Cône de i^évolution à axe vertical. — Par le
sommet [s.s) du cône menons le rayon lumineux [sr.s'r) dont la trace horizontale est r [fig. 84). Par ce point r menons à la base,
FiG. 8i.
située dans le plan horizontal, les tangentes 7^m,y m ; les génératrices limitant l'ombre sont (sm.s'm) et [sn.s'n'). En projection verticale, s m est seule vue.
107. Nous avons pris pour plan vertical un plan parallèle quelconque au mur. Si nous avions pris le plan de front passant par Taxe du cône, la projection horizontale de la base du cône aurait été le cercle décrit sur a'b' comme diamètre ; la trace horizontale du rayon lumineux passant par le sommet eût été le point h. Or, les angles sYo' et /loV étant égaux chacun à 45", la figure so'rh est un carré. On a donc simplement le point h en portant sur la perpendiculaire élevée en s' à oV, vers la droite^ la longueur sh = os\
Il suffit de mener de ce point h au cercle a'b' les tangentes kmç^ et kn^ pour avoir sur la base les points m et n.
Si le sommet s' était au-dessous de la base a'b\ la longueur s'k devrait être portée vers la gauche.
Par exemple, pour le double cône sah't' de la figure 85, on n'a qu'à porter sur les perpendiculaires élevées en s et t' à st\ à droite s h = os\ à gauche t'k = ot\ et à mener par les points h ei k les tangentes hm et kp au cercle ab\ pour avoir les points rn elp où aboutissent sur la base les génératrices s'm et fp qui limitent l'ombre.
108. Cas particuliers. — 1^ Si les génératrices du cône sont inclinées à 45** sur l'horizon, le point r est un sommet du carré circonscrit au cercle de base, qui a deux côtés parallèles aux lignes de rappel (Jig. 86). On a donc, dans ce cas, l'une des génératrices d'ombre sm confondue avec une génératrice de contour apparent, l'autre S7i étant dans le plan de profil de l'axe.
Quant à la visibilité, elle varie, comme le montre la figure 86, suivant que le cône a le sommet en haut ou en bas.
2** Si les génératrices sont inclinées à l'angle © (n** 99) sur
GéoM. DBSCHIP. 6
l'horizon [fig. 87), le rayon sr se confond avec une génératrice du cône; par suite, les points m ^{n se confondent aussi avec le point r.
Ce point r est d'ailleurs vu ou non suivant que le cône a le sommet en bas ou en haut.
Fia. 87.
Un tel cône est dit cône li?nite. Si un cône a un angle au sommet plus ouvert que le sien, ce cône, placé verticalement, est tout entier dans la lumière ou tout entier dans l'ombre, suivant que son sommet est en haut ou en bas.
109. Cône de révolution à axe horizontal. — Le rayon lumineux passant par le sommet [s. s) coupe le plan vertical de la base au point (r.r) {fig. 88).
Rabattons le plan de la base sur le plan horizontal passant par
Taxe. Le point (r.r) se rabat sur la perpendiculaire 7^7\ k or k une distance de r égale à h'r. Mais, puisque l'angle rVA' est de 45^,
rh' = s'h'.
Nous n'avons donc qu'à abaisser du point r la perpendiculaire rk sur la ligne de rappel ss' et à reporter rife en rr, pour avoir r^.
Les tangentes menées de r, au cercle de base rabattu donnent les points <, et W|, rabattements des points où les génératrices d'ombre
Fio. 88.
rencontrent la base. Ces points relevés se projettent horizontalement en t et u. Le premier seul est vu, attendu que, son rabattement étant du même côté que r^ par rapport à or, ce point est du même côté que [r.r) par rapport au plan -horizontal de l'axe, c'est-à-dire audessus de ce plan.
Il est facile d'avoir les projections verticales t' et u des points t et M, puisque leurs distances à ce plan horizontal sont respectivement égales à tt^ et uu^
Remarqua. — Il semble que la construction tombe en défaut lorsque la projection horizontale de la base ab est parallèle à la projection horizontale des rayons lumineux, parce qu'alors les Ion-
gueurs or et n^i deviennent infinies, mais rindéterminalion n'est qu'apparente, car, 07\ étant le rabattement de la trace sur le plande^ base du plan mené par Taxe du cône parallèlement aux rayons lumineux, on voit qu'à la limite, lorsque r, est à l'infini, l'angle ao)\ est égal à l'angle <f .
Les points t^ et w, sont alors les points de contact des tangentes au cercle inclinées à l'angle ^ sur ab.
c, — Spdère
IIO, La ligne d'ombre propre sur un corps étant la courbe de contact de ce corps et du cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles aux rayons lumineux, cette ligne sera pour la sphère le grand cercle suivant lequel elle est coupée par le plan diamétral perpendiculaire aux rayons lumineux.
La projection de cette ligne d'ombre sur un plan quelconque sera dès lors une ellipse concentrique au contour apparent de la sphère et touchant ce contour apparent par les extrémités de son grand axe.
Pour construire cette ellipse, par exemple sur le plan vertical de projection, supposons que nous coupions la sphère par une série de plans perpendiculaires à ce plan de projection et parallèles aux rayons lumineux (n** 91).
Chacun de ces plans aura sa trace parallèle à la projection verticale des rayons lumineux o'r'.
Il coupera la sphère suivant un petit cercle. Les points de contact de ce petit cercle et du rayon contenu dans le plan sécant, rayon incliné à l'angle o sur le plan de projection (n** 99), appartiennent à la courbe d'ombre.
Prenons, en particulier, les plans tangents à la sphère. Us nous donnent les points m- et n\ extrémités du diamètre perpendiculaire àoV (fig. 89).
Fio. 89.
Coupons maintenant par le plan perpendiculaire au plan de projection mené par dr\ et rabattons ce plan autour de or sur le plan de front de o . Le grand cercle d'intersection se rabat sur le contour apparent de la sphère. Le point de tangence du rayon lumineux vient au point r'i,où la tangente est inclinée à l'angle y sur oV, c'està-dire tel que l'angle ndr\ soit égala ©.
Dans le relèvement, ce point vient se projeter en r. L'ellipse d'ombre est alors déterminée par ses axes mn et oV.
Pour construire r( il suffit de mener à on la parallèle 6T qui coupe au point t' la tangente en n , Le point r/ est sur o*t\
On a, en effet,
wY' ni' l ° on 06 y/2
ce qui montre qu'on a bien Si on veut calculer dr\ on a
or 7=^ Rsini =-^ (n^ 99)»
OU
or' = R X 0,577.
La connaissance des axes suffit à la construction de l'ellipse, mais il est bon de remarquer que le point ^î' est la projection verticale du point de la courbe d'ombre situé en projection horizontale sur le contour apparent.
L'ellipse passe donc par le point 'p et de même, par raison de symétrie, par le point q^ pied de la perpendiculaire abaissée de m' sur la ligne de rappel de o'. Nous allons, dans ce qui suit (n^ 113), retrouver ces résultats par une autre voie.
d. — Surfaces de révolution
111. Les surfaces de révolution étant de celles auxquelles la Géométrie descriptive enseigne à mener des plans tangents paral- IMesà une direction donnée, nous pourrons obtenir la courbe d'ombre
propre sur de telles surfaces. Nous les supposerons d'ailleurs à axe vertical, ce qui est presque toujours le cas dans la pratique. Nous emploierons ici la méthode des cônes circonscrits (n** 92).
FiG. 90.
Prenons le cône de sommet s' circonscrit à la surface le long du parallèle ah' . Pour avoir le point de la génératrice d'ombre de ce cône sur le cercle ah\ appliquons la construction du n** 107.
Sur la perpendiculaire élevée à l'axe au point s {fig. 90) portons (vers la droite, parce que le cône a son sommet en haut) la longueur 5'o-égaleà wV, et du point t menons au cercle décrit sur a'6' comme diamètre la tangente ^ qui donne la projection t' du point où la génératrice d'ombre vue du cône sa'b' rencontre le cercle ab\ Ce point appartient à la partie vue de la courbe d'ombre de la surface.
Pour avoir la projection horizontale de ce point menons la ligne de rappel du point t' et remarquons que, puisque le point [t,t') est sur le parallèle de rayon w'ô' ou w'8, le point t est à une distance ot du point égale à a>'6. En d'autres termes, la figure w ort est un parallélogramme, et il suffit de mener ot équipoUent à a>'6 (*).
112. Remarque. — Considérons une autre surface de révolution Si de même axe que la première S et dont la méridienne soit obtenue en déplaçant celle de S dans le sens perpendiculaire à Taxe d'une longueur l.
Si nous répétons la construction précédente pour le parallèle w a\ de cette seconde surface, nous obtenons le point o-, sur la ligne u>'(t inclinée à 45** sur w 5', et nous avons :
(û'a iû8 iù'a'
Si donc du point o-j nous abaissons la perpendiculaire o-jO, sur w'6, nous avons :
a> (09 ma
et, comme w'O = w a\ il vient :
ce qui montre que ôj est le point de contact de la tangente menée de o-j au cercle de centre o>' et de rayon iùa\.
Le point t^ sera dès lors à la rencontre de ot et de la parallèle
à 8f menée par Oj.
Par suite :
u^ = ee^ = /,
Ainsi, le lieu géométrique du point t^ est une conchoïde par rapport au point du lieu géométrique du point t, F accroissement constant des rayons vecteurs étant égal à l.
(*) La (lélermination de la tangente à la courbe d'ombre propre exige des notions qui ne seront acquises que dans la suite du Cours,
Nous reviendrons donc plus loin sur ce problème (uo3i9j.
En particulier, si la surface S est une sphère, la surface Sj est un tore, et Ton voit que la projection horizontale de la courbe d'ombre sur ce tore est une conchoïde de l'ellipse, projection horizontale du cercle d'ombre sur la sphère, par rapport à son centre.
Points remarquables. — En répétant autant de fois
qu'il est nécessaire la construction du n** 111, on obtient autant de points que l'on veut de la courbe d'ombre, mais il est un certain nombre de ces points que l'on a immédiatement et qui suffisent, dans la plupart des cas, à permettre de tracer la courbe.
1*" Prenons le cylindre vertical circonscrit le long du parallèle dh'y qui donne en projection horizontale le cercle de contour apparent aô (fig. 91).
Les points d'ombre correspondants sont (n^ 105) : en projection verticale, h! vu et K non vu, tels que
oh =z dk =
