BC, = BC = A,C< \J

on voit que

d'où on déduit aisément

sm cp =--==:— =

CCS o = — = = -rr»

sin 2 ^

vr3

Il est bon, en vue des applications, de se construire une équerre à l'angle ?.

§ 2. — Ombres propres (M A. — Ombres des polyèdres

lOO. Projections éclairées et projections sombres.

— Pour savoir si une face vue d'un polyèdre est dans la lumière ou dans l'ombre, il suffit de se rendre compte de cette circonstance pour le triangle formé par trois quelconques des sommets de cette face. Toute la question de l'ombre dans les polyèdres se réduit donc à étudier l'ombre d'un triangle.

Le triangle étant supposé découpé dans un plan opaque, l'une de

(1) Voir aussi: Deuxième partie^ n* 345, 349, 353 et 356.

ses faces est éclairée, Tautre sombre. Suivant que c'est Tune ou l'autre qui est vue pour un œil situé à Tinfini dans la direction des projetantes, la projection correspondante est dite éclairée ou sombre.

loi* Remarque préliminaire. — Parmi les trois sommets du triangle ABC, il en est un, A ou (a.a'), dont le plan de profil coupe ce triangle suivant la droite AM, le point M étant défini par

ses projections m et m\ intersections de hc et 6V avec la ligne de rappel aa[fig. 78, (1) et (II)].

Figurons-nous la droite AM dans ce plan de profil xOy [fig. 79, (I) et (II)] en désignant par les numéros 1 et 2 les deux faces du triangle.

On voit que dans le cas (I), c'est-à-dire lorsque les segments a7n et am' sont de même sens, c'est la même face 1 qui est en vue sur les deux projections, tandis que dans le cas (II), c'est-à-dire lorsque les segments am et a m sont de sens contraires, ce sont des faces différentes qui sont vues sur les deux projections. De là, cette règle :

Suivant que les seg7nents am et a m sont ou non de même sens, les projections abc et cîh'c sont ou non de 7nême éclairement.

Grâce à cette règle, on peut se borner à étudier Téclairement

sur l'un des plans de projection. Nous choisirons ici le plan vertical ; mais tout ce qui va être dit à py^opos de ce plan pourrait être étendu symétriquement au plan horizontal,

lOâ» Édairement en projection verticale. — Parmi les trois sommets a\ b\ c\ de la projection verticale, il en est un seul, a! par exemple, tel que la projection verticale du rayon lumineux, menée parce point, passe à l'intérieur de aVc \fig. 80, (I),

(II), (III), (IV)]. Soit [^.Y-') le point où le plan projetant verticalement le rayon lumineux coupe (bcMc), et appelons p la projection horizontale du point du rayon lumineux dont la projection verticale est |x'. La disposition respective des points [^ et p permet, dans tous les cas, de décider de l'éclairement de la projection ab'c.

Quatre cas sont à considérer, suivant que, dans la direction du rayon lumineux, le point a précède ou suit le point [x', suivant aussi que, par rapport au plan vertical, le point p est en avant ou en arrière du point [jl. Ces quatre cas correspondent aux figures (I), (II), (III), (IV). Analysons chacun de ces cas :

I. a 'précède jx'. — p est en avant de jx. — A partir du point (a. a') où il perce le plan du triangle, le rayon lumineux (ap.a'iJi') vient en avant de ce plan. Les rayons parallèles frappent donc le plan du triangle d'arrière en avant. La projection ah'c est sombre.

IL a pr^écède \k. — p est en arrière de \l. — A partir du point (a. a) où il perce le plan du triangle, le rayon (ap.a'jx') passe en arrière de ce plan. Les rayons parallèles frappent donc le plan du triangle d'avant en arrière. La projection dh'c est éclairée,

III. 'jï! précède a\ — p est en avant de [x. — Avant d'atteindre le point {a.a)^ où il perce le plan du triangle, le rayon (ap.a'ix') est en avant de ce plan. Les rayons parallèles frappent donc le triangle d'avant en arrière. La p7'ojection ah'c est éclairée.

IV. }jl' précède a . — ^est en arrière de jx. — Avant d'atteindre le point [a.a] où il perce le plan du triangle, le rayon (ap.a'[x') est en arrière de ce plan. Les rayons parallèles frappent donc le triangle d'arrière en avant. La projection ah'c est somhre.

La discussion précédente est complète. Toutefois, on pourrait avoir quelque peine à s'en fixer les résultats dans la mémoire sans chercher à se représenter ce qui se passe dans l'espace.

Afin d'écarter cette difficulté, nous aurons recours à l'artifice suivant. Sur chacune des figures (I), (II), (III), (IV), abaissons du point a la perpendiculaire ajx^ sur pix. Nous faisons sur la situation respective des points [x, jx^j et p les. remarques suivantes :

I. Le point jx^ est nécessairement en avant de p, et comme p est, par hypothèse, en avant de |x, le point p est nécessairement entre les points [X et [Xq.

IL Le point [x^^ est nécessairement en avant de p, et comme p est, par hypohtèse, en arrière de [x, le point p est nécessairement en airière à la fois de [x et de [Xq.

IlL Le point |Xq est nécessairement en arrière de p, et comme p est, par hypothèse, en avant de jx, le point p est nécessaire^nent eii aoant à la fois de jx et de [Xq.

IV. Le point jxq est nécessairement en arrière de p, et comme p

est, par hypothèse, en arrière* de [x, le point p est nécessairemefit entre les points \k et jxq.

Rapprochant les conclusions de cette discussion de celles de la précédente, on voit que Ton peut énoncer la règle générale suivante : Ayant mené parle point a la projection verticale du rayon lumùnevujo a'm qui coupe h'c en [jl', on tire la ligne de rappel de ^ qiti coupe au point |x le côté bcy au point p la projection horizontale dt^ rayon lumineux^ menée par a, et au point [Xq la perpendiculaire à la direction des lignes de rappel m,enéè par a.

Suivant que le point p est intérieur ou extétHeur au segment [jLfjLo, la projection ab'c est sombre ou éclairée ( * ) .

Si le point p vient en coïncidence avec le point [jl, le rayon lumineux est dans le plan ABC. On doit alors considérer celui-ci comme éclairé. L'énoncé précédent peut donc être complété par le nota bene suivant :

Le point tx lui-même doit être considéré comme extérieur au segment [xjjlq.

Pour la projection horizontale, il ny a dans l'énoncé précédent qu'à intervertir les termes « vertical » et « horizontal » .

^''•^^' 103. Il n'y a lieu, d'ail-

leurs, d'appliquer la règle que si la disposition du dessin laisse quelque doute dans l'esprit. Ainsi, sur la figure 81, qui représente un tétraèdre SABG, il est évident qu'en projection verticale ^Vô'est éclairée, en projection horizontale sab éclairée, sac sombre. Le doute

(*) Voici un moyen ran<^monique bien simple pour retenir celte règle. Associant l'idée d'obscurité à celle de ce ([iii est ferme à la lumière du soleil, on n'a qu'à dire ; La projection est sombre ou non suivant que le point p est enfermé ou non dans le segment u.^.

OMBRBS PROPRES

ne saurait exister que pour la face (s6c, s'b'c). Construisons pour cette face les points [jl, [jlq et p. Nous trouvons un point p entre [x et [x^,. Donc sb'c est sombre (n** 102). Et comme, d'ailleurs, les segments bm et b'm sont de même sens, sbc est également sombre (n^ 101).

B. — Corps ronds

a, — Cylindres

L'ombre propre d'un cylindre est limitée aux génératrices de contact des plans tangents à ce cylindre parallèles aux rayons lumineux. La construction de ces plans tangents est un problème connu de Géométrie descriptive. Nous allons l'indiquer dans les cas les plus fréquents.

104. Cylindre de révolution à axe vertical. — Le plan mené par l'axe parallèlement aux rayons lumineux est le plan vertical dont la trace horizontale, menée par 0, fait avec la direction de la ligne de terre l'angle oro égal à 45*" [fig. 82).

Les plans tangents parallèles à ce plan ont pour traces les tangentes à la base aux extrémités du diamètre uv perpendiculaire à or.

La génératrice projetée en u est vue en projection verticale en wV,. La génératrice vv\ projetée en v n'est pas vue en projection verticale.

Remarquons, en appelant R le rayon du cylindre, que

OU = oA = -n.

Fio. 82.