CHAPITRE II

PERSPECTIVE AXONOMETRIQUE

Sur celte projection oblique, les droites parallèles à OX, OY et OZ donneront des droites parallèles à OiX^,OïYnO<Z|. En outre, la projection de tout segment parallèle à l'un de ces axes, OX par exemple, sera avec ce segment

dans le rapport constant -j^ir'

Gela montre que la projection oblique considérée n'est autre chose (jue la perspective axonométrique de la figure, lorsqu'on prend comme perspective du trièdre fondamental OXYZ la projection oblique O^X|Y^Z^ de ce trièdre.

85. Pour prouver que, réciproquement, toute perspective axonométrique peut être considérée comme une projection oblique, il suffît de prouver que toute perspective 0(X«Y4Z| d'un trièdre fondamental peut être considérée comme une projection oblique d'un tel trièdre.

Remarquant d'abord que, par une translation parallèle aux projetantes, on peut toujours amener les points et 0^ à coïncider, on voit que le problème se réduit à ceci :

Étant donnés sur un jilan les points 0,, X,, Y<, Z|, peut on trouver dans t espace des points X,Y,Z, tels que^ les droites XX<, YY^, ZZ< étant parallèles entre elles ^ les vecteurs OX, OY, OZ soient égaux entre eux et les angles XOY, YOZ, ZOX droits ?

Supposons tous ces points rapportés à trois axes Oj?, 0^, 0-y, menés par le point 0, les axes Oa?et Oy étant dans le plan de la figure 0X^Y,Z4. Nous désignerons dès lors les coordonnées des divers points de la manière suivante

Nous avons neuf inconnues, qui sont les coordonnées des points X, Y, Z, celles

des points X,,Y^,Z, étant données.

Traduisons, au moyen de ces coordonnées, les conditions requises. Parallélisme de XX,, YY,, ZZ,

(4 équations) ;

PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE DE l'eSPAGE 63

Égalité de OX, OY, OZ

Qi + 62 + C-* = a'2 + 6'2 + c'2 r=r a"^ + ô"2 4, c"2 (2 équalions) ;

Égalité des angles XOY, YOZ, ZOX à un droit

aà 4- ^^' + ce =0 ]

fl'rt" + h h" 4- ce" z= o . (3 équations).

Nous avons bien ainsi neuf équations pour délerminernos neuf inconnues. La possibilité mise en question par Vénoncé ci-dessus est donc reconnue.

Remarquons seulement que la longueur r des vecteurs OX, OY, OZ n'est pas arbitraire, car, une fois les coordonnées a, ô, e obtenues, on a

Lors donc qu'on se donne, d'une part, le tri«^(ire fondamental, de Tautre sa perspective, celle-ci peut être considérée comme une projection oblique de celui-là, convenablement orienté dans l'espace, mais seulement à un changement d'échelle près.

86. On voit immédiatement que la direction du raccourci total n'est autre que celle des projetantes, lorsqu'on suppose que la perspective axonomélrique est obtenue par projection oblique.

Nous avons appris (n^ 64) à définir celte direction par rapport au Irièdre fondamental. Si maintenant on voulait définir par rapporta ce trièdre l'orientation du plan sur lequel la projection donnerait une figure semblable à la perspective axonomélrique considérée, on voit qu'il faudrait, après avoir mené par X,Y'' et Z des parallèles à la direction connue des projetantes, couper le prisme triangulaire ainsi obtenu par un plan donnant comme section un triangle semblable au trianele X,Y,Zj de la perspective.

C'est un problème que l'on sait résoudre (^).

87. Lorsque les échelles sont égales, et les axes inclinés à 120" les uns sur les autres, ce qui est le cas de la perspective isométrique (n** 61), la perspective équivaut à une projection orthogonale faite sur un plan parallèle au plan XYZ.

Si deux des axes, par exemple OiX^ et O^i^^ sont égaux et font entre eux un angle droit, ce qui est le cas d? la perspective cavalière (n** 61), la perspective équivaut à une projection oblique faite sur un plan parallèle à XOY.

(') V. notamment: Desbocrs, Ques'ions de Géométrie^ p. 237.

64 CHAPITRB II. — PKRSPECTIVE AXONOMETRIQUE

â° Application de laperspectiveaxonohétriqueala REPRësENTATion des ÉDincES

ou DES MOTIFS D'ARCnlTECTURE

88. La perâpeclive axonométrique peut être très utilement employée à la représentation des ëdiRces ou des motirs d'architecture.

Elle possède, en eiTet, l'avantage de donner les dimensions parallèles au\ trois directions principales (longueur, largeur et hauteur) au moyen d'an seul dessin, ces dimensions se mesurant aux échelles respectives de OX, OV, OZ. que, pour plus de simplicité, il est bon de prendre égales entre elles.

On peut donc dire qu'on a ainsi une représenlalion de l'édifice, sur laquelle toutes les lignes parallèles aux trois directions principales sont données en vraie grandeur, au changement d'échelle près.

Dans ses importantes publications sur l'Architecture, M. Choisy, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, fait systématiquement usage de la perspective axonométrique, en prenant des échelles égales suivant les trois axes, et disposant des directions de ceux-ci de façon à donner à la figure l'aspect le plu^ favorable. La figure 65 est empruntée & son bel ouvrage sur l'Art de BàUr chez les Romains.

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