par exemple celui dont la perspective est la parallèle X^Uf menée par X) à O4Z4, et cherchons les points de contact des plans tangents à la sphère parallèles à ce plan.

. La trace de ce plan sur XOY est la droite XU obtenue en reportant le point U^ de 0<Y| en U sur OY. Ce plan est, en outre, parallèle à OZ. Par conséquent, les points de contact des plans tangents qui lui sont parallèles sont les extrémités du diamètre HH' perpendiculaire à XU. Ces points H et H', qui appartiennent à XOY, mis en perspective sur X404Y4, donnent les points H|H', du contour apparent où les tangentes sont parallèles à O^Z^.

Pour avoir le diamètre de l'ellipse de contour apparent conjugué de H^H', cherchons maintenant les points du contour apparent où la tangente est parallèle à H, H V

Prenons encore à cet effet le plan de raccourci total dont la perspective est la parallèle à H^H'i menée par Xi. Cette droite coupe 0^X\ en V, et O^Z^ en Y^^.

Le point V, dont V^ est la perspective, s'obtient en menant par X la parallèle XV à HH'.

Le point W est sur Taxe OZ, en dessous du point à une distance OW ayant, avec OZ pour unité, même mesure que 0C^{ avec Oj^Z^,

Le plan XVW étant ainsi complètement déterminé, menons à la sphère des plants tangents qui lui soient parallèles.

56 CHAPITRE n, — PERSPECTIVE AXONOMETRIQUE

Les points de contact I et V sont dans le plan mené par OZ perpendîcalairement à XV. Rabattons ce plan sur XOY autour de sa trace OL qui est parallèle à XU.

Si nous supposons les points au-dessus de XOY rabattus du côté de H, le point W se rabattra sur la perpendiculaire menée de à OL, c'esl-à-dîre sur OH, du côté de H' à une distance OW^ de égale à OW. En d'autres termes, le point Wq sera tel que

Le diamètre 11' des points de contact sera alors rabattu suivant le diamètre IqVq perpendiculaire à LW^», rabattement de la trace du plan XVM sur le plan ZOL.

Les projections des points 1 et F seront donc au& pieds t et t" des perpendiculaires abaissées de I^ et Vq sur OL. En outre, ces points I et V seront à une distance de XOY donnée par Ûq ou tTo, cette distance devant être, d'après le sens dans lequel a été fait le rabattement, comptée au-dessus de XOY pour 1 et au dessous pour T.

Pour mettre le point I en perspective, mettons-y d'abord le point i. Puisque i est sur OL, ii sera sur 04 L^, c'est-à-dire sur 04Z4. Quant à l'ordonnée il parallèle à OZ, elle devra être comptée, en perspective, parallèlement à OiZ^, c'est-à-dire sur O^Zf, puisque t^ appartient à cette droite. On a ainsi le point I|. l\ est son symétrique par rapport à 0\.

Nous avons ainsi deux diamètres conjugués H|H'| et 1(1*4 de Feliipse de contour apparent. Il nous est dès lors facile de construire cette ellipse.

Remarques. — i<* Si les segments O^X^ et 04Y4 sont rectangulaires et égaux, et si 04Z4 est parallèle à X4Y4, ce qui est le cas de la perspective cavalière (n** 61), le point U coïncidant alors avec Y, HH' est perpendiculaire à XY. Les angles n'étant pas altérés sur X1O4Y4, H4H'4 est de même perpendiculaire à X4Y4, c'est-à-dire à 04Z|. Par suite, dans ce cas, H4H'4 et lil^ sont les axes de Tellipse de contour apparent.

2*» Si les segments 04X4, O4Y4, O4Z4, sont égaux et font entre eux des angles de 120**, ce qui est le cas de la perspective isométrique, le point U4 coïncide avec Y4 et, par suite, U avec Y'. Donc HH' passe par le millieu de XY' et, par suite, H4H'4 par celui de X4Y4. O4H4 est donc dirigé suivant la médiane du triangle X404Y'4, et, puisque ce triangle est équilatéral, O4H4 est perpendiculaire à XiY'4, c'est-à-dire à O4Z4. Donc H4H'4 et I4r4 forment ici deux diamètres rectangulaires de l'ellipse de contour apparent. Le môme résultat pouvant immédiatement être étendu par raison de symétrie aux diamètres conjugués dont l'un est dirigé soit suivant O4Y4 soit suivant O4X4, on voit que l'ellipse de contour apparent est ici nn cercle.

78. Section diamétrale de la splière. — Prenons toujours les plans XOY et XOZ pour plans horizontal et vertical de projection, le point