Ombre sur le mur d'une !$plièi>c

us l'avons fait remarquer au n" 114, le tracé de

(1) On retrouve ainsi la construclioii doum'e au a" 107 pour ohlriiir li's iiém iricRs d'ombre pioprc du cône, ce qui devait avoir lieu, jiuisqup les di-oilos limil I (imbi'e portée du côiie sont les ombres perlées îles giiaériilrit^'s donibii; piopro

96 CHAPITRE m. — THEORIE DES OMBRES USUELLES

vant se réduire ici à celui d'une figure contenue dans une des faces du trièdre fondamental, il vaut mieux effectuer la construction directement (').

Le diamètre a'b' de la courbe d'ombre propre étant dans un plan de front porte ombre en vraie grandeur ena,6, (^.98i, axe de l'ellipse d'ombre, puisque cette ellipse doit être tangente en a, et 6, aui tangentes lumineuses a'a, et 6'6, de la / sphère (n° 95).

Reste à trouver la

longueur de l'autre

••^ ..•' axe de cette ellipse.

Pour cela transpor-

Fio. as. , , . I

Ions le centre de la

sphère au point o,, ce qui ne modifie pas l'ombre portée, puisque

la sphère reste inscrite dans le même cylindre de rayons lumineux,

et rabattons sur le mur la section du cylindre et de la sphère par

le plan projetant o'o^ sur le mur.

La section rabattue de la sphère est le cercle décrit sur a^h^ comme diamètre; celle du cylindre se compose des tangentes à ce cercle faisant l'angle » avec o'Of. On a ainsi, en c, et d,, les points de la ligne d'ombre sur o'o^ . 11 n'y a plus qu'à construire l'ellipse qui a pour axesa,6, et C|d,.

Pour avoir le point de contact c^ de la tangente CgC, à l'angle a, il suffit d'appliquer la construction du n" 110, c'est-à-dire de tirer le rayon o,/; à -io" sur 0|C,, puis hl parallèle à o,6i et, enfin. Oyl qui coupe le cercle en Cg.

Si on veut éviter toute construction, il suffit de remarquer que:

o^c^ = J- = W3 (n-gg).

' ' sin (p *■' ^ '

(I) La consiruction pai' h piT-i|>ei;liïe axoiiotnûlrifiue se feruiluiiisi qu'il aéli' expliqué au ii' 77.

Rapprochant ce résultat de Vellipse d'ombre portée, para netu;, est le triple de taxé xiiivant la même droite.

\3S. Ombre sur le mi à axe vertical.

— li y a lieu de refaire ici l'observation par laquelle débute le n"

Nous allons voir ^,

tout d'abord qu'il est facile d'obtenir immédiatement plusieurs — ' points remarquables de la courbe d'ombre portée avec les tangentes en ces points.

Cherchons pour cela les ombres des points remarquables de la courbe d'ombre propre, définis au n°

Afin de simplifier la figure, nous supposerons que le plan du mur passe par l'axe de la surface {fig. 99).

S'il D'en était pas ainsi, il faudrait, en appelant Oy l'ombre du centre io.o') de l'équateur de la surface, donner truils des translations équipo!

1° Puisque la courbe d'om!

[') [.a construction par lu perspcc expliqué au n° 83.

rencontre le plan du mur aux points m et p' où les tangentes à la méridienne de contour apparent sont inclinées à 45° sur la ligne de terre, la courbe d'ombre portée part de ces points tangentiellement à cette méridienne (n"" 97).

2"* Lepoint (hJi) de la courbe d'ombre propre, situé sur Téquateur, donne le point {h^Ji\). Or, le triangle ohh^ ayant ses angles en o et en h^ égaux à 45", le point ho est le milieu de ohy. Donc fi est le milieu de o'h\. D'autre part, l'angle h\h'h\ étant de 45\ on voit que

Donc, pour avoir le point h\^ il suffit de prolonger o7/ d'une quantité égale h'h\^ et de porter sur la perpendiculaire élevée en h\ à o7<'.,, vers le bas, une quantité encore égale h\h\.

Puisque le plan tangent en [h. h') à la surface, qui contient le rayon lumineux correspondant, est vertical, sa trace sur le mur, qui est la tangente correspondante à la courbe d'ombre propre, est verticale. Ainsi, la courbe d'ombre propre est tangente en //', à h\h\.

3" Le point {q-q), situé sur le parallèle de 45% porte ombre, en (îi.ç'i), et, puisque oq^ = oç, rayon de ce parallèle, le points/, coïncide avec la projection horizontale du point s\ En outre, sq\ = qs .

Le plan tangent en [q-q) contenantla tangente au parallèle passant par ce point, tangente qui est parallèle à la ligne de terre, sa trace sur le mur est aussi parallèle à cette ligne, c'est-à-dire horizontale. Ainsi, la courbe d'ombre a, au point q\, une tangente horizontale.

4° Le point (/./') situé sur le parallèle limite porte ombre en io.l\sur l'axe de la surface.

Le plan tangent en [Ll') contient la tangente ilgd'g) au parallèle de ce point. La tangente en l\ à la courbe d'ombre propre est donc tangente en l\ à l\g' . D'ailleurs, on a

J'(f' =og — 'IoIq, puisque les angles en et en g de olf/ sont égaux à 45". Donc

En résumé^ nous avons immédiatement les points suivants de la courbe d'ombre propre avec leurs tangentes:

ni sur le contour apparent; tangente à 45** ;

//', tel que h\h\ == h'h\ = oh' ; tangente verticale ;

q\ tel que sq\ = qs ; tangente horizontale ;

l\ sur Taxe avecj7\ = /'/ ; tangente l\g' telle que l'g' = jV\

p sur le contour apparent ; tangente à 45**.

Ces points avec leurs tangentes suffiront, en général, pour le tracé de la courbe. S'il n'en était pas ainsi, on pourrait, comme il a été dit au n*" 111, construire d'autres points de la courbe d'ombre propre et prendre leur ombre, ou procéder comme il sera dit plus loin (n« 123).

Première remarque. — Pour la position du mur telle que nous TavoMS adoptée, la courbe d'ombre portée ne comprend que la projection oblique, faite parallèlement aux rayons lumineux, de la partie vue de la courbe d'ombre propre.

Ou peut tout aussi facilement construire la projection oblique de la partie cachée de cette courbe d'ombre propre, projection qui est marquée en pointillé sur la figure 99.

S'il s'agit d'obtenir l'ombre portée sur un mur situé en arrière de la surface sans la rencontrer, il faut donner à la courbe tout entière une translation équipoUente à o'o^^ o^ étant l'ombre de (o.o).

Si le mur rencontre la surface, la courbe d'ombre est limitée à la courbe d'intersection de la surface et du mur, à laquelle elle est tangente (n**97). Ces points d'intersection ne sont vus, bien entendu, que si le mur est en avant de l'axe de la surface.

Deuxième remarque. — Si nous prenions l'ombre portée sur un plan vertical tî perpendiculaire aux plans projetant horizontalement les rayons lumineux, par exemple sur le plan vertical de trace horizontale oh, nous aurions une courbe symétrique par rapport à l'axe. Or, les horizontales du plan tt, projetées obliquement sur le mur par des rayons lumineux, donnent des droites parallèles à oh\ ■dont le coefficient angulaire par rapport à oh\^ est 1/2).

Donc, si nous considérons la courbe d'ombre portée complète, nous voyons que ses points sont deux à deux symétriques par rapport à la verticale du point o sur des droites parallèles à h\k\,

123. Afin de montrer l'application de la méthode générale du n° 116 au cas actuel, proposons-nous d'obtenir le point limite inférieur dans la direction

ZJl

de la projection verticale des rayons lumineux, c'est-à-dire le point de la parlie m!h\q\p' de la courbe [fig. 99) où la tangente est perpendiculaire à celle direction.

Considérons donc la trace d'un plan de raccourci total parallèle à cette tangente, par exemple Yiz^ri {fig. 100). Reportons les traces deec plan sur OXY elOYZ. Puisque OZ^Y, coïncide avec OZY, la trace Yr coïncide avec Y^t?! ou YX. La coordonnée Ou4 étant reportée sur OX par la parallèle t/|U à X^X, on a en Ym la trace sur OXY.

Il faut maintenant mener à la surface un plan tangent parallèle au plan wYi?. Pour cela, faisons tourner ce plan autour de OZ pour l'amener à être perpendiculaire à OYZ. Le point h, pied de la perpendiculaire abaissée de sur mY, vient en Ay, et comme le point v ne varie pas, la trace sur OYZ du plan, après rotation, est vh^. Le point a^^ où la tangente à la méridienne est parallèle à v\ donne la position du point de contact cherché, après rotation. Ramenant la projeclion i^ de ce point sur OY en a sur OA, on a la projection sur OXY du point A de Tespace. Les coordonnées de ce point sont

Fio. iOO.

X = Op, Y = pa,

a^ÛQ.

Portons Tabscisse en Op, sur OX, en menant pp^ parallèle à XX, ; prenons ensuite Pi», égal à px, et x^a^ équipollent à ^.qU^. Nous avons ainsi le point a de la courbe d'ombre où la tangente a^t^ est perpendiculaire à OX4.

Remarque. — Calculons l'angle 6 (indépendant de la surface) que la tangente en Uq au méridien fait avec Taxe, c'est-à-dire Tangle OXA^^. Nous avons» en appelant o) Tangle OYt/,

ohç. oh

. ou 1

Donc

tgO=^g-

L*angle 6 étant ainsî défini, proposons-nous de trouver à quelle condition le point «1 se trouve sur 0X«. Il faut pour cela que

p^^.^ =r: px = Oa sin <o = Oxq tgO,

(XiUt = OCa^Ea.

La condition précédente devient donc

En d'autres termes, il faut que Tangle olqOuq soit égal à 0. Mais alors 0^^ est perpendiculaire à X^q, c'est-à-dire à la tangente en Uq, D'où cette conclusion : le point a{ se trouve sur OX^ lorsque la méridienne coupe normalement la droite passant par le point et faisant avec OY, en dessous de cet aœe, un angle égal à h.

\2A. Ombres sur le sol. — Pour les ombres sur le sol, il n y a qu*à répéter tout ce qui vient d'être dit à propos des ombres sur le mur en permutant les rôles des axes OX et OZ, c'est-à-dire en substituant, pour Tombre du trièdre fondamental, la figure 101 àla figure 92 6w.

Nous nous contenterons d'ajouter à ce qui précède une simple remarque relative à Tombre sur le sol des surfaces de révolution à axe vertical. Cette remarque, d'où découle, comme on va voir, une sensible simplification de tracé, est la suivante : La tangente en chaque point de la courbe d'omb7^e portée est parallèle à la tangente au parallèle passant par le point correspondant de la courbe d'ornbre propre.

Ces deux tangentes sont, en effet, les intersections de deux plans parallèles (celui du sol et celui du parallèle) par un même plan (le plan tangent au cylindre projetant) le long de la génératrice qui unit les deux points considérés.

Cette remarque montre qu'aux points m, et p|, ombre de [m.m) et de(p.y) (fig. 102), la tangente est parallèle aux lignes de rappel;

KiG. 101.

en Wj et en q^^ parallèle à la ligne de terre ; en l^ et en /*,, perpendi culaire à la projection horizontale des rayons lumineux.

Fio. 102.

125. Pour trouver les points où la tangente est parallèle à uïi'e direction donnée, on pourrait procéder comme on vient de le faire au n° 123, en se fondant sur ce qui a été dit à propos delà perspective axonométrique. Maison peut ici recourir à un moyen plus simple.

En effet, d'après la remarque précédente, tout revient à trouver le parallèle sur lequel la tangente, au point de la ligne d'ombre, est parallèle à la direction donnée.

Reportons-nous à la construction donnée au n*" iii, et construisons par un

cercle a6, pris arbitrairement (/f^. 103), un cône semblable au cône circonscrit le long du parallèle cherche'.

Menons nu cercle ab la tangente ts^^ parallèle à la direction donnée. Le point s^ devant se trouver sur la droite os^ inclinée à 45*^ sur Oa, est immédiatement obtenu. De ce point s^ nous déduisons le sommet s du cône.

Le point cherché de la courbe d'ombre portée est donc celui qui correspond à rhomologue de {t,t') sur le parallèle de la surface, le long duquel le plan tangent fait avec Thorizon un angle égal à oas.

D'ailleurs, en projection verticale, ce point divise le rayon du parallèle correspondant comme f divise oa,

B. — Ombres 'portées sur les plans qiielconques

lâ6« Méthode générale* — La recherche des projections de l'ombre d'un corps sur un plan quelconque revient à celle des projections de l'intersection par ce plan du cylindre circonscrit au corps parallèlement aux rayons lumineux, c'est-à-dire du cy- '

lindre parallèle aux rayons lumineux et passant par la courbe d'ombre propre du corps.

Fio. 103.

Fio. lOi.

Mais ici encore on peut, cela se voit aisément, ramener le problème à une construction de perspective axonométrique, pourvu que Ton ait obtenu les projections de l'ombre, sur le plan, du. trièdre fondamental précédemment défini (n** 115).

1 27. Projections de Tombre du Irièdre fondamental sur un plan quelconque. — Remarquons tout d'abord que nous pouvons, en con-

servant au plan son orientation, le faire passer par un point quelconque, le pointOpar exemple. Peu importe, d'ailleurs, que, pour celte position du plan, les ombres des axes OX. OY, OZ, soient réelles ou virtuelles. Ce qu'il nous faut, c'est la projection oblique du tiédre fondamental sur ce plan.

Soient Oh et Ov' les traces du plan donné sur le sol et sur le mur, la ligne de terre coïncidant, comme au n* 115, avec OY {fig, 104).

Le plan projetant horizontalement à la fois le rayon passant par {x.x') et celui passant par (^^.y') est le plan coyv'. Sa trace horizontale coupant la trace oh du plan ddnné en [k.k')^ la projection verticale de Tinlersection de ces deux plans est la droite AV, qui coupe en x\ et en y\ les projections verticales x's' et y'>?' des rayons lumineux passant par (a?.a?') et (y.^). Ces points x\ eij/\ sont donc les projections verticales des ombres sur le plan donné des points (a\a^') et (y .y"). On en déduit immédiatement par des lignes de rappel les projections horizontales x^ et j/i de ces points sur xy.

De même, le plan ht/'z' projetant verticalement à la fois le rayon passant par (y-y) et celui passant par (-2'.^) coupe le plan donné suivant la droite (Aw. y «7- Les points y^ et z^ où hu rencontre, les projections horizontales yx et zl des rayons passant par [y. y) et {z,z) sont les projections horizontales des ombres

Fio. 105.

Fig. 105 bis.

de ces points. Le point y{ ayant déjà été précédemment obtenu, on a là une vérification. Du point Zi on déduit la projection verticale z\.

Observation, — Nous venons d'apprendre à construire les projections de Tombre portée par un corps sur un plan quelconque. Si on voulait avoir cette ombre elle-même, il n y aurait qu'à effectuer le rabattement du plan hov sur Tun des plans de projection. Les points X^.YijZ^ de Tespace se rabattraient en X,, Y^, Zj, et on serait ramené à une construction de perspective axonométrique, en prenant OXjYjZjpour la perspective du trièdre fondamental OXYZ*

128. Conslructions séparées. — Les droites Ozt et œ^y^ sont parai* lèles, mais, d'autre part, le rayon lumineux passant par {y. y) passe aussi par le point ((r,z)^ dont la projection horizontale coïncide avec le point a? et dont la hauteur au-dessus du sol est égale à 0^'; on voit donc, en considérant yi comme la projection horizontale de l'ombre de (ji\z'), que Oz^ =z x^y^. Ainsi, la figure Ox^y^z^ est un parallélogramme.

Le ménne mode de raisonnement prouve que ce résultat s'étend aussi à la figure Ox\y\z\.

On peut dès lors construire très simplement, et séparément Tune de l'autre, les projections, soit sur le mur, soit sur le sol, de l'ombre du trièdre fondamental sur le plan.

Pour avoir l'ombre sur le mur [fig, 105), on projette en k' sur Oy le point de rencontre k de Oh et de xy\ on tire v'k qui coupe x's' en x\ tiyz en y\ ; enBn, on tire Oz\ parallèle à x\y^^ jusqu'en sa rencontre z\ avec z'y, Ox\y\z\ est l'ombre cherchée.

Pour avoir l'ombre sur le sol {fig. 105), on projette en u sur Oy le point de rencontre u de Ov' et de z'y ; on tire uh qui coupe xy en y^ çt zt en z^ ; enfîn, on lire Oa-i, parallèle à y^z^ jusqu'à sa rencontre x^ avec xy, Ox^y^z^ est l'ombre cherchée.

Nous allons, dans ce qui suit, faire quelques applications de ces principes généraux.

129. Ombre sur un plan vertical* — Pour avoir la projection sur le mur de l'ombre portée sur un plan vertical, nous n'avons

Fio. 406.

Fio. 106 bis.

Fio, 107.

qu'à prendre les points d'intersection {k.x\) et (ft.y'i) des rayons lumineux passant respectivement par [x.x) et par [y -y) avec ce plan hOs' (fg. 106). Le point iz.z') étant dans ce plan est son ombre à lui-même.

Les triangles rectangles yk-y\ et yk'h sont égaux, puisqu'ils ont chacun en y un angle de 45°. Donc

et Tangle k'oy\ est égal à Tangle hoy ou a. Ainsi, les projections verticales des ombres des horizontales de front font avec la ligne de terre un angle égal à celui que fait avec le mur le plan vertical sur lequel V ombre est portée.

La construction de la projection de Tombre du trièdre fondamental se réduit donc à ceci ifig. 106 bis) :

Le point z\ se confond avec z ;

Le point y\ esta la rencontre de yz' et delà droite faisant avec Oy un angle égal à V angle que le plan vertical donné fait avec le mur ;

Le point x\ est à la rencontre de la parallèle à Oz' menée par y\ et de la parallèle yz\ menée par 0.

130. Ombre sur un plan vertical perpendiculaire aux plans verticaux passant par les rayons lumineux* — Ici Tangle a de la figure précédente étant égal à 45% la figure 106 6w donne naissance à la figure 107 où le triangle 0,j;',y'| est rectangle et isocèle. On a d'ailleurs

Ainsi, dans ce cas, les longueurs verticales sont conservées en vraie grandeur, et les figures situées dans des plans horizontaux ont

pour ombres des figures semblables, le rapport de similitude étant

--=1 et Torientation changée d'un angle de 45^ dans le sens direct.

131. Prenons dès lors un cylindre surmonté d'un cône [^g. 108) et cherchons la projection verticale de cet ensemble sur le plan vertical qui vient d'être défini.

Soit o\ la projection verticale de l'ombre de [oo').

Nous n'avons qu'à mener le segment dp'^ équipollent à o'p' ^\>p\^\ équipollent à p's' pour avoir les projections verticales des ombres de [P'P') et de [s. s).

Le cercle de base {ab.a'b')^ situé dans un plan horizontal, donne

le cercle a\b'\ dont le rayon est égal à -pr- • Ce rayon o'ja'i s'obtient

OMBRES POtîTÉES SUR DES PLANS 107

en projetanl sur la ligne o\a\, à 45°, le segment o\a'^ égal au rayon o'a' et porté sur une horizontale.

De même, le cercle de base du cône donne le cercle de centre p,'

dont le rayon p\ni', est égal k^-—=s/2 II n'y a qu'à mener au cercle a\b\ les tangentes verticales, et au cercle m\n\ les tangentes issues de s', pour avoir la projection ver- Ucale cherchée.

132. Prenons maintenant une sphère. On voit immédiatement que son ombre sur le plan vertical à 45° est une ellipse dont le demiaxe horizontal est égal à R, et le demi-axe vertical à ' La pro-

COSf

jection du premier sur le mur est égale à -;=" Le second se pro-

jelle en vraie grandeur.

De là, la construction suivante (fig. 109) : ayant tracé du point o', [projection verticale de l'ombre du centre) comme centre un cercle égal au grand cercle de la sphère, je prends le rayon à 45° o',», qui se projette en o',a\ sur le diamètre horizontal du cercle; la

droite a',u coupe en î baU o'.r en o\c\ sur

la tangente horizontale tv au cercle. Je raî diamètre vertical du cercle.

■ ^ ""vn