CHAPITRE m

A. — Définitions

89. Pour donner à la représentation des corps par le dessin géométrique l'apparence du relief, on a recours aux ombres produites par une lumière conventionnelle.

Selon que cette lumière est supposée à distance finie ou à l'infini dans une direction donnée, elle est dite, pour une raison facile à comprendre, au flambeau ou au soleil.

Si un corps solide S [fig. 66) est éclairé par une source de lumière L, réduite à un point, les t rayons issus de la source, et qui s'appuient sur la surface du corps S, touchent celle-ci le long d'une courbe C qui sépare les points de S frappés par la lumière de ceux qui restent dans l'obscurité ; l'ensemble de ceux-ci constitue Yomhre propre du corps. Pour cette raison, la courbe G reçoit le nom de séparatrice de l'ombre et de la lumière, ou celui de courbe d'ombre propre.

Le contour apparent du côyie d'ombre^ projeté sur un plan, se compose des tangentes menées de la projection de L sur ce plan au contour apparent de S ; ces tangentes sont dites tangentes lumineuses.

CÉOlf. OBSCBIP. 5

Fio. 66.

Si on place en arrière du corps S un autre corps S', la partie de S' située à Tintérieur du cône de sommet L circonscrit à S ne.reçoit pas de lumière. Elle constitue V ombre portée de S sur S'.

90. La détermination des ombres propres et portées se résume donc en ces deux problèmes :

Etant donnés la source de lumière L, le corps S et le corps S' :

1*" Trouver la courbe de contact sur S du cône de sommet L ceVconscrit à cette surface;

2"* Trouver Vintersection de ce cône et du corps S'.

Lorsque les corps S et S' sont définis géométriquement, ce double problème appartient à la catégorie de ceux que la Géométrie descriptive enseigne à résoudre.

On n'a donc par le fait à acquérir aucun principe autre que ceux de cette science pour pouvoir opérer la détermination des ombres. Mais Tapplication de ces principes comporte nombre de remarques spéciales fort utiles dans la pratique et qu'il faut avoir soigneusement étudiées pour être à même de. traiter couramment tous les cas usuels.

B. — Méthodes générales pour la recherche des ombres

91 • Méthode des plans séeants» — Si nous faisons passer par le point L [fig, 67) un plan auxiliaire qui coupe les surfaces S et S'

suivant les courbes Y et Y, les tangentes menées de Là la courbe Y ^ —^'^^'^^^^ " ^ ^ appartiennent au

cône circonscrit issu de L. Donc, les points de contact m et n de ces tangentes avec la courbe y appartiennent à la séparatrice c de S, et les points m' et n où elles rencontrent une première fois la courbe y', à la courbe d'ombre portée ^r de S sur S'.

Fig. 67.

En faisant varier le plan auxiliaire, on peut obtenir autant de points que Ton veut des courbes c e\ g.

Si la courbe g (fig. 68) rencontre la séparatrice c déterminée sur la surface S' par la même source lumi- , neuse L, les points d'intersection p et q de ces courbes sont dits les points de perte de la courbe g.

Remarque. — La tangente t' en m à la courbe g étant donnée par l'intersection des plans tangents en m à la surface S' et au cône d'ombre de la surface S, et, ce dernier étant défini par la génératrice Lm' et la tangente i en m à la courbe c, on voit que la tangente t' passe par le point où la tangente t perce le plan tangent en m à la surface S'.

Fio. 68.

92. Méthode des eônes eireonserits* — La séparatrice sur un cône étant une génératrice est facile à tracer, puisqu'il suffit d'en obtenir un point.

Si donc on circonscrit à la surface S un cône auxiliaire {fig. 69) et que Ton détermine la génératrice AM de ce cône formant séparatrice pour celui-ci, le point M où cette génératrice rencontre la courbe de contact a du cône et de la surface S appartient à la séparatrice c de cette dernière.

Il faut se garder de croire qu'au point M la courbe c est tangente à AM.

Nous verrons dans la suite du Cours (n° 295) qu'il ne saurait en être ainsi que tout exceptionnellement.

En faisant varier le cône A, on peut obtenir ainsi autant de points M que Ton .veut.

Fig. 69,

GHAPITRB III. — THBORIB DBS OMBRES USUELLBS

93» Méthode des projections obliques* — Projetons obliquement la surface S, à partir du point L [fig. 70) sur un plan auxiliaire P ; nous obtenons ainsi le contour apparent <x.

Si nous prenons une section plane quelconque a de la surface S, la projection oblique a de cette courbe sera, en vertu d'un théorème

Fio. 70.

bien connu (<), tangente au contour apparent 9 aux points jx et v. Les génératrices L[jl et Lv sont tangentes au corps S. Donc elles donnent sur a deux points meln (l'un vu, l'autre caché) de la séparatrice.

En faisant varier la section a, on obtiendra ainsi autant de points m que Ton voudra.

La même méthode permettra d'obtenir l'ombre portée par un corps S sur un corps S', si l'on prend cette fois les sections planes de la surface S' {fig. 71).

En effet, les points m, n où les projections obliques a' de a, f de b\ etc., coupent le contour apparent t de S sont situés sur des

(') La d«''moiisl ration de ce théorème j»eul être rappelée en deux mots: Le contour appanuit riant l'enveloppe des intersections des plans tangents au cône circonscrit de sommet L par le plan sécant, toute droite rontemie dans un de ces plans (à moins do passer par le point L, auquel cas sa projection se réduit à un poinl; a une projection confondue avec la trace de ce plan.

Toutes les courbes [passant en un poinl 771 de la séparatrice ont, par suite, des projections tant;<Mites au contour au point (x, à moins qu'elles ne soient tangentes à la droite Lm,

aéNÉRALITES

rayons lumineux tangents à S. Donc, les points correspondants m, n ... sur a', 6', appartiennent à la courbe d'ombre portée de S sur S'.

Fio. 71.

Les points de perte 'p\ q correspondent aux points où le contour apparent o- rencontre cr', puisque les rayons passant par ces points sont tangents à la fois aux deux surfaces.